O problema do rel�gio Show
Antonio Leonardo P. Pastor
Consideremos, por exemplo, o problema: Calcular o �ngulo formado pelos ponteiros de um rel�gio que marca 5 h 43 mim. � usual resolvermos assim: Seja o �ngulo que o ponteiro das horas descreveu desde as 5 horas at� 5 h 43 min. Ora, o mostrador do rel�gio � dividido em 12 partes iguais de 30� cada. Cada setor de 30� corresponde a 5 minutos e portanto cada minuto corresponde a 6o. Assim, o �ngulo a + pode ser determinado por contagem direta, e � igual a 18 . 6 = 108�. � f�cil verificar que o �ngulo 0 � diretamente proporcional ao n�mero m de minutos transcorridos, isto �, = km (v. RPM 8, p., 3, Defini��o 1). Ora, sabemos que em uma hora o �ngulo descrito pelo' ponteiro menor � igual a 30�. Ent�o:
Em geral, tomando inicialmente a medida do �ngulo que vai da marca da hora em quest�o at� a marca do minuto correspondente, devemos somar ou subtrair o �ngulo (�ngulo que o ponteiro das horas descreve durante os minutos correspondentes), dependendo do �ngulo que o problema pede (maior ou menor), da configura��o dos ponteiros e de como efetuamos a medi��o (orienta��o). Em resumo, a resolu��o de problemas simples como o do exemplo se reduz � determina��o de . N�o quero aqui defender o uso de regras (pelo contr�rio!). Gostaria apenas de observar que a apresenta��o de uma regra simplificadora, que neste caso nada mais � do que uma conseq��ncia das propor��es envolvidas, pode ser v�lida se o professor utiliz�-la com o objetivo de motivar sua aula. O leitor interessado encontrar� outros problemas sobre raz�es e propor��es, abordados sob um enfoque bastante atual, nos artigos do Professor Geraldo �vila (RPM 8 e 9) e considera��es adicionais no artigo do Professor Elon Lages Lima (RPM 9).
� comum, no 1� grau, principalmente na 8� s�rie, quando estudamos a �rea do c�rculo, perguntas como: � Professor, por que vale 3,14? Ap�s o estudo dos pol�gonos regulares, na 8? s�rie, podemos, at� como recrea��o, calcular valores aproximados de , sem grande trabalho, como veremos abaixo: -.cja um pol�gono regular de n lados, n 3, cada lado medindo a. Pelo Teorema dos Cossenos, temos:
Observe que n�o depende do raio de circunfer�ncia, j� que r � eliminado na express�o acima. Usando esta express�o, vamos calcular alguns valores aproximados de
.
Observa��o. O fato de precisar usar uma calculadora para obter valores aproximados de n�o tira o objetivo deste artigo, que � mostrar que � aproximadamente 3,14 e n�o depende do "tamanho" do c�rculo.
Qual é o ângulo formado pelos ponteiros das horas é dos minutos de um relógio às 8 horas?Ao marcarmos o horário 8 horas obtemos duas divisões: uma parte, é formada por 8 ângulos centrais e a outra parte é formada por 4 ângulos centrais. Portanto, os ângulos formados são iguais a 8.30 = 240º e 4.30 = 120º.
Qual é o ângulo formado pelos ponteiros das horas é dos minutos de um relógio?Uma volta completa do ponteiro grande (360 graus) corresponde ao movimento de 1/12 do ponteiro pequeno (30 graus).
Qual é o ângulo formado pelos ponteiros das horas é dos minutos de um relógio às 9 horas?Resposta verificada por especialistas
Ao marcar 9 horas, teremos o ponteiro das horas no 9 e o ponteiro dos minutos no 12. Assim, estes ponteiros forma um ângulo de 90º.
Quantos graus percorre o ponteiro dos minutos de um relógio em 15 minutos?Logo 15 minutos é igual a 90° Graus.
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