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muito utilizada no ensino fundamental é . Entretanto, outras fórmulas foram desenvolvidas para realizar este cálculo. Uma delas é a fórmula de Herão (ou de Heron), que dá a área do triângulo em função da medida dos três lados do triângulo. O nome faz referência ao matemático grego Herão de Alexandria. Exemplo 2: Calcule a área do triângulo a seguir. Sol.: Primeiro vamos calcular o semiperímetro. 14 7 9 30 15 2 2 2 a b cs + + + += = = = Agora que calculamos o semiperímetro podemos aplicar a fórmula. 212 5A cm= EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO onde: a, b e c são as medidas dos lados do triângulo e s é o valor do semiperímetro do triângulo. ANDREW CAZEMIRO - (92) 9133-4858 24. Calcule a área dos quadriláteros a seguir. 25. Na figura, o quadrado A tem área de 25 cm2, e os retângulos B e C têm área de 10 cm2 cada um. Calcule a área do triângulo D. 26. Considere o triângulo a seguir. Observe que a altura relativa ao lado que mede 24 cm é igual a 16 cm. Calcule a altura relativa ao lado de 20 cm. 27. No triângulo ABC ilustrado a seguir, as medidas dos lados são números consecutivos. Se o perímetro desse triângulo é igual a 42 cm, determine a área do triângulo. 28. Um vidraceiro fez um vitral triangular com 42 cm de base e altura relativa a ela medindo 1/3 da medida da base. Qual é a área desse vitral? * ÁREA DO LOSANGO Exemplo 1: Se um losango possui diagonal maior medindo 10cm e diagonal menor medindo 7cm, qual será o valor de sua área? Sol.: Exemplo 2: Um losango apresenta área igual a 60 m2. Sabendo que a diagonal menor mede 6m, encontre a medida da diagonal maior. Sol.: Matemática EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 29. As diagonais de um losango medem 10 cm e 15 cm. Qual é a medida da sua superfície? 30. Num losango, a medida da diagonal maior é o dobro da medida da diagonal menor. Sabendo que D = 50cm, qual será a medida da área desse losango? 31. Calcule a área da região mais escura. 32. A bandeira nacional brasileira deve, oficialmente, apresentar um retângulo de 20 por 14 unidades de comprimento. Os vértices do losango devem estar a 1,7 unidade de distância do contorno da bandeira. Assim, suas diagonais medem (20 - 3,4) e (14 - 3,4) unidades de comprimento. Se você for confeccionar uma bandeira com 40cm de comprimento, qual será a área do losango da sua bandeira? (observe que 40 é o dobro de 20, então tudo na sua bandeira deve ser o dobro da medida oficial para não fugir dos padrões legais). * ÁREA DO TRAPÉZIO Exemplo 1: Calcule a área da seguinte região. Sol.: ( ) 2 10 6 .3 2 16.3 2 48 2 24 A A A A m + = = = = Exemplo 2: Calcule o valor de um lote que possui o formato de um trapézio, considerando que o valor do m2 é de R$ 42,00. Sol.: ANDREW CAZEMIRO - (92) 9133-4858 ( ) 2 20 10 .14 2 30.14 2 420 2 210 A A A A m + = = = = Preço do lote è 210 . 42 = R$ 8820,00 EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 33. Calcule a área do terreno cuja planta é a da seguinte figura: 34. Calcule a área das superfícies: 35. A área do quadrado APCD representa que fração da área do trapézio ABCD? 36. Em um trapézio, a base maior mede 24 cm e sua altura, 16,5 cm. Qual será sua área, se a base menor for 3/4 da base maior? 37. Calcule a área de um trapézio, sabendo que sua base menor mede 10,8 cm, sua base maior, 17, 2 cm, e sua altura é a metade da soma das medidas das duas bases.
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O losango é uma figura plana que possui quatro lados, todos congruentes. Na geometria plana, ele é considerado um caso particular de quadrilátero, possuindo propriedades importantes.
Por ser um quadrilátero, o losango possui duas diagonais: a diagonal menor e a diagonal maior. Elas se cruzam de forma perpendicular, o que torna possível a aplicação do teorema de Pitágoras, relacionando o comprimento do lado e a metade do comprimento de cada uma das diagonais do losango.
Essa forma geométrica possui fórmulas específicas para o cálculo de área e de perímetro. Para calcular a área do losango, calculamos a metade do produto entre a diagonal maior e a diagonal menor. Já o perímetro pode ser calculado pela multiplicação da medida do lado por quatro.
Leia também: Quais são as principais diferenças entre figuras planas e espaciais?
Elementos do losango
Conhecemos como losango todo quadrilátero que possui os quatro lados congruentes. Os principais elementos do losango são:
os lados;
os vértices;
os ângulos internos;
a diagonal maior; e
a diagonal menor.
As diagonais são os segmentos que ligam dois vértices não consecutivos. Há duas diagonais no losango. Chamamos de D o comprimento da diagonal maior e de d o comprimento da diagonal menor.
Como o losango é um quadrilátero, ele possui:
4 lados;
4 ângulos internos;
4 vértices.
Veja a imagem a seguir com os principais elementos do losango:
d → comprimento da
diagonal menor
D → comprimento da diagonal maior
A,B,C e E → vértices
AB, AE, CE e BC → lados do losango
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Propriedades do losango
O losango é um quadrilátero e também um paralelogramo. Assim, ele possui propriedades herdadas dessas classificações, além de propriedades específicas.
Como ele é um paralelogramo, o losango possui:
ângulos e lados opostos congruentes;
soma dos ângulos internos igual a 360º;
lados opostos paralelos e congruentes;
diagonais que se cruzam no ponto médio;
ângulos consecutivos suplementares, ou seja, com soma igual a 180º.
Além dessas propriedades já existentes para todo paralelogramo, há uma propriedade que é exclusiva do losango: as diagonais são perpendiculares entre si. Ao traçar a diagonal maior e a diagonal menor, elas se cruzam de forma perpendicular.
Há uma consequência importante dessa propriedade, que é a relação pitagórica entre a medida dos lados e a metade das medidas da diagonal.
Pelo triângulo retângulo, aplicando o teorema de Pitágoras, temos que:
Veja também: Qual é a condição de existência de um triângulo?
Perímetro do losango
O perímetro de um polígono é o comprimento do seu contorno. No losango, nós sabemos que os quatro lados são congruentes. Assim, para calcular o perímetro dessa figura plana, basta multiplicar a medida do lado por quatro.
P = 4l
Exemplo:
Encontre o perímetro do losango sabendo que um dos lados mede 7,5 centímetros.
Para calcular o perímetro, basta multiplicar o comprimento do lado por 4.
P = 4 · 7,5
P = 30 centímetros.
Área do losango
Na maioria dos polígonos, o cálculo da área está relacionado com o comprimento da base e da altura, mas, no losango em particular, como ele não possui base, calculamos a sua área utilizando os comprimentos das diagonais. Assim, a área do losango é calculada pelo produto entre as diagonais dividido por dois.
D → diagonal maior
d → comprimento da diagonal menor
Exemplo: Qual é a área do losango que possui diagonal maior igual a 4 centímetros e diagonal menor igual 3 centímetros?
Exercícios resolvidos
Questão 1 - Um terreno possui o formato de um losango, conforme a imagem a seguir, com as medidas dadas em metros.
Para cercar o terreno, Matheus precisa saber qual é o perímetro desse losango. Para que ele não precise ir até o terreno realizar a medida dos lados, ele utilizou a propriedade do losango para encontrar o seu perímetro. Supondo que ele tenha acertado, o valor encontrado para o perímetro desse terreno é:
A) 100 metros.
B) 10 metros.
C) 12 metros.
D) 120 metros.
E) 150 metros.
Resolução
Alternativa D.
Note que o comprimento do lado não é conhecido, então utilizaremos a relação pitagórica para encontrar o lado desse losango.
Calculando a metade do comprimento de cada uma das diagonais:
D = 16 → D/ 2 = 8
d =
12 → d/2 = 6
Então, sabemos que:
l² = 8² + 6²
l² = 64 + 36
l² = 100
l = √100
l = 10 metros
Agora é possível calcular o perímetro:
P = 4l
P = 4 · 30
P = 120 metros
Questão 2 - Qual é a área de um losango que possui diagonal maior de 15 centímetros e diagonal menor no valor de um terço da diagonal maior?
A) 37,5 cm²
B) 35 cm²
C) 75 cm²
D) 70 cm²
E) 45 cm²
Resolução
Alternativa A.
Considere:
d → comprimento da diagonal menor;
D → comprimento da diagonal maior.
Sabendo que a diagonal menor mede 1/3 da diagonal maior, então, para encontrar o comprimento d, basta dividir D por três:
D = 15 d = 15/ 3 = 5
Agora calculando a área, temos que: