Ao lançarmos dois dados simultaneamente, qual a probabilidade de sair o número 3 vermelho ou 2 azul

Todo experimento aleatório - os fenômenos casuais onde as experiências são repetidas inúmeras vezes sob condições iguais, mas não apresentam os mesmos resultados - constitui o conjunto formado por todos os resultados possíveis. Esse conjunto é denominado de espaço amostral, e qualquer subconjunto dele é chamado de evento. Portanto, temos que o espaço amostral constitui todos os resultados possíveis e o evento, os casos favoráveis. Vamos abordar alguns exemplos que exploram de forma geral essas definições.

Exemplo 1

No lançamento simultâneo de dois dados, um branco e um preto, há um espaço amostral gerado. Vamos determinar todos os possíveis resultados deste lançamento.

(1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1)
(1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2)
(1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3)
(1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4)
(1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5)
(1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6)

O resultado possível no lançamento simultâneo de dois dados resulta em 36.

Com base nesse espaço amostral, podemos determinar qualquer evento pertencente ao conjunto dos possíveis resultados.

Evento A – faces iguais
A = {(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)}

Evento B – soma maior que 10
B = {(5,6), (6,5), (6,6)}

Evento C – sair soma 6
C = {(1,5), (5,1), (2,4), (4,2), (3,3)}

Evento D – soma 7
D = {(1,6), (6,1), (2,5), (5,2), (3,4), (4,3)}

Evento E – soma menor que 5
E = {(1,1), (1,2), (2,1), (1,3), (3,1), (2,2)}

Exemplo 2

Uma urna contém uma bola verde e três brancas. Defina o espaço amostral do experimento “retirar uma bola ao acaso” e os eventos: retirar bola verde e retirar bola branca.

Possíveis resultados (espaço amostral): {verde, branca 1, branca 2, branca 3}, constituído de 4 elementos.

Evento retirar bola verde: {verde}, possui 1 elemento.

Evento retirar bola branca: {branca 1, branca 2, branca 3}, possui 3 elementos.

Exemplo 3

Numa caixa existem fichas numeradas de 1 a 10. Defina o espaço amostral do experimento “retirar fichas ao acaso” e defina os eventos: ocorrência de número ímpar, ocorrência de número primo e ocorrência de número maior que 4.

Possíveis resultados (espaço amostral): {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

Evento ocorrência de número ímpar: {1, 3, 5, 7, 9}

Evento ocorrência de número primo: {2, 3, 5, 7}

Evento ocorrência de número maior que 4: {5, 6, 7, 8, 9, 10}

Probabilidade é o estudo das chances de obtenção de cada resultado de um experimento aleatório. A essas chances são atribuídos os números reais do intervalo entre 0 e 1. Resultados mais próximos de 1 têm mais chances de ocorrer. Além disso, a probabilidade também pode ser apresentada na forma percentual.

Experimento aleatório e ponto amostral

Um experimento aleatório pode ser repetido inúmeras vezes e nas mesmas condições e, mesmo assim, apresenta resultados diferentes. Cada um desses resultados possíveis é chamado de pontoamostral. São exemplos de experimentos aleatórios:

a) Cara ou coroa

Lançar uma moeda e observar se a face voltada para cima é cara ou coroa é um exemplo de experimento aleatório. Se a moeda não for viciada e for lançada sempre nas mesmas condições, poderemos ter como resultado tanto cara quanto coroa.

b) Lançamento de um dado

Lançar um dado e observar qual é o número da face superior também é um experimento aleatório. Esse número pode ser 1, 2, 3, 4, 5 ou 6 e cada um desses resultados apresenta a mesma chance de ocorrer. Em cada lançamento, o resultado pode ser igual ao anterior ou diferente dele.

Observe que, no lançamento da moeda, as chances de repetir o resultado anterior são muito maiores.

c) Retirar uma carta aleatória de um baralho

Cada carta tem a mesma chance de ocorrência cada vez que o experimento é realizado, por isso, esse é também um experimento aleatório.

Espaço amostral

O espaço amostral (Ω) é o conjunto formado por todos os resultados possíveis de um experimento aleatório. Em outras palavras, é o conjunto formado por todos os pontos amostrais de um experimento. Veja exemplos:

a) O espaço amostral do experimento “cara ou coroa” é o conjunto S = {Cara, Coroa}. Os pontos amostrais desse experimento são os mesmos elementos desse conjunto.

b) O espaço amostral do experimento “lançamento de um dado” é o conjunto S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Os pontos amostrais desse experimento são 1, 2, 3, 4, 5 e 6.

O espaço amostral também é chamado de Universo e pode ser representado pelas outras notações usadas nos conjuntos. Além disso, todas as operações entre conjuntos valem também para espaços amostrais.

O número de elementos do espaço amostral, número de pontos amostrais do espaço amostral ou número de casos possíveis em um espaço amostral é representado da seguinte maneira: n(Ω).

Evento

Um evento é qualquer subconjunto de um espaço amostral. Ele pode conter nenhum elemento (conjunto vazio) ou todos os elementos de um espaço amostral. O número de elementos do evento é representado da seguinte maneira: n(E), sendo E o evento em questão.

São exemplos de eventos:

a) Sair cara em um lançamento de uma moeda

O evento é sair cara e possui um único elemento. A representação dos eventos também é feita com notações de conjuntos:

E = {cara}

O seu número de elementos é n(E) = 1.

b) Sair um número par no lançamento de um dado.

O evento é sair um número par:

E = {2, 4, 6}

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O seu número de elementos é n(E) = 3.

Os eventos que possuem apenas um elemento (ponto amostral) são chamados de simples. Quando o evento é igual ao espaço amostral, ele é chamado de evento certo e sua probabilidade de ocorrência é de 100%. Quando um evento é igual ao conjunto vazio, ele é chamado de evento impossível e possui 0% de chances de ocorrência.

Cálculo da probabilidade

Seja E um evento qualquer no espaço amostral Ω. A probabilidade do evento A ocorrer é a razão entre o número de resultados favoráveis e o número de resultados possíveis. Em outras palavras, é o número de elementos do evento dividido pelo número de elementos do espaço amostral a que ele pertence.

P(E) = n(E)
          n(Ω)

Observações:

• O número de elementos do evento sempre é menor ou igual ao número de elementos do espaço amostral e maior ou igual a zero. Por isso, o resultado dessa divisão sempre está no intervalo 0 ≤ P(A) ≤ 1;

• Quando é necessário usar porcentagem, devemos multiplicar o resultado dessa divisão por 100 ou usar regra de três;

• A probabilidade de um evento não acontecer é determinada por:

P(A-1) = 1 – P(A)

Exemplos:

→ Qual é a probabilidade de, no lançamento de uma moeda, o resultado ser cara?

Solução:

Observe que o espaço amostral só possui dois elementos e que o evento é sair cara e, por isso, possui apenas um elemento.

P(E) = n(E)
          n(Ω)

P(E) = 1
          2

P(E) = 0,5 = 50%

→ Qual é a probabilidade de, no lançamento de duas moedas, obtermos resultados iguais?

Solução:

Representando cara por C e coroa por K, teremos os seguintes resultados possíveis:

(C, K); (C, C); (K, C); (K, K)

O evento obter resultados iguais possui os seguintes casos favoráveis:

(C, C); (K, K)

Há quatro casos possíveis (número de elementos do espaço amostral) e dois casos favoráveis (número de elementos do evento), logo:

P(E) = n(E)
          n(Ω)

P(E) = 2
          4

P(E) = 0,5 = 50%

→ No lançamento de um dado, qual é a probabilidade de sair um resultado menor que 3?

Solução:

Observe que os números do dado menores do que 3 são 1 e 2, por isso, o evento possui apenas dois elementos. O espaço amostral possui seis elementos: 1, 2, 3, 4, 5 e 6.

P(E) = n(E)
          n(Ω)

P(E) = 2
          6

P(E) = 0,33... = 33,3%

→ Qual é a chance de não sair o número 1 no lançamento de um dado?

Solução:

Temos duas maneiras de resolver esse problema. Note que não sair o número 1 é o mesmo que sair qualquer outro número. Faremos o mesmo cálculo de probabilidade considerando que o evento possui cinco elementos.

A outra maneira é usar a fórmula para a probabilidade de um evento não ocorrer:

P(A-1) = 1 – P(E)

O evento que não pode ocorrer possui apenas um elemento, logo:

P(A-1) = 1 – P(E)

P(A-1) = 1 – n(E)
                  n(Ω)

P(A-1) = 1 – 1
                  6

P(A-1) = 1 – 0,166..

P(A-1) = 0,8333… = 83,3%