Qual será a medida em metros do comprimento desse muro que Marcelo irá construir 8 0 m 8 5 m 9 6 m 10

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1 (Saresp–SP) No desenho abaixo estão representados os terrenos I, II e III.
Quantos metros de comprimento deverá ter o muro que o proprietário do terreno II construirá para fechar o lado que faz frente com a Rua das Rosas? Prof. Marcelo Silva

2 QUESTÃO (Fuvest–SP) A sombra de um poste vertical, projetada pelo sol sobre um chão plano, mede 12 m. Nesse mesmo instante, a sombra, de um bastão vertical de 1 m de altura mede 0,6 m. Qual a altura do poste? Prof. Marcelo Silva

3 CONSEQUÊNCIA – TEO. DE TALES
Toda paralela a um lado de um triângulo e que intercepta os outros dois lados em pontos distintos determina, sobre esses lados, segmentos proporcionais. Prof. Marcelo Silva

4 SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS
Prof. Marcelo Silva

5 SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS
Prof. Marcelo Silva

6 SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS
Quando ouvimos a expressão "figuras semelhantes" logo pensamos em figuras que se assemelham, figuras parecidas, de mesma aparência. Podemos associar a ideia de figuras semelhantes a ampliações ou reduções de uma figura em outras guardando semelhança na forma. Matematicamente podemos dizer que duas figuras F e F' são semelhantes quando guardam entre elas uma proporção. No nosso dia a dia, podemos observar inúmeros exemplos de semelhança entre objetos. Por exemplo, quando tiramos uma fotografia, a imagem que vemos na foto é a representação reduzida e proporcional do objeto em tamanho. A planta de uma casa, projetada pelo arquiteto, também é um exemplo de semelhança entre a casa em tamanho real e o seu desenho no papel. Prof. Marcelo Silva

7 SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS
Como ampliar ou reduzir figuras de modo que elas mantenham suas características? Por exemplo, como desenhar em um cartaz um personagem de quadrinhos? Existem diversas maneiras de se ampliar ou reduzir figuras. Um dos métodos de se ampliar figuras pode ser por homotetia. Vejamos como ele funciona. Exemplo: queremos ampliar o polígono ABCDE e em seguida reduzi-lo. Como devemos proceder? Prof. Marcelo Silva

8 SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS
Marcamos um ponto F (foco) qualquer. Traçamos as retas: FA, FB, FC, FD e FE. Prof. Marcelo Silva

9 SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS
Marcamos um ponto A' sobre a reta FA, de modo que FA' = k.FA (k= razão de semelhança). Marcamos um ponto B' sobre a reta FB, de modo que FB' = k.FB (mesma razão de semelhança usada para marcar o ponto A'). Procedemos da mesma maneira marcando os pontos C', D' e E'. Prof. Marcelo Silva

10 SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS
Traçamos os segmentos: A'B', B'C', C'D' e E'A' e obtemos o polígono A'B'C'D'E' ampliação de ABCDE, isto por que neste caso tomamos a razão de semelhança k > 1. Procedemos da mesma maneira para reduzirmos o polígono, tomando neste caso a razão de semelhança k < 1. Prof. Marcelo Silva

11 SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS
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12 SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS
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13 EXEMPLO d = 3 m Prof. Marcelo Silva

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1), 
sofrerá uma redução de 10% no comprimento da base do 
retângulo, que passará a medir x cm (figura 2). 
10 cm
x cm4π cm
10 cm
FIGURA 1 FIGURA 2
Sabendo que o preço de venda do suco é R$ 2,00 a unidade, 
quanto o consumidor pagará proporcionalmente a mais por 
unidade do produto nessa nova embalagem?
A. 	 R$ 0,20
B. 	 R$ 0,24
C. 	 R$ 0,32
D. 	 R$ 0,38
E. 	 R$ 0,40
Alternativa D 
Resolução: Considerando a diminuição de 10% no 
comprimento da base do retângulo da embalagem da figura I, 
a base do retângulo da embalagem da figura II terá 
4π . 0,9 = 3,6π cm.
Calculando agora os raios das duas embalagens, temos:
Figura I: C1 = 2πr1 ⇒ 4π = 2πr1 ⇒ r1 = 2 cm
Figura II: C2 = 2πr2 ⇒ 3,6π = 2πr2 ⇒ r2 = 1,8 cm
Então, o volume de cada uma das embalagens é:
Figura I: V r1 1
2 10= ⋅π ⇒ V1 = π(2)2 ⋅ 10 ⇒ V1 = 40π cm3
Figura II: V r2 2
2 10= ⋅π ⇒ V2 = π(1,8)2 ⋅ 10 ⇒ V2 = 32,4π cm3
O preço proporcional da embalagem nova seria, então:
40
2
32 4 1 62π π= ⇒ =, ,
x
x
Portanto, o consumidor pagará R$ 2,00 – R$ 1,62 = R$ 0,38 
a mais por unidade da embalagem de suco.
X4GM
MAT – PROVA II – PÁGINA 28 ENEM – VOL. 8 – 2017 BERNOULLI S ISTEMA DE ENSINO
QUESTÃO 153 
Marcelo comprou uma casa recentemente e resolveu 
fazer algumas melhorias na área externa. Ele decidiu 
primeiramente cercar o jardim para evitar que seu cachorro 
destruísse as plantas. Para saber a quantidade de material 
necessário para a construção da cerca, ele analisou a 
planta baixa do canteiro, que tem o formato de um trapézio 
isósceles, representado na figura a seguir:
B C
DA
4 cm
Sabe-se ainda que a medida do ângulo agudo desse 
trapézio é igual à metade da medida do seu ângulo obtuso 
e que AC é perpendicular a CD. 
Marcelo determinou o perímetro do canteiro no projeto. 
Se ele fez os cálculos corretamente, encontrou o perímetro 
do canteiro igual a
A. 	 18 cm.
B. 	 12 + 4 3( ) cm.
C. 	 20 cm.
D. 	 16 + 4 3( ) cm.
E. 	 20 + 4 3( ) cm.
Alternativa C
Resolução: Considere a imagem a seguir para a solução 
da questão:
B C
DA H
4 cm
2α – 90º
2α – 90º
α
Considere o ângulo ADC = α; assim, BCD = 2α e 
ACB = 2α – 90°. Como ACB e CAD são alternos internos, 
temos que: CAD = 2α – 90°
Logo, no triângulo ACD, temos: 
α + 90° + 2α – 90° = 180° ⇒ 
3α = 180° ⇒ α = 60° ⇒ CAD = 30°
Como o triângulo ACD é da forma 30°, 60°, 90°, temos que a 
hipotenusa AD = 8. Analogamente, temos, no triângulo CHD, 
que HD = 2 ⇒ BC = 4. Portanto, o perímetro 2p do trapézio 
é igual a 2p = 4 + 4 + 4 + 8 = 20 cm. 
6YX9
^ ^
^ ^ ^
^
^
^
QUESTÃO 154 
De acordo com a lenda do rei Artur, ele e seus cavaleiros 
se reuniam em uma mesa redonda. No ano de 1976, 
uma mesa que supostamente pertenceu ao rei Artur foi 
encontrada em um sítio arqueológico no Castelo de Winchester, 
na Inglaterra.
Para datar objetos antigos, é comum o uso da datação 
por carbono-14. Nesse processo, sabe-se que a quantidade 
de massa de carbono-14 presente em um objeto antigo é 
dada pela relação M(t) = M0· e–0,00012t, em que M0 é a massa 
inicial e (e) é a constante neperiana. Usando a tecnologia 
do teste de carbono-14, foi feita a datação da mesa, 
que apresentou como resultado uma massa de 82% de 
carbono em relação à massa M0.
O tempo t aproximado, em anos, da mesa encontrada é
Dado: ln 0,82 = –0,2 
A. 	 1 670.
B. 	 1 570.
C. 	 1 540.
D. 	 1 510.
E. 	 1 470.
Alternativa A
Resolução: Para determinar o tempo t da mesa, devemos 
realizar a sua datação por carbono-14 pela relação dada. 
Fazendo M(t) = 0,82.M0, temos:
M t M M e
e e
t
t t
( ) ,
, ln ln
,
, ,
= ⋅ = ⋅ ⇒
= ⇒ =
−
− −
0 82
0 82
0 0
0 00012
0 00012 0 00012 00 82
0 00012 0 2 0 0012 2
12 20 000 20 000
12
1670
,
, , ,
⇒
− = − ⇒ = ⇒
= ⇒ = ≅
t t
t t
QUESTÃO 155 
O esquema a seguir mostra três terrenos que formam 
um quarteirão e que têm laterais paralelas à Avenida A. 
Algumas medidas estão destacadas, em metros, na figura. 
120 m
50 m
Avenida A
R
ua
 A
Ru
a 
B
40 m
20 m
20 m
25 m
x
y
Um investidor adquiriu os três terrenos e pretende 
construir um muro que delimite todo o quarteirão. Além disso, 
a empreiteira contratada para o serviço consegue construir 
9 metros lineares de muro por dia.
Y234
8WKR
ENEM – VOL. 8 – 2017 MAT – PROVA II – PÁGINA 29BERNOULLI S ISTEMA DE ENSINO
Para que o terreno esteja todo murado exteriormente, o número mínimo de dias necessários deve ser igual a 
A. 	 18.
B. 	 26.
C. 	 36.
D. 	 38.
E. 	 42.
Alternativa D
Resolução: Considere a figura a seguir para a solução do problema, em que x e y são as medidas que faltam do terreno:
120 m
20 m
20 m 25 m
40 m
50 m
y
x
Aplicando o Teorema de Tales, temos:
20 25
20
400
25
16m
x
m
m
x m x m= ⇒ = ⇒ =
 
y
m
m
m
y m y m
25
40
20
1000
20
50= ⇒ = ⇒ =
 
Portanto, o comprimento linear total do muro, em metros, é dado por:
120 + 20 + 25 + 50 + 50 + 40 + 20 + 16 = 341
Assim, o número de dias d gastos pela empreiteira será dado por:
d = ≅341
9
37 9,
 
Logo, o número mínimo de dias necessários é 38.
QUESTÃO 156 
A figura a seguir representa a planta de uma empresa revendedora de carros. O pátio dessa revendedora é utilizado para 
acomodar os veículos que serão revendidos e uma pequena oficina. Depois de um período chuvoso, parte do muro do pátio 
ficou danificada e deverá ser reconstruída. O segmento AB representa a parte que deverá ser refeita.
Revendedora Pátio
A
B
N
5 m
C12 m M 4 m
Oficina
ØØRM
MAT – PROVA II – PÁGINA 30 ENEM – VOL. 8 – 2017 BERNOULLI S ISTEMA DE ENSINO
A parte do muro, em metros, que deverá ser refeita é igual a
A. 	 12.
B. 	 17.
C. 	 18.
D. 	 23.
E. 	 25.
Alternativa A
Resolução: Pelo Teorema de Pitágoras utilizado no triângulo 
NMC, temos que NM = 3m. Usando o fato de os triângulos 
ABC e NMC serem semelhantes: 
4
4 12
3 12
+
= ⇒ =
BA
BA m
QUESTÃO 157 
O lucro mensal, em milhares de reais, de uma empresa 
de transportes durante um ano pode ser representado pela 
função f(x) = x2 – 11x + 28, em que x = 0 corresponde ao 
mês de janeiro, x = 1 representa o mês de fevereiro, e assim 
por diante.
De acordo com as informações, o número de meses nos 
quais essa empresa não teve prejuízo é igual a
A. 	 11.
B. 	 10.
C. 	 9.
D. 	 8.
E. 	 7.
Alternativa B
Resolução: Para que a empresa não tenha prejuízo, 
devemos ter f(x) ≥ 0. Lembrando que 0 ≤ x ≤ 11, temos:
x2 – 11x + 28 ≥ 0
∆ = (–11)2 – 4 ⋅ 1 ⋅ 28 ⇒
∆ = 121 – 112 = 9
x
x ou x
=
− − ±
⋅
⇒
= =
( )11 3
2 1
4 7
 
Assim, como essa função tem concavidade voltada para cima, 
temos que a solução para a desigualdade f(x) ≥ 0 é dada por:
]–∞, 4] ∪ [7, ∞[
Agora, como temos também a condição 0 ≤ x ≤ 11, o intervalo 
que representa a interseção desses conjuntos é dado por:
[0, 4] ∪ [7, 11]
Dessa forma, os valores inteiros contidos nesse intervalo são: 
{0, 1, 2, 3, 4, 7, 8, 9, 10, 11}
QUESTÃO 158 
Joana, ao preparar café, usa um coador no formato de 
um cone circular reto cuja capacidade é de 500 mL. Para 
transferir e coar os 756 mL de café do fervedor para uma 
garrafa térmica, ela vira 500 mL de café do fervedor no 
coador, espera até que todo o líquido passe para a garrafa 
térmica para assim virar o restante do café no coador.
S4XH
8JWX
Sabendo-se que, ao transferir o restante do café para 
o coador, este alcança uma altura de 4 cm, o raio, 
em centímetros, do coador usado por Joana é igual a
Considere π = 3.
A. 	 10.
B. 	 9.
C. 	 8.
D. 	 7.
E. 	 6.
Alternativa A
Resolução: Na segunda transferência, serão colocados no 
coador 756 mL – 500 mL = 256 mL de café. Assim, considere a 
figura a seguir para a representação do problema, em que V1 é 
o volume total do coador, V2 o volume da segunda transferência, 
H a altura do coador, R o raio do coador e r o raio do cone 
formado pelo café na segunda transferência e h = 4 cm:
R
r
H – h
h
Pelo texto, temos:
V r cm mL
r cm L dm
r cm cm
2
2
2 3
2 3
1
3
4 256
4 0 256 0 256
4 256
= ⋅ ⋅ ⋅ = ⇒
⋅ = = ⇒
⋅ = ⇒
π
, ,
rr cm r cm2 264 8= ⇒ = 
Assim, como

Qual será a medida em metros do comprimento desse muro que Marcelo irá construir 8 0 m?

Será a medida em metros do comprimento desse muro que Marcelo irá construir 8 0 m 8 5 m 9 6 m 10

Quantos metros de comprimento deverá ter o muro que o proprietário do terreno 2 construirá para fechar o lado que faz?

Qual será o comprimento total em metros desse muro que Paulo irá construir?