Calcule a energia por fóton e a energia por mol de fótons de uma radiação com o comprimento de onde de (a) 200 n m ( u l t r a v i o l e t a ); (b) 150 p m ( R a i o s - x ) e (c) 1,00 c m ( m i c r o o n d a ).
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Passo 1
Eaaee jovem... chega mais, bora resolver mais essa questãozinha.
É bem tranquila, sem segredos... Tudo que ela pede é que encontremos a quantidade de energia por fóton E por mol de fóton para um determinado comprimento de onda.
Vamos ter que utilizar a seguinte formulinha para a energia por fóton:
E = h c λ
E para a energia Por MOL de fóton, basta multiplicar a constante molar em ambos os lados:
N E = E m o l = N h c λ
Onde N é o nosso número de mols, 6 × 10 23 m o l s.
h é a nossa constante de Planck, 6,626 × 10 - 34 J s.... e c a nossa clássica velocidade da luz, 3 × 10 8 m / s..
Show de bola então... como eu disse, sem segredos; é só colocar tudo ali na fórmula e encontramos uma quantidade de energia por mol de fóton e por fóton.
Um fóton, também chamado de fotão, são minúsculos pacotes de energia que compõe a luz e são responsáveis por transportar a energia das radiações eletromagnéticas.
-Hãam? 😖
Pra ficar mais claro, eu vou te contar uma historinha e você vai entender qual é a do fóton!
Lá pra meados de 1900, a física começou a apresentar milhares de problemas. Uma série de fenômenos contrariavam completamente resultados da física clássica, e não adiantava dizer que os pontos experimentais do gráfico estavam errados porque não estavam!
Para resolver um desses pepinos, um físico chamado Max Planck fez uma hipótese que dizia que a luz não era bem uma onda que levava energia continuamente pra onde ela iluminava, na verdade ela cedia energia em pacotinhos, ou seja, era quantizada.
📢 Clique para ver mais:
- Constante de Plank
- Princípio da Incerteza de Heisenberg
- Velocidade da Luz no Vácuo
Fórmula da Energia de um Fóton
Pra a gente calcular a energia de um fóton a gente usa a seguinte fórmula:
ó
Ondeé a energia do fóton,é a frequência da luz eé a constante de Planck, igual a. A energia também pode ser descrita em função do comprimento de onda da luz usando a velocidade da luz. Dessa forma ficamos com:
ó
Ondeé a velocidade da luz no vácuo, igual a.
Você também pode conferir esse conteúdo no vídeo abaixo! 👇
Propriedades Luminosas e Fóton
A gente pode relacionar algumas propriedades da luz com a ideia de energia quantizada.
Uma delas é a potência luminosa (P). A potência da luz é a energia que ela transfere para algum lugar em um dado tempo.
A potência luminosa se relaciona com a taxa de fótons emitidos pela fonte luminosa, que significa o número de fótons emitidos por unidade de tempo.
Sendo a potência e energia total da luz emitida em um dado tempo, se dividirmos essa energia pela energia de 1 fóton, podemos encontrar o número de fótons emitidos.
ó
A taxa de fótons emitidos será a potência luminosa dividida pela energia de um fóton. Quando a luz se propaga, toda a potência da fonte vai se espalhando na área que a luz se propaga. A intensidade é então essa potência dividida pela área que a luz se espalhou.
Dividindo a intensidade pela energia de 1 fóton, temos o fluxo de fótons:
óó
Onde N é a quantidade de fótons emitidos por unidade de tempo, A a área eo fluxo de fótons.
Momento Linear de um Fóton
As ondas eletromagnéticas possuem um momento linear que as permite empurrar objetos como satélites e caudas de cometa. Neste caso, os fótons também terão associados a si um momento linear e também poderão empurrar os outros. A magnitude do momento linear do fóton é dada por:
Porém, como tínhamos visto para os fótons:
Logo temos:
A direção e o sentido do momento linear do fóton são a direção e sentido de propagação da luz. Sejao vetor de propagação:
ó
Agora vamos praticar com exercícios?!
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Exercícios Resolvidos
Exercício Resolvido #1
Halliday, Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de física, volume 4: Óptica e Física Moderna, 8ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2009, pp 208-4
A luz amarela de uma lâmpada de vapor de sódio usada em iluminação pública é mais intensa em um comprimento de onda de 589 n m.
Qual é a energia dos fótons com esse comprimento de onda?
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Passo 1
A energia de um fóton é dada por:
E = h f
Porém podemos relacionar a frequência e o comprimento de onda da luz:
f λ = c
f = c λ
E assim:
E = h c λ
Sabemos que:
- h ≅ 6,626 ∙ 10 - 34 J ∙ s
- c ≅ 2,998 ∙ 10 8 m / s
- λ = 589 n m = 589 ∙ 10 - 9 m (pelo enunciado)
E = 6,626 ∙ 10 - 34 ∙ 2,998 ∙ 10 8 589 ∙ 10 - 9 ≅ 3,3726 ∙ 10 - 19 J
Ou, em e V:
1 e V ≅ 1,602 ∙ 10 - 19 J
E = 3,37 26 ∙ 10 - 19 1,602 ∙ 10 - 19 ≅ 2,11 e V
Resposta
E ≅ 3,3726 ∙ 10 - 19 J ≅ 2,11 e V
Exercício Resolvido #2
UFRJ, Física 4, Prova 2, 2011.2
Para quebrar a ligação química nas moléculas da pele humana e causar queimaduras solares, é necessário um fóton com energia de cerca de 3,50 e V.
O comprimento de onda da radiação que provoca queimaduras na pele é de cerca de:
- 724 n m
- 524 n m
- 244 n m
- 354 n m
- Nenhuma das anteriores.
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Passo 1
Podemos associar a energia do fóton com o seu comprimento de onda a partir da equação:
E = h c λ
λ = h c E
Onde:
h = 4,136 × 10 - 15 e V s;
E = 3,50 e V;
c = 3 × 10 8 m / s;
Logo:
λ = 4,136 × 10 - 15 × 3 × 10 8 3,5
λ = 3,54 × 10 - 7 m = 354 n m
Resposta
Letra (d): 354 n m
Exercício Resolvido #3
Halliday, Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de física, volume 4: Óptica e Física Moderna, 8ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2009, pp 209-27.
Um feixe de raios X tem um comprimento de onda de 35,0 p m.
- Qual é a frequência correspondente?
- A energia dos fótons do feixe.
- O momento dos fótons do feixe, em k e V / c.
Determine:
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Passo 1
Letra a)
A frequência e o comprimento de onda se relacionam por:
λ f = c
f = c λ
Onde:
- c = 2,998 ∙ 10 8 m / s
- λ = 35,0 p m = 35,0 ∙ 10 - 12 m
f = 2,998 ∙ 10 8 35 ∙ 10 - 12 ≅ 8,566 ∙ 10 18 H z
Passo 2
Letra b)
A energia dos fótons é dada por:
E = h f
Onde h = 6,626 ∙ 10 - 34 J ∙ s é a constante de Planck. Usando o resultado do item anterior:
E ≅ 6,626 ∙ 10 - 34 ∙ 8,566 ∙ 10 18 ≅ 56,758 ∙ 10 - 16 J = 5,6758 ∙ 10 - 15 J
Vamos ver quanto fica em e V. Temos que:
1 e V ≅ 1,602 ∙ 10 - 19 J
E ≅ 5,6758 ∙ 10 - 15 J ≅ 35 429,46 e V
Passo 3
Letra c)
O momento linear do fóton é dado por:
p l i n = E c
Encontramos no item anterior que E ≅ 35 429,46 e V ≅ 35,429 k e V.
p l i n = 35,429 k e V / c
Resposta
Letra a)
f ≅ 8,566 ∙ 10 18 H z
Letra b)
E ≅ 5,6758 ∙ 10 - 15 J ≅ 35 429,46 e V
Letra c)
p l i n = 35,429 k e V / c
Exercício Resolvido #4
Young e Freedman, Física IV Ótica e Física Moderna, 12ª ed, São Paulo: Addison Wesley, 2009, pp 211-38.9
Uma fonte de luz de 75 W consome 75 W de potência elétrica.
Suponha que toda essa energia se transfira para a luz emitida com comprimento de onda 600 n m.
- Calcule a frequência da luz emitida.
- Quantos fótons por segundo a fonte emite?
- As respostas às partes (a) e (b) são iguais? A frequência da luz é a mesma que o número de fótons emitidos por segundo? Explique.
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Passo 1
a) Calcule a frequência da luz emitida.
Podemos associar a frequência f e o comprimento de onda λ através da seguinte relação:
c = λ f → λ = c f
Onde:
c = 3 × 10 8 m / s;
λ = 600 n m = 6 × 10 - 7 m;
Logo:
f = 3 × 10 8 6 × 10 - 7 = 5,0 × 10 14 H z
Passo 2
b) Quantos fótons por segundo a fonte emite?
O problema nos dá a potência P que, por definição, é a taxa de variação da energia E por unidade de tempo.
Assim, 75 W = 75 J / s. Ou seja, a cada segundo são produzidos 75 J de energia.
Para descobrirmos quantos fótons a fonte emite por segundo, vamos calcular a energia de cada fóton e ver a quantidade correspondente a 75 J.
Passo 3
A energia do fóton é dada por:
E f ó t o n = h fó
Onde:
h = 6,626 × 10 - 34 J s;
f = 5,0 × 10 14 H z;
Logo:
E f ó t o n = 6,626 × 10 - 34 × 5,0 × 10 14ó
E f ó t o n = 3,313 × 10 - 19 Jó
Passo 4
O número de fótons emitidos por segundo é dado por:
n = E E f ó t o n = 75 3,313 × 10 - 19ó
n = 2,3 × 10 20 f ó t o n só
Passo 5
c) As respostas às partes (a) e (b) são iguais? A frequência da luz é a mesma que o número de fótons emitidos por segundo? Explique.
Não, ambos possuem significados físicos diferentes. A frequência está diretamente associada à energia do fóton e independe da potência da fonte.
Porém, o número de fótons emitidos por segundo depende da potência da fonte.
Resposta
a)
5,0 × 10 14 H z
b)
2,3 × 10 20 f ó t o n s / só
c)
Não.
Exercício Resolvido #5
Halliday, Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de física, volume 4: Óptica e Física Moderna, 8ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2009, pp 208-7
Uma lâmpada ultravioleta emite luz com um comprimento de onda de 400 n m, com uma potência de 400 W.
Uma lâmpada infravermelha emite luz com um comprimento de onda de 700 n m, também com uma potência de 400 W.
- Qual das duas lâmpadas emite mais fótons por segundo?
- Quantos fótons por segundo essa lâmpada emite?
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Passo 1
Letra a)
Vamos ver como calcular quantos fótons por segundo cada lâmpada emitiria.
Primeiro, vemos a energia de cada fóton:
E = h f = h c λ
Ou seja, quanto maior o comprimento de onda, menor a energia dos fótons.
Depois, vemos a energia que cada lâmpada emite por segundo. Uma potência de 1 W corresponde a 1 J / s, que é energia por segundo.
Assim, seja P a potência da lâmpada em Watts e E a energia dos fótons em Joules. O número de fótons por segundo será:
N = P E
Quanto menor a energia, maior o número de fótons emitidos.
Juntando as duas considerações, temos que quanto maior o comprimento de onda da luz, maior a quantidade de fótons emitidos.
A fonte com maior comprimento de onda é a lâmpada infravermelha, que emitirá mais fótons por segundo.
Passo 2
Letra b)
Como discutimos no item anterior, o número de fótons emitidos será dado por:
N = P E
Mas também vimos que:
E = h c λ
Logo:
N = P ∙ λ h c
Onde todos os termos devem estar com unidades do SI.
- P = 400 W
- λ = 700 n m = 700 ∙ 10 - 9 m
- h ≅ 6,626 ∙ 10 - 34 J ∙ s
- c ≅ 2,998 ∙ 10 8 m / s
Substituindo:
N = 400 ∙ 700 ∙ 10 - 9 6,626 ∙ 10 - 34 ∙ 2,998 ∙ 10 8 ≅ 14 095 , 32 ∙ 10 17 f ó t o n s ≅ 1,41 ∙ 10 21 f ó t o n sóó
Resposta
Letra a)
A lâmpada infravermelha emite mais fótons por segundo.
Letra b)
N ≅ 1,41 ∙ 10 21 f ó t o n só
Exercício Resolvido #6
Halliday, Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de física, volume 4: Óptica e Física Moderna, 8ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2009, pp 207-5.
O fóton A tem uma energia duas vezes maior que o fóton B.
- O momento do fóton A é menor, igual ou maior que o momento do fóton B?
- O comprimento de onda do fóton A é maior, menor ou igual ao comprimento de onda do fóton B?
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Passo 1
Letra a)
O momento linear de um fóton é dado por:
p l i n = E c
Onde E é a energia do fóton e c é a velocidade da luz.
Isso nos mostra que quanto maior a energia do fóton, maior seu momento linear.
Como a energia do fóton A é maior que a do fóton B, o momento do fóton A é maior que o do fóton B.
Passo 2
Letra b)
A energia de um fóton é dada por:
E = h f = h c λ
Rearrumando:
λ = h c E
Quanto maior a energia do fóton, menor seu comprimento de onda.
Como a energia de A é maior que a de B, o comprimento de onda de A é menor que o de B.
Resposta
Letra a)
O momento do fóton A é maior que o do fóton B.
Letra b)
O comprimento de onda do fóton A é menor que o do fóton B.
Exercício Resolvido #7
Halliday, Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de física, volume 4: Óptica e Física Moderna, 8ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2009, pp 208-10.
Em condições ideais, o sistema de visão humano é capaz de perceber uma luz com um comprimento de onda de 550 n m se os fótons dessa luz forem absorvidos pela retina à razão de pelo menos 100 fótons por segundo.
Qual é a potência luminosa absorvida pela retina nessas condições?
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Passo 1
Digamos que a potência luminosa absorvida pela retina é de P W a t t s. Como 1 W = 1 J / s, isso significa que a retina absorve uma energia de P J o u l e s a cada segundo.
Se cada fóton tiver uma energia de E J o u l e s, então o número de fótons absorvidos em um segundo vai ser:
N = P E → P = N ∙ E
Pelo enunciado, sabemos que N = 100 f ó t o n só, o que nos dá:
P = 100 ∙ E
Passo 2
Agora, precisamos encontrar a energia de cada fóton.
A energia de 1 fóton vai ser:
E = h f = h c λ
O valor do comprimento de onda é dado pelo enunciado, e h e c são constantes:
- h ≅ 6,626 ∙ 10 - 34 J ∙ s
- c ≅ 2,998 ∙ 10 8 m / s
- λ = 550 n m = 550 ∙ 10 - 9 m
Onde passamos todos os valores para Joules, metros e segundos.
E = h c λ ≅ 6,626 ∙ 10 - 34 ∙ 2,998 ∙ 10 8 550 ∙ 10 - 9 ≅ 3,61177 ∙ 10 - 19 J
P = 100 ∙ E ≅ 3,6 ∙ 10 - 17 W
Resposta
P ≅ 3,6 ∙ 10 - 17 W
Exercício Resolvido #8
Halliday, Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de física, volume 4: Óptica e Física Moderna, 8ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2009, pp 208-11
Uma lâmpada de sódio de 100 W (λ = 589 n m) irradia energia uniformemente em todas as direções.
- Quantos fótons por segundo são emitidos pela lâmpada?
- A que distância da lâmpada uma tela totalmente absorvente absorve fótons à taxa de 1,00 f ó t o n / c m 2 ∙ só ?
- Qual é o fluxo de fótons (fótons por unidade de área e por unidade de tempo) em uma pequena tela situada a 2,00 m da lâmpada?
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Passo 1
Letra a)
A potência da lâmpada é de P = 100 W.
A energia individual de cada fóton é:
E = h c λ
Onde:
- h = 6,626 ∙ 10 - 34 J ∙ s
- c = 2,998 ∙ 10 8 m / s
- λ = 589 n m = 589 ∙ 10 - 9 m
E = 6,626 ∙ 10 - 34 ∙ 2,998 ∙ 10 8 589 ∙ 10 - 9 ≅ 3,3726 ∙ 10 - 19 J
A taxa de emissão de fótons vai ser:
N = P E ≅ 100 3,3726 ∙ 10 - 19 ≅ 2,965 ∙ 10 20 f ó t o n s / s e g u n d oó
Passo 2
Letra b)
Como a lâmpada irradia luz uniformemente em todas as direções, isso significa que a luz se espalha numa esfera com centro na fonte de luz.
A superfície de uma esfera é dada por:
A = 4 π r 2
Assim, o número de fótons emitidos por unidade de tempo por unidade de área vai ser:
N - = N A = N 4 π r 2
Passo 3
Nós queremos achar a distância r correspondente a um fluxo de fótons de N - = 1,00 f ó t o n / c m 2 ∙ só.
Rearranjando a fórmula e substituindo os valores:
r 2 = N 4 π N - → r = N 4 π N -
r ≅ 2,965 ∙ 10 20 4 π ∙ 1,00 ≅ 0,4857 ∙ 10 10 c m = 4,857 ∙ 10 7 m
Passo 4
Letra c)
Para uma distância de r = 2,0 m da fonte luminosa, o fluxo de elétrons vai ser:
N - = N 4 π r 2 ≅ 2,965 ∙ 10 20 4 π ∙ 2 2 ≅ 5,899 ∙ 10 18 f ó t o n s / m 2 ∙ só
Resposta
Letra a)
N ≅ 2,965 ∙ 10 20 f ó t o n s / s e g u n d oó
Letra b)
r ≅ 4,857 ∙ 10 7 m
Letra c)
N - ≅ 5,899 ∙ 10 18 f ó t o n s / m 2 ∙ só
Exercício Resolvido #9
Halliday, Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de física, volume 4: Óptica e Física Moderna, 8ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2009, pp 209-12
Um detector de luz possui uma área útil de 2,00 × 10 - 6 m 2 e absorve 50 % da luz incidente, cujo comprimento de onda é 600 n m. O detector é colocado diante de uma fonte luminosa isotrópica, a 12,0 m da fonte.
A Fig.38-24 mostra a energia E emitida pela fonte em função do tempo t. A escala do eixo vertical é definida por E s = 7,2 n J e a escala do eixo horizontal é definida por t s = 2,0 s.
Quantos fótons por segundo são absorvidos pelo detector?
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Passo 1
Vamos fazer um passo a passo partindo da fonte luminosa até chegar ao olho.
A potência da fonte é a energia que ela emite por unidade de tempo, ou seja:
P l u z = E t
Pela escala do gráfico, E s = 7,2 n J = 7,2 ∙ 10 - 9 J corresponde a t s = 2,0 s.
P l u z = 7,2 ∙ 10 - 9 2 = 3,6 ∙ 10 - 9 W
Passo 2
Como a fonte é uma fonte isotrópica, a luz se espalha uniformemente em todas as direções, descrevendo uma esfera com centro na fonte.
Assim, a potência luminosa se espalha ao longo de uma esfera, e a intensidade será:
I = P l u z A l u z = P l u z 4 π r 2
Onde r = 12,0 m é a distância que a luz percorre.
I = 3,6 ∙ 10 - 9 4 π ∙ 12 2 ≅ 1,989 ∙ 10 - 12 J / m 2 ∙ s
Passo 3
A mesma intensidade atinge o detector.
I = P d A d → P d = I ∙ A d
A área do detector é A d = 2,00 ∙ 10 - 6 m 2.
P d ≅ 1,989 ∙ 10 - 12 ∙ 2 ∙ 10 - 6 ≅ 3,979 ∙ 10 - 18 W
Porém, de toda essa potência que atinge o detector, apenas 50 % é absorvida. A potência P absorvida é:
P = 0,5 ∙ P d ≅ 1,989 ∙ 10 - 18 W
Passo 4
A taxa de fótons absorvidas vai ser a taxa de energia absorvida (a potência) dividida pela energia individual dos fótons.