(UCS-RS)
Se uma das raízes da equação 2x² – 3px + 40 = 0 é 8, determine o valor de p.
Determine o valor de m na equação x² – (m + 5)x + 36 = 0, de modo que as raízes sejam reais e diferentes.
Dada a equação 9x² + 12x + 2m = 0, determine os possíveis valores de m para que a equação não possua raízes reais.
A equação do 2º grau x² – kx + 9 = 0, assume as seguintes condições de existência dependendo do valor da variável k:
Duas raízes reais e distintas: ∆ > 0.
Duas raízes reais e iguais: ∆ = 0.
Nenhuma raiz real: ∆ < 0.
Para que a equação tenha raízes reais e iguais, qual deve ser o valor da variável k?
Determine o valor de p na equação px² – 3x – 2 = 0, com p ≠ 0 de modo que a soma das raízes seja igual a 12.
Calcule o valor de k na equação x² – 10x – m + 8 = 0, com m ≠ 0, de modo que o produto das raízes seja igual a – 2.
Determine o valor de p na equação 6x² – 11x + (p – 1) = 0, para que o produto das raízes seja igual a 2/3.
Calcule o valor de k na equação x² – kx + 36 = 0, de modo que uma das raízes seja o quádruplo da outra.
2x² – 3px + 40 = 0
Se 8 é uma das raízes da equação, então temos que x = 8.
2 * 8² – 3 * p * 8 + 40 = 0
2 * 64 – 24 * p + 40 = 0
128 – 24p + 40 = 0
–24p = –128 –40
–24p = –168 * (–1)
24p = 168
p = 7
O valor de p para que a equação 2x² – 3px + 40 = 0 tenha uma das raízes igual a 8 é 7.
S = {p Є R / p = 7}
O valor de m para que a equação x² – (m + 5)x + 36 = 0 tenha raízes reais e diferentes é m = 7 ou m = –17.
S = {p Є R / m = 7 ou m = –17}
∆ < 0
b² – 4ac < 0
12² – 4 * 9 * 2m < 0
144 – 72m < 0
144 < 72m
m > 2
Para que a equação 9x² + 12x + 2m = 0, não possua raízes reais o valor de m será maior que 2.
S = {p Є R / m > 2}
∆ = 0
b² ¬– 4ac = 0
(¬–k)² – 4 * 1 * 9 = 0
k² –
36 = 0
k² = 36
k = 6 ou k = –6
O valor de k na equação x² – kx + 9 = 0 deve assumir os seguintes valores:
k = 6 ou k = –6.
S = {k Є R / k = 6 e k = –6}
S = {p Є R / p = 3/20}
S = {m Є R / m = 10}
S = {p Є R / p = 5}
S = {k Є R / k = 3 ou k = –3}
São vários os momentos em matemática, bem como em outras áreas do conhecimento, que a evolução do problema em resolução acaba desembocando em equações de 2º grau ou em funções polinomiais de 2º grau (funções quadráticas). Por este motivo, o conhecimento dos processos de resolução desse tipo de equação é importante e, além disso, necessário.
Muitos povos contribuíram para a descoberta e aperfeiçoamento da resolução de equações de grau 2, a exemplo dos árabes, hindus e babilônios. Para se ter uma ideia da idade histórica desses problemas, há aproximadamente 2000 a.C. os babilônios já conheciam e resolviam equações de 2º grau, em parte dos casos com a ajuda de figuras geométricas.
Este trabalho trata, prioritariamente, do discriminante encontrado na fórmula resolutiva, conhecida também por fórmula de Bhaskara, suas particularidades e operacionalidades.
O discriminante (Δ)
A fórmula resolutiva para equações completas e incompletas do 2º grau é
O discriminante, representado pela letra grega Δ (lê-se “delta”) corresponde ao radicando da fórmula resolutiva e tem o valor do coeficiente b elevado à segunda potência, menos o produto de quatro pelos coeficientes a e c.
Coeficientes são números reais que acompanham as incógnitas, no caso de a e b, ou é independe das incógnitas, no caso de c.
A representação geral de uma equação de 2º grau é:
ax2 + bx + c = 0, com a ≠ 0.
Particularidades de Δ
Algumas peculiaridades do discriminante merecem atenção. Veja cada uma delas:
1. Δ = 0. Quando o discriminante é igual à zero a equação de 2º grau apresenta duas raízes reais iguais.
Ex.: Resolva a equação x2 – 6x + 9 = 0.
Separando os coeficientes
a = 1, b = – 6 e c = 9.
Calculando o valor do discriminante
Δ = b2 – 4ac
Δ = (– 6)2 – 4.1.9
Δ = 36 – 36
Δ = 0
x2 – 6x + 9 = 0
2. Δ > 0. Quando o valor do discriminante é maior que zero, a equação apresenta duas raízes reais diferentes.
Ex.: Resolva a equação x2 + 3x – 4 = 0.
Separando os coeficientes
a = 1, b = 3 e c = – 4.
Calculando o valor do discriminante
Δ = b2 – 4ac
Δ = (3)2 – 4.1.(– 4)
Δ = 9 – 16
Δ = 25
x2 + 3x – 4 = 0
3. Δ < 0. Quando o discriminante é menor que zero, não existem raízes reais (em R).
Ex.: Determine o conjunto solução da equação quadrática x2 + 5x + 7 = 0.
Separando os coeficientes
a = 1, b = 5 e c = 7.
Calculando o valor do discriminante
Δ = b2 – 4ac
Δ = 52 – 4.1.(7)
Δ = 25 – 28
Δ = – 3
x2 + 5x + 7 = 0
Portanto, o conjunto solução desta equação é:
“Nem todos os caminhos que levam ao sucesso são fáceis.”
(Robison Sá)
Referência bibliográfica:
BIANCHINI, Edwaldo. Matemática, 9º ano. – 7. ed. – São Paulo: Moderna, 2011.
Texto originalmente publicado em //www.infoescola.com/matematica/discriminante/