Tomando por base um hex�gono, podemos deduzir as rela��es entre seus lados, bem como uma circunfer�ncia de raio unit�rio, na qual ele se encontra inscrito:
Figura 1 - Hex�gono inscrito em uma circunfer�ncia de raio unit�rio. |
Note que o �ngulo de 30o � metade do �ngulo interno de 60o, que, ao ser multiplicado por 6, resulta em 360o.
A metade do lado l/2, segundo a regra do seno de 30o, vale:
Essa � uma caracter�stica importante do hex�gono: ter o lado igual ao raio da circunfer�ncia em que est� inscrito.
O per�metro do hex�gono ser� 6.
Agora, vejamos o hex�gono que circunscreve uma circunfer�ncia de raio unit�rio:
Figura 2 - Hex�gono que circunscreve uma circunfer�ncia de raio unit�rio. |
Usando-se a tangente do �ngulo de 30o:
E o per�metro ser� de
Nota: o valor dos lados poderia ser calculado utilizando-se o teorema de Pit�goras.
Contudo, o comprimento da circunfer�ncia estar� entre os dois per�metros: o do hex�gono inscrito e o do hex�gono que circunscreve o c�rculo:
Figura 3. Hex�gonos - inscrito e circunscritivo - e circunfer�ncia de raio unit�rio. |
Logo, o valor do per�metro da circunfer�ncia
E o valor de
Ora, se aumentamos o n�mero de lados do pol�gono regular, o resultado ser� um valor de PI cada vez mais exato.
Arquimedespensou nisso e conseguiu calcular o valor de PI para um pol�gono de 96 lados, chegando a um valor de:
Por exemplo, para um pol�gono de 384 lados:
Voc� conseguiria chegar � express�o do comprimento do lado de um pol�gono de 96 lados?
E de 384?
Note que os dois s�o pol�gonos com lados m�ltiplos de 6.
*Carlos Alberto Campagner � engenheiro mec�nico, com mestrado em mec�nica, professor de p�s-gradua��o e consultor de inform�tica.
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Dizemos que um polígono está inscrito quando existe uma circunferência que contém todos os seus vértices. Além disso, um polígono é regular quando ele possui todos os lados com a mesma medida e seus ângulos internos são congruentes. Portanto, um hexágono regular inscrito é um polígono que possui seis lados com a mesma medida e seis ângulos internos congruentes e cujos vértices são todos pontos pertencentes a uma circunferência. Veja na figura abaixo um hexágono regular inscrito:
As relações métricas no hexágono regular inscrito são fórmulas que podem ser usadas para encontrar a medida de seu lado e a medida de seu apótema a partir apenas do raio da circunferência na qual ele está inscrito. Essas fórmulas são:
l = r
Em que o raio da circunferência é igual ao lado do hexágono e:
a = r√3
2
Nessa fórmula, a é o apótema e r é o raio da circunferência.
Construções e elementos no hexágono inscrito
Antes de discutir essas fórmulas, convém realizar algumas construções no hexágono a fim de que suas demonstrações tornem-se mais diretas.
1º – Escolha dois vértices consecutivos do hexágono e construa os raios da circunferência que se ligam a eles. Observe na imagem a seguir que esses raios são os segmentos OA e OB, os quais, unidos ao segmento AB, formam um triângulo:
2º – Trace o apótema do hexágono, que, na imagem acima, é o segmento AP. O apótema é um segmento de reta que liga o centro de um polígono a um de seus lados, formando com ele um ângulo reto.
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3º – Como o polígono é regular, o apótema também é mediana do lado AB e bissetriz do ângulo AÔB.
4º – Observe que o ângulo AÔB mede 60°. Isso acontece porque o polígono é regular, então, cada um de seus seis ângulos centrais é igual a 360°/6 = 60°.
5º – Como os lados AO e BO do triângulo ABO são raios da circunferência na qual o hexágono está inscrito, então, eles são congruentes. Isso significa que esse triângulo é isósceles e que os ângulos da base são iguais. Pela soma dos ângulos internos do triângulo, concluímos que cada ângulo interno de ABO mede 60°. Portanto, ele é um triângulo equilátero.
Dadas essas propriedades, colocaremos todas as medidas encontradas no triângulo ABO. Observe que, se o lado do hexágono mede l, então, o segmento PB = l/2.
Demostração das relações métricas
Primeiramente, sabendo que o triângulo ABP é equilátero, o lado l do hexágono tem a mesma medida que o raio da circunferência. Assim:
l = r
Além disso, considere o triângulo OPB da imagem anterior e calcule o cosseno de 30°:
Cos30° = a
r
√3 = a
2 r
r√3 = a
2
a = r√3
2
Exemplo: Calcule a medida do lado e do apótema de um hexágono regular inscrito em uma circunferência de raio 10 cm.
Lado: como l = r, teremos que l = 10 cm.
Apótema: Usando a fórmula encontrada, teremos:
a = r√3
2
a = 10√3
2
a = 5√3 cm.