Um time de futebol ganha 3 pontos por cada vitória, 1 ponto por empate

Como probabilidades podem ser usadas em um campeonato de futebol?

O que nós utilizamos em nosso programa?

Como podemos definir a probabilidade de cada evento?

Qual a diferença entre uma afirmação matematicamente verdadeira e uma estatisticamente provável?

Será que 100% de chances significa certeza do evento ocorrer?

Como probabilidades podem ser usadas em um campeonato de futebol?

O campeonato brasileiro, com sua atual fórmula de dois turnos disputados por 20 equipes, torna-se um excelente problema para se discutir probabilidades. Vale lembrar que são dois turnos, cada um com 19 rodadas de 10 jogos. Assim, o campeonato completo tem 380 jogos. Se não nos preocuparmos com saldo de gols, mas apenas em separar os resultados em vitória, empate ou derrota, teremos 380 “sorteios” com três alternativas cada. Isso dá um total de 3380 “campeonatos” diferentes.

A maioria das pessoas têm dificuldade em imaginar este número. Por exemplo, normalmente as pessoas consideram “muito grande” o número de grãos de areia em uma praia. O número de combinações de resultado possíveis no campeonato brasileiro é bem maior que isso. Para se ter idéia, o número de resultados possíveis em apenas uma rodada é 310 = 59.049, ou seja, se pedirmos para cada pessoa guardar uma combinação possível, precisaremos de toda o público de um clássico para dar conta de uma rodada.

Nesse mesmo sistema (uma pessoa por combinação possível), usaremos toda a audiência de um final de Copa do Mundo (metade da população da Terra) para guardar todas as combinações possíveis de duas rodadas: 320 combinações possíveis. Tentemos uma abordagem diferente. Por exemplo, cada átomo do seu corpo poderia guardar uma das combinações de resultados (não pergunte como). Seu corpo tem da ordem de 1026 átomos, que com um pouco mais de boa vontade pode ser o suficiente para guardar os resultados de cinco rodadas! E já que começamos a usar os átomos para guardar os resultados possíveis, que tal usarmos todos os átomos do sistema solar? Podemos estimar que estes seriam suficientes para 12 rodadas do campeonato. Só por curiosidade, o número 3380 de combinações possíveis de resultados é maior que 10180, ou seja, o número formado pelo algarismo 1 seguido por 180 zeros!

Se por um lado essa quantidade de resultados torna impossível considerá-las individualmente, causa conforto saber que a relação entre probabilidades e “o mundo real” depende de um resultado matemático conhecido como Lei dos Grandes Números. A grosso modo, não adianta muito você saber que um dado de seis faces é honesto se ele for lançado uma única vez. Ou ainda, você não terá como saber se ele é ou não honesto apenas com esse lançamento. Já se esse dado for lançado um milhão de vezes, você sabe de antemão que, se ele for honesto, a chance é imensa que a quantidade de vezes que a face quatro vai aparecer estará entre 160 mil e 170 mil. Se, por outro lado, isso não acontecer, é muito grande a chance que o dado não seja honesto.

Todos que gostam de futebol devem concordar que há uma diferença conceitual entre a loteria esportiva e outras loterias numéricas (ou jogos com dados). Nas loterias numéricas acreditamos que todos os números envolvidos no sorteio são equiprováveis (têm a mesma chance de ser sorteado). Já na loteria esportiva, os jogos comumente têm favoritos e “zebras”, ou seja, há uma distribuição desigual da probabilidade entre os possíveis resultados. É com este tipo de problema que nos deparamos ao tentar tratar o Campeonato Brasileiro de Futebol probabilisticamente.

Nosso problema é ainda um pouco mais complicado do que o que já foi exposto. As probabilidades de cada resultado em cada jogo dependem de muitos fatores, impossíveis de se levar em conta nos mínimos detalhes. Como exemplos, temos o estádio onde é disputada a partida, a temperatura no horário do jogo, se chove ou não, os desfalques de cada equipe, os resultados recentes dos times, a situação de cada um no campeonato, o árbitro escalado para o confronto…

Finalizando, temos um número muito grande de possibilidades, cada uma delas tem uma probabilidade de ocorrer. Para saber a chance de um time ser campeão, devemos somar as probabilidades de cada alternativa que dá o título a este time. Parece simples, mas levando em consideração o número de alternativas discutido acima, esta estratégia se torna inviável, exceto se fizermos muitas simplificações.

O que nós utilizamos em nosso programa?

Inúmeros fatores influenciam nas probabilidades de resultado de um jogo de futebol. Assim, qualquer modelo criado para simular o campeonato é necessariamente super simplificado. E este é um dos aspectos mais fascinantes do problema geral de modelagem: como conseguir bem descrever uma situação complexa com modelos simples?

A primeira grande simplificação que fazemos é que, ao invés de nos preocuparmos em determinar todas as combinações possíveis de resultados, atribuimos probabilidades a elas, para depois somar as probabilidades dos casos favoráveis, fazemos um grande número de simulações do campeonato. Feitas as simulações, contamos quantas terminaram com o resultado favorável (tal time campeão ou tal time rebaixado…) e dividimos pelo número total de simulações.

Duas perguntas são naturais aí: onde entram as probabilidades de cada jogo e até que ponto as probabilidades estimadas dessa maneira são confiáveis?

As probabilidades de cada jogo entram na ideia de simulação. A simulação usa o sorteio de um número aleatório para definir o vencedor de cada partida. Este número aleatório é sorteado como um número positivo menor que, ou igual a, 1. Se, por algum motivo, consideramos que o mandante de um certo jogo (isso varia de jogo para jogo, detalhes mais abaixo) tem 45% de chance de vitória, 35% de chance de empate e 20% de chance de derrota, vamos considerá-lo vitorioso, nesta simulação, se o número aleatório for menor que (ou igual a) 0,45, consideraremos o resultado como empate se o número estiver acima de 0,45 e abaixo de (ou igual a) 0,80 e consideraremos o resultado de vitória do visitante se aquele número aleatório estiver acima de 0,80. Sendo mais geral, para cada partida, temos um número p<1 que dá a probabilidade da vitória do mandante, outro número q<1-p que dá a probabilidade do empate. Sorteamos um número aleatório x entre 0 e 1, se x≤p o mandante venceu este jogo nesta simulação; se p<x≤ p+q, o é considerado empate; se x>p+q, o visitante é que venceu. Entendido como simulamos o resultado de uma partida, basta dizermos que uma rodada do Campeonato é simulada fazendo as 10 partidas desta forma.

O problema agora é saber como determinar os números p e q que definem as probabilidades para cada jogo. Aqui entra a arte da modelagem, citada acima. Se o Brasil fosse o “país da matemática”, ao invés do “país do futebol”, possivelmente diríamos que cada brasileiro é um modelador, assim como dizemos que cada brasileiro é um técnico de futebol. Existem infinitas maneiras de gerar estes números p e q e não é fácil decidir “qual a melhor maneira” (sequer é fácil decidir o que significa “melhor”). Escolhemos uma, que nos pareceu razoável. Com o passar do tempo, fizemos algumas modificações. Queremos compará-la com várias outras possibilidades, o que deve ser feito no futuro. Algumas características de nossa modelagem:

1. As probabilidades dependerão apenas da história das equipes dentro do próprio campeonato;
2. O mando de campo é um fator importante, mas times diferentes reagem de maneiras diferentes a este fator;
3. Vencer uma partida aumenta a probabilidade de vencer outras; Perder aumenta a probabilidade de perder; Empatar aumenta a probabilidade de empatar.

A primeira é apenas um fator simplificador e destinado a evitar “preconceitos” nossos, como tentar definir quanto “pesa a camisa” de cada time ou outros conceitos. De fato, isto não é verdade. A história anterior de cada clube, os fatos recentes, os desfalques, se ele disputa outras competições simultaneamente… tudo isso “entra em campo”, mas se torna difícil de modelar. E sempre é bom começarmos por modelos simples. A segunda parece uma hipótese razoável, e encontramos uma maneira simples de incluí-la em nosso modelo. Já a terceira é apenas uma espécie de versão futebolística de “o rio corre para o mar”: times que vencem muito tornam-se favoritos.

Vamos ao modelo. A cada rodada, cada time é descrito por dois trios de números. Um trio representa seu perfil de mandante e o outro trio seu perfil de visitante. Isoladamente, o trio de números que descreve o perfil de mandante de um time pode ser pensado como a sua tendência a vencer, empatar ou perder jogos em casa. Da mesma forma para seu perfil de visitante. Cada um desses números é positivo e a soma de cada trio é sempre 1. Quando o time A recebe o time B para jogar “em sua casa”, o número p que representa a probabilidade de vitória do mandante será inferido fazendo a média aritmética entre a tendência de vitória expressa pelo perfil de mandante de A e a tendência de derrota do perfil de visitante de B. De maneira análoga, obtém-se q fazendo a média das tendências de empate. Pela propriedade de soma 1, estes dois número descrevem as probabilidades das três alternativas consideradas.

Uma característica importante do nosso modelo é que, terminada a rodada, os perfis dos times são atualizados, de acordo com a hipótese 3 acima. O que fazemos é alterar o perfil de mandante daqueles que jogaram como mandantes na rodada e o perfil de visitante dos demais. Para isso, fazemos uma média ponderada entre o perfil antes da rodada e o trio de números que descreve o resultado (um para o resultado ocorrido, zero para as outras duas alternativas). Surge aí uma questão: quais pesos usar nesta média ponderada? É natural que o perfil anterior tenha um peso maior do que o resultado apenas do último jogo. O quanto maior é uma questão que não sabemos responder. Já usamos alguns valores diferentes em nosso programa, e recentemente resolvemos incluir ainda o desempenho do adversário nesta conta. Vencer um adversário bom muda mais o perfil de um time do que vencer um adversário fraco. Da mesma forma, perder para um adversário fraco piora mais o perfil do que perder para o líder do campeonato.

Assim, começando com os dados das rodadas já realizadas, obtemos os perfis de cada equipe e rodamos as simulações. Atualmente, rodamos da ordem de um milhão de “campeonatos”, para determinar as probabilidades exibidas nesta página. Como hipótese não tendenciosa usamos inicialmente o mesmo perfil para todos os times: 4-3-3, que aqui não é esquema tático, mas apenas uma probabilidade um pouco maior de vitória do mandante do que dos outros dois resultados (estes números também foram escolhidos apenas por simplicidade, e de fato significam o trio [0.4, 0.3, 0.3]).

Como podemos definir a probabilidade de cada evento?

Para essa pergunta, não há uma resposta precisa. Há sempre uma grande dependência em hipóteses que assumimos. Por exemplo, ao considerarmos que um cara ou coroa apresenta 50% de probabilidade para cada resultado, assumimos, por exemplo, que a moeda nunca “pára de pé”. Também assumimos que o lançamento e a própria distribuição de material na moeda não “viciam” tal lançamento.

Qual a diferença entre uma afirmação matematicamente verdadeira e uma estatisticamente provável?

A Matemática tem um forte compromisso com a Lógica. Mantendo em mente nosso exemplo de um campeonato de futebol por pontos corridos, um time só pode ser dito matematicamente livre do rebaixamento, ou matematicamente classificado para a Libertadores, ou qualquer outra expressão deste tipo, quando todas as combinações ainda possíveis àquela altura do campeonato levam a esta mesma conclusão (o rebaixamento de tal time, ou a classificação para a Libertadores de tal outro).

Se quisermos ser ainda mais precisos (e os matemáticos têm este hábito), devemos deixar claras algumas hipóteses assumidas para que seja verdade um fato do tipo “tal time está matematicamente rebaixado”. Por exemplo, assumimos que nenhum time será punido por alguma atitude irregular (utilização ilegal de jogador, compra de árbitros…) com perda de pontos.

Mas como a cada rodada ainda são sempre muitas as possibilidades do campeonato, pode acontecer de um evento ser extremamente provável (por exemplo, ter 99,9% de chances). Tais eventos são ditos estatisticamente prováveis. Quando o rebaixamento de um certo time é estatisticamente provável, isso significa que muito provavelmente ele vai cair sim, mas que “ainda há esperanças”. Em geral, é o que fica conhecido como “só uma improvável combinação de resultados para salvar tal equipe”.

Um dos nossos objetivos ao criar esta página é separar muito claramente o que são fatos matemáticos e o que são possibilidades estatísticas.

Será que 100% de chances significa certeza do evento ocorrer?

A primeira vista, um evento 100% provável acontece sempre e um evento com probabilidade zero nunca acontece. Mas há uma sutileza aí relacionada à quantidade de eventos possíveis. Em nossas tabelas, por exemplo, usamos percentuais de probabilidades com duas casas decimais. Isso significa que só distinguimos as probabilidades de 0,001% em 0,001%. Com isso, se obtivermos que as chances de um time ser campeão são menores que 0,0005% (por exemplo, uma em um milhão), isso será representado em nossa tabela como 0,000%. Isso quer dizer que é estatisticamente improvável que esse time seja campeão, mesmo que ainda haja uma possibilidade matemática disto acontecer (para mais detalhes, clique aqui). É claro que quando o time não tiver mais possibilidade de ser campeão (se faltando cinco rodadas ele estiver 20 pontos atrás do líder, por exemplo) nossa tabela também mostrará 0,000% de probabilidade para este time ser campeão.