Transcrição de vídeoRKA - Vamos resolver esse exercício aqui diretamente da plataforma da Khan Academy. Vamos lá, olha só: você está representando o retângulo ABCD no plano cartesiano. Estes são três vértices do retângulo: vértice A com coordenadas "x" = 2, "y" = 1, o B, "x" = 5, "y" = 1 e o C, "x" = 5, "y" = 6. Quais são as coordenadas do ponto D? Então ele quer saber aqui do ponto D. Para fazer isso, vai facilitar muito a minha vida se eu fizer o plano cartesiano, é ou não é? Eu percebo que todos esses vértices aqui estão no primeiro quadrante. Todos eles são valores positivos de "x" e de "y". Então vamos lá, vou desenhar aqui o eixo do "y", certo? Eixo vertical do "y", e aqui o eixo do "x", beleza? Agora aqui é o seguinte, vamos lá: no eixo do "x", o valor mais alto que o "x" assume é 5, é ou não é? 2 ,5, 5. Então é 5. Vamos lá: 1, 2, 3, 4, 5 por aqui assim. 1, 2, 3, 4, 5. E no "y", o "y" assume valores 1 e 6. Então 1 aqui, 1, né? 2, 3, 4, 5, 6 aqui. Então nós temos aqui nosso plano cartesiano, vamos localizar esses pontos agora. Perceba que o primeiro ponto aqui que é ponto A, né? Ponto A, é "x" = 2, "y" = 1. Então "x" = 2 está aqui, bem aqui assim, aqui está o nosso ponto A, beleza? Agora o ponto B. O ponto B eu vou fazer de azul aqui, e ele está no "x" = 5, "y" = 1. "x" = 5, "y" = 1, o ponto B está por aqui assim, é ou não é? Olha aí. E agora o ponto C. O ponto C, eu vou fazer de laranja, né? Está 5 para "x" e "y" é igual a 6. Então 5 para "x" e "y" igual a 6 está por aqui assim, neste ponto, né? Está por aqui assim. Este é o nosso ponto C. "x" = 5, "y" = 6. Então ele vai estar bem aqui, é ou não é? E, finalmente, qual é o nosso ponto D? Pois bem, perceba que o ponto D... como isso daqui é um retângulo, né? Lados opostos e paralelos, beleza? Portanto, o ponto D vai ter que ter a mesma coordenada do "x" aqui do ponto A, certo? Vai estar "x" = 2 e o "y" = 6, ele vai ter que estar bem aqui assim, ó. Aqui está, então, o nosso ponto D. Só pode estar aqui para poder formar exatamente o nosso retângulo. Então aqui nós temos o ponto de coordenada 2 para "x", 6 para "y". Logo, eu percebo que o ponto D tem coordenada 2 para "x", 6 para "y", resolvemos o nosso problema. Agora só como curiosidade, vamos finalizar, vamos formar o nosso retângulo aqui, né? Vamos ligar este lado, depois este lado aqui, este lado aqui e, finalmente, este lado aqui, formando o nosso retângulo, beleza? Até o próximo vídeo. Show Na Geometria Analítica, o cálculo da distância entre dois pontos permite encontrar a medida do segmento de reta que os une. Utilize as questões a seguir para testar seus conhecimentos e tire suas dúvidas com as resoluções comentadas. Questão 1Qual a distância entre dois pontos que possuem as coordenadas P (–4,4) e Q (3,4)? Ver Resposta Resposta correta: dPQ = 7. Observe que as ordenadas (y) dos pontos são iguais, logo, o segmento de reta formado é paralelo ao eixo x. A distância então é dada pelo módulo da diferença entre as abscissas. Substituindo as abscissas dos pontos na fórmula, temos Veja a representação dos pontos no plano cartesiano. dPQ = 7 u.c. (unidades de medida de comprimento). Questão 2Determine a distância entre os pontos R (2,4) e T (2,2). Ver Resposta Resposta correta: dRT = 2. As abscissas (x) das coordenadas são iguais, sendo assim, o segmento de reta formado está paralelo ao eixo y e a distância é dada pela diferença entre as ordenadas. Substituindo as ordenadas na fórmula, temos Observe a representação dos pontos no plano cartesiano. dRT = 2 u.c. (unidades de medida de comprimento). Veja também: Distância entre dois pontos Questão 3Sejam D (2,1) e C (5,3) dois pontos no plano cartesiano, qual a distância de DC? Ver Resposta Resposta correta: dDC = . Observe no plano cartesiano que o segmento de reta formado não está paralelo a nenhum eixo. Sendo e , podemos aplicar o Teorema de Pitágoras ao triângulo DCP. Substituindo as coordenadas na fórmula, encontramos a distância entre os pontos da seguinte forma: A distância entre os pontos é de dDC = u.c. (unidades de medida de comprimento). Questão 4O triângulo ABC possui as coordenadas A (2, 2), B (–4, –6) e C (4,–12). Qual o perímetro desse triângulo? Ver Resposta Resposta correta: 1º passo: Calcular a distância entre os pontos A e B. 2º passo: Calcular a distância entre os pontos A e C. 3º passo: Calcular a distância entre os pontos B e C. Podemos observar que o triângulo tem dois lados iguais dAB = dBC, sendo assim, o triângulo é isósceles e seu perímetro é: Questão 5Um móvel percorre a trajetória A→B→C. Estando as medidas expressas em metros e, considerando o ponto A como a origem do sistema cartesiano, a distância percorrida pelo móvel é: Ver Resposta A distância percorrida pelo móvel é, aproximadamente 8,60 m. Aproximando a raiz quadrada de 13 para 3,60: Questão 6Em uma corrida de aventura através de uma floresta é necessário encontrar a localização de alguns pontos específicos por onde a equipe deve passar e registrar seu tempo. Na próxima etapa as equipes devem passar pelo ponto de localização P(5, c). Além do mapa, as equipes receberam a informação de que o ponto P é equidistante da largada L(3, 6) e da chegada C(9, 4). Com base nas informações, a ordenada c do ponto P é: Ver Resposta Resposta correta: c = 1. Como o ponto P é equidistante da posição da largada e da chegada, é verdadeiro que: Elevando os dois membros ao quadrado, eliminamos as raízes. Questão 7(UFRGS) A distância entre os pontos A (-2, y) e B (6, 7) é 10. O valor de y é: a) -1 Ver Resposta Alternativa correta: c) 1 ou 13. 1º passo: Substituir os valores das coordenadas e da distância na fórmula. 2º passo: Eliminar a raiz elevando os dois termos ao quadrado e encontrar a equação que determina o y. 3º passo: Aplicar a fórmula de Bhaskara e encontrar as raízes da equação. Para que a distância entre os pontos seja igual a 10, o valor de y deve ser 1 ou 13. Questão 8(UFES) Sendo A (3, 1), B (–2, 2) e C (4, –4) os vértices de um triângulo, ele é: a) equilátero. Ver Resposta Alternativa correta: c) isósceles e não retângulo. 1º passo: Calcular a distância de AB. 2º passo: Calcular a distância de AC. 3º passo: Calcular a distância de BC. 4º passo: Julgar as alternativas. a) ERRADA. Para um triângulo ser equilátero os três lados devem ter a mesma medida, mas o triângulo ABC tem um dos lados diferente. b) ERRADA. O triângulo ABC não é retângulo pois não obedece ao Teorema de Pitágoras: o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos catetos ao quadrado. c) CORRETA. O triângulo ABC é isósceles, pois possui as medidas de dois lados iguais. d) ERRADA. O triângulo ABC não é retângulo, mas é isósceles. e) ERRADA. O triângulo ABC é isósceles. Questão 9(PUC-RJ) Se os pontos A = (–1, 0), B = (1, 0) e C = (x, y) são vértices de um triângulo equilátero, então a distância entre A e C é a) 1 Ver Resposta Alternativa correta: b) 2. Sendo os pontos A, B e C vértices de um triângulo equilátero, isso quer dizer que as distâncias entre os pontos são iguais, pois esse tipo de triângulo possui os três lados com a mesma medida. Como os pontos A e B têm suas coordenadas, substituindo-as na fórmulas encontramos a distância. Logo, dAB = dAC= 2. Questão 10(UFSC) Dados os pontos A (-1; -1), B (5; -7) e C (x; 2), determine x, sabendo que o ponto C é equidistante dos pontos A e B. a) X = 8 Ver Resposta Alternativa correta: a) X = 8. 1º passo: Montar a fórmula para calcular as distâncias. Se A e B são equidistantes de C, quer dizer que os pontos encontram-se à mesma distância. Logo, dAC = dBC e a fórmula para calcular é: Anulando-se as raízes dos dois lados, temos: 2º passo: Resolver os produtos notáveis. 3º passo: Substituir os termos na fórmula e resolvê-la. Para que o ponto C seja equidistante dos pontos A e B, o valor de x deve ser 8. Questão 11(Uel) Seja AC uma diagonal do quadrado ABCD. Se A = (-2, 3) e C = (0, 5), a área de ABCD, em unidades de área, é a) 4 Ver Resposta Alternativa correta: a) 4. 1º passo: calcular a distância entre os pontos A e C. 2º passo: Aplicar o Teorema de Pitágoras. Se a figura é um quadrado e o segmento de reta AC é sua diagonal, então quer dizer que o quadrado foi dividido em dois triângulos retângulos, com um ângulo interno de 90º. Segundo o Teorema de Pitágoras, a soma do quadrado dos catetos equivale ao quadrado da hipotenusa. 3º passo: Calcular a área do quadrado. Substituindo o valor do lado na fórmula da área do quadrado, temos: Questão 12(CESGRANRIO) A distância entre os pontos M (4,-5) e N (-1,7) do plano x0y vale: a) 14 Ver Resposta Alternativa correta: b) 13. Para calcular a distância entre os pontos M e N, basta substituir as coordenadas na fórmula. Questão 13(ETAM 2011) A distância do ponto (−1, −1) ao ponto (1, 1) é igual a: a) 2√2; Ver Resposta Resposta correta: a) 2√2 Fazendo: A(-1,-1) Questão 14(UFRR 2017) Sabendo-se que a distância entre os pontos A (4,y) e B (1,2) é igual a 5, os valores de y são: a) 6 e - 2 Ver Resposta Resposta correta: a) 6 e - 2 Para extrair a raiz, elevamos ambos os membros da equação ao quadrado. Determinando o delta da equação do segundo grau: Determinando as raízes da equação: Desta forma, os valores 6 e -2 satisfazem y. Veja também:
Professor de Matemática licenciado e pós-graduado em Ensino da Matemática e Física (Fundamental II e Médio), com formação em Magistério (Fundamental I). Engenheiro Mecânico pela UERJ, produtor e revisor de conteúdos educacionais. Quais coordenadas do ponto C?Resposta. O ponto C é da forma C(x, 0) pois pertence ao eixo das abcissas. Como ele quer que seja equidistante então a distância de A até C tem que ser a mesma de C até B.
Quais são as coordenadas de um ponto?Para localizarmos o ponto do plano utilizamos as coordenadas abcissa (x) e ordenada (y). coordenadas abcissa (x) afastamento (ordenada) (y) e cota (z). LINHA: Uma extensão é uma linha, uma superfície ou um corpo.
Quais são as coordenadas geográficas dos pontos a B e C?Aprovada pela comunidade. A) A: 50º Latitude Sul, 20º Longitude Oeste. B: 50º Latitude Norte, 50º Longitude Oeste. C: 20º Latitude Norte, 50º Longitude Leste.
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