Física, 15.08.2019 00:10
Você é o engenheiro que fará o levantamento de ferragem e quantidade de concreto de um projeto estrutural. deste modo, calcule a quantidade de ferragem, em metros, de cada bitola de aço, separando a armadura longitudinal da armadura transversal. ao final, considerando o peso específico do aço do vergalhão como 7850 kg/m³, calcule a massa total da ferragem. calcule também o volume de concreto, sem considerar perda, para a viga abaixo.
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amostral? 4. Considerando o experimento: fazer dois lançamentos consecutivos de um dado comum e honesto e anotar a face que ficará voltada para cima em cada lançamento, determinar: a. o espaço amostral S; 3 O evento elementar não pode ser particionado nem dividido. TMA ሾBASICÃO DE PROBABILIDADESሿ 4 Bertolo b. o evento A ൌ a soma dos resultados é 5; c. o evento B ൌ os resultados são iguais; d. o evento C ൌ o produto dos resultados é ímpar. 5. Considerando o experimento: fazer um lançamento de dois dados comuns, honestos e indistinguíveis e anotar as faces que ficarão voltadas para cima, determinar: a. o espaço amostral S; b. o evento A ൌ a soma dos resultados é 5; c. o evento B ൌ os resultados são iguais; d. o evento C ൌ o produto dos resultados é ímpar. 5. PROBABILIDADE Dado um experimento aleatório, sendo S o seu espaço amostral, vamos admitir que todos os elementos de S tenham a mesma chance de acontecer, ou seja, que S é um conjunto equiprovável. Chamamos de probabilidade de um evento A ሺA ⊂ Sሻ o número real PሺAሻ, tal que: ܲሺܣሻ ൌ ݊ሺܣሻ ݊ሺܵሻ Onde: nሺAሻ é o número de elementos de A; nሺBሻ é o número de elementos de S. EXEMPLOS a. Considerando o lançamento de uma moeda e o evento A “obter cara”, temos: S ൌ ሼCa,Coሽ ⇒ nሺSሻ ൌ 2 A ൌ ሼCaሽ ⇒ nሺAሻ ൌ 1 Logo: ܲሺܣሻ ൌ ଵ ଶ O resultado acima nos permite afirmar que, ao lançarmos uma moeda equilibrada, temos 50% de chance de que apareça cara na face superior. b. Considerando o lançamento de um dado, vamos calcular: ‐ a probabilidade do evento A “obter um número par na face superior”. Temos: S ൌ ሼ1, 2, 3, 4, 5, 6ሽ ⇒ nሺSሻ ൌ 6 A ൌ ሼ2, 4, 6ሽ⇒ nሺAሻ ൌ 3 Logo: ܲሺܣሻ ൌ ଷ ൌ ଵ ଶ ‐ a probabilidade do evento B “obter um número menor ou igual a 6 na face superior”. Temos: S ൌ ሼ1, 2, 3, 4, 5, 6ሽ ⇒ nሺSሻ ൌ 6 B ൌ ሼ1, 2, 3, 4, 5, 6ሽ⇒ nሺBሻ ൌ 6 Logo: ܲሺܣሻ ൌ ൌ 1 ‐ a probabilidade do evento C “obter o número 4 na face superior”. Temos: S ൌ ሼ1, 2, 3, 4, 5, 6ሽ ⇒ nሺSሻ ൌ 6 C ൌ ሼ 4 ሽ⇒ nሺCሻ ൌ 1 Logo: ܲሺܣሻ ൌ ଵ ‐ a probabilidade do evento D “obter um número maior que 6 na face superior”. ሾBASICÃO DE PROBABILIDADESሿ TMA Bertolo 5 Temos: S ൌ ሼ1, 2, 3, 4, 5, 6ሽ ⇒ nሺSሻ ൌ 6 B ൌ ∅ ⇒ nሺDሻ ൌ 0 Logo: ܲሺܣሻ ൌ ൌ 0 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 1. Dados os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7, construímos todos os números que podem ser representados usando dois deles ሺsem repetirሻ. Escolhendo ao acaso ሺaleatoriamenteሻ um dos números formados, qual a probabilidade de o número sorteado ser: a. par Temos 7 possibilidades de escolha do primeiro algarismo dos números e seis escolhas do segundo algarismo (os números não podem ter algarismos repetidos). Assim, temos 7 . 6 = 42 caso possíveis. Para o número ser par deverá terminar (unidade) em 2, 4 ou 6. Devemos ter 3 possibilidades (2, 4, 6) associadas a 6 possibilidades (não podem ter algarismos repetidos). Assim, temos 3 . 6 = 18 casos favoráveis. Logo a probabilidade será: ܲሺܽݎሻ ൌ 18 42 ൌ 3 7 b. múltiplo de 5? Casos possíveis = 42 Casos favoráveis = 1 . 6 = 6 ܲሺ݉ú݈ݐ݈݅ ݀݁ 5ሻ ൌ 6 42 ൌ 1 7 Pelos exemplos que acabamos de ver, podemos concluir que, sendo nሺSሻ ൌ n: a. a probabilidade do evento certo é igual a 1: PሺSሻ ൌ 1 b. a probabilidade do evento impossível é igual a zero: Pሺ∅ሻ ൌ 0 c. a probabilidade de um evento E qualquer ሺE ⊂ Sሻ é um número real PሺEሻ, tal que: 0 ≤ PሺEሻ ≤ 1 d. a probabilidade de um evento elementar E qualquer é, lembrando que nሺEሻ ൌ 1: PሺEሻ ൌ ଵ 6. EVENTOS COMPLEMENTARES Sabemos que um evento pode ocorrer ou não. Sendo p a probabilidade de que ele ocorra ሺsucessoሻ e q a probabilidade de que ele não ocorra ሺinsucessoሻ, para um mesmo evento existe sempre a relação: p q ൌ 1 ⇒ q ൌ 1 – p Assim, se a probabilidade de se realizar um evento é p ൌ ଵ ହ , a probabilidade de que ele não ocorra é: q ൌ 1 – p ⇒ q ൌ 1 ‐ ଵ ହ ൌ ସ ହ Sabemos que a probabilidade de tirar o 4 no lançamento de um dado é p ൌ ଵ . Logo, a probabilidade de não tirar o 4 no lançamento de um dado é: q ൌ 1 ‐ ଵ ൌ ହ TMA ሾBASICÃO DE PROBABILIDADESሿ 6 Bertolo EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 1. Um baralho tem 12 cartas, das quais 4 são ases. Retiram‐se 3 cartas ao acaso. Qual a probabilidade de haver pelo menos um ás entre as cartas retiradas? Solução 12 cartas, das quais 4 são ases. Espaço amostral = U n(U) = 12 . 11 . 10 = 1.320 Evento A = sair pelo menos um ás Evento Acom = não sair ás. n(Acom) = 8 . 7 . 6 = 336 ⇒ ܲሺܣҧሻ ൌ ଷଷଵ.ଷଶ ൌ ଵସ ହହ ⇒ ܲሺܣሻ ൌ 1 െ ଵସ ହହ ൌ ସଵ ହହ 7. EVENTOS INDEPENDENTES Dizemos que dois eventos são independentes quando a realização ou a não‐realização de um dos eventos não afeta a probabilidade da realização do outro e vice‐versa. Por exemplo, quando lançamos dois dados, o resultado obtido em um deles independe do resultado obtido no outro. Se dois eventos são independentes, a probabilidade de que eles se realizem simultaneamente é igual ao produto das probabilidades de realização dos dois eventos. Assim, sendo p1 a probabilidade de realização do primeiro evento e p2 a probabilidade de realização do segundo evento, a probabilidade de que tais eventos se realizem simultaneamente é dada por: p ൌ p1 x p2 EXEMPLO Lançando dois dados honestos simultaneamente, qual a probabilidade de obtermos 1 no primeiro dado e 5 no segundo dado? Solução Lançamos dois dados. A probabilidade de obtermos 1 no primeiro dado é: p1 = ଵ . A probabilidade de obtermos 5 no segundo dado é: p2 = ଵ. Logo, a probabilidade de obtermos, simultaneamente, 1 no primeiro e 5 no segundo é: p = ଵ x ଵ = ଵ ଷ EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 1. Joga‐se um dado honesto. O número que ocorreu ሺisto é, da face voltada para cimaሻ é o coeficiente b da equação x2 bx 1 ൌ 0. Determine: a. a probabilidade de essa equação ter raízes reais; b. a probabilidade de essa equação ter raízes reais, sabendo‐se que ocorreu um número ímpar. Solução a. Para que esta equação x2 + bx + 1, com b ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6}, tenha raízes reais, o discriminante (Δ) dessa equação deve ser não-negativo. Como Δ = b2 – 4, então os valores possíveis de b são 2, 3, 4, 5 e 6, ou seja, existem 5 possibilidades para b. Portanto, a probabilidade de essa equação ter raízes reais é 5/6. b. Sabendo que ocorreu um número ímpar (ou seja, 1, 3 ou 5), temos do item (a) que a probabilidade pedida é 2/3. 2. Considere o experimento que consiste no lançamento de um dado perfeito ሺtodas as seis faces têm probabilidades iguaisሻ. Com relação a esse experimento, considere os seguintes eventos: aሻ I e II são eventos independentes? bሻ II e III são eventos independentes? não Ás não Ás não Ás Num baralho padrão temos 52 cartas, como mostrado: ♥ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 J Q K A ♦ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 J Q K A ♣ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 J Q K A ♠ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 J Q K A ሾBASICÃO