(a) Com que velocidade deve ser lançada uma bola verticalmente a partir do solo para que atinja uma altura máxima de 50 m? (b) Por quanto tempo permanece no ar? (c) Esboce os gráficos de y, ve aem função de tpara a bola. Nos dois primeiros gráficos, indique o instante no qual a bola atinge a altura de 50 m.
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Passo 1
(a) Galera, quando a altura é máxima, a velocidade é zero!! Isso porque é o ponto onde o objeto para de subir e começa a cair. Ok?
Sabendo disso, vamos pôr as informações que temos na equação de Torricelli, sabendo que a v = 0.
v 2 = v 0 2 + 2 g Δ y
Isolando v 0:
v 0 = v 2 - 2 g Δ y
v 0 = 0 2 - 2 . - 9,8 . 50
∴
v 0 = 31 m / s
Passo 2
(b) Vamos usar a função horária da velocidade para descobrir o tempo de subida da bola.
v = v 0 + g t
Isolando t:
t = v - v 0 g
t = 0 - 31 - 9,8 = 3,2 s
A bola sobe e desce, certo? E como o tempo de subida é igual ao de descida, então ela permanece no ar um tempo igual duas vezes seu tempo de subida. Portanto, ela fica no ar por 6,4 s.
Passo 3
(c) Pela função horária da posição:
y ( t ) = y 0 + v 0 t + g t 2 2
y t = 31 t - 4,9 t 2
Sabemos que a velocidade é a derivada da função posição e que a aceleração é a derivada da velocidade, então temos:
Fundamentos de Física - Mecânica Volume 1 - 8ª Edição - David Halliday, Jearl Walker e Robert Resnick- Ed: 8º - Capítulo 4.Problemas Adicionais - Ex. 128O lançador em uma partida de softball arremessa a bola de um ponto situado 3,0 pés acima do solo. Um gráfico estroboscópico da posição da bola é mostrado na figura, onde as leituras estão separadas por 0,25 s e a bola foi lançada em t = 0. (a) Qual é o módulo da velocidade inicial da bola? (b) Qual é o módulo da velocidade da bola no instante em que atinge a altura máxima em relação ao solo? (c) Qual é essa altura máxima?
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Passo 1
(a) Nosso primeiro objetivo é encontrar o módulo da velocidade inicial da bola. Uma forma de fazer isso é encontrar cada uma das componentes iniciais v x e v y e então fazer:
v 0 = v x 2 + v y 2
Essas velocidades aparecem nas fórmulas para as coordenadas x e y da bola:
x = x 0 + v x t
y = y 0 + v y t - 1 2 g t 2
E temos que nos lembrar de usar a aceleração da gravidade em unidades do sistema imperial, já que o gráfico também está nessas unidades:
g = 32 p é s / s 2é
Passo 2
(a) Para encontrar os valores de v x e v y vamos usar o sexto ponto do gráfico, que tem coordenadas ( 40 p é s , 3 p é séé) e corresponde ao instante t = 5 0,25 = 1,25 s.
Começando por v x:
40 = v x 1,25
v x = 32 p é s / sé
E agora v y. Perceba que nesse quinto ponto y - y 0 = 0:
y = y 0 + v y t - 1 2 g t 2
0 = v y 1,25 - 1 2 32 1,25 2
v y = 20 p é s / sé
E agora podemos calcular o módulo da velocidade:
v = 20 2 + 32 2
v = 38 p é s / sé
Passo 3
(b) No instante em que a bola atinge a altura máxima a sua velocidade vertical é nula, e ela tem apenas a componente horizontal da velocidade.
Mas essa componente é constante! Ou seja, ela não muda desde o início do movimento. Então podemos pegar o resultado que já encontramos para a velocidade horizontal inicial v x:
v = 32 p é s / sé
Passo 4
(c) Para encontrar a altura máxima, vamos pensar no seguinte: a bola leva 1,25 s para chegar na mesma altura em que foi lançada, certo?
Como a bola atinge a altura máxima exatamente na metade do movimento, o instante de tempo em que isso acontece é:
Uma bola � lan�ada, e a sua altura h, em metros, � dada pela express�o h = – t2 + 4t + 3, onde o tempo t � dado em segundos. Nesse caso, podemos afirmar que o instante, em que a bola atinge a altura m�xima � de ______ segundos, e que a altura m�xima atingida, � de ______ metros.