Determine o perimetro do hexágono regular inscrito em uma circunferência de raio igual a 7 cm

Tomando por base um hex�gono, podemos deduzir as rela��es entre seus lados, bem como uma circunfer�ncia de raio unit�rio, na qual ele se encontra inscrito:

Figura 1 - Hex�gono inscrito em uma circunfer�ncia de raio unit�rio.

Note que o �ngulo de 30o � metade do �ngulo interno de 60o, que, ao ser multiplicado por 6, resulta em 360o.

A metade do lado l/2, segundo a regra do seno de 30o, vale:

Essa � uma caracter�stica importante do hex�gono: ter o lado igual ao raio da circunfer�ncia em que est� inscrito.

O per�metro do hex�gono ser� 6.

Agora, vejamos o hex�gono que circunscreve uma circunfer�ncia de raio unit�rio:

Figura 2 - Hex�gono que circunscreve uma circunfer�ncia de raio unit�rio.

Usando-se a tangente do �ngulo de 30o:

E o per�metro ser� de

Nota: o valor dos lados poderia ser calculado utilizando-se o teorema de Pit�goras.

Contudo, o comprimento da circunfer�ncia estar� entre os dois per�metros: o do hex�gono inscrito e o do hex�gono que circunscreve o c�rculo:

Figura 3. Hex�gonos - inscrito e circunscritivo - e circunfer�ncia de raio unit�rio.

Logo, o valor do per�metro da circunfer�ncia

E o valor de

Ora, se aumentamos o n�mero de lados do pol�gono regular, o resultado ser� um valor de PI cada vez mais exato.

pensou nisso e conseguiu calcular o valor de PI para um pol�gono de 96 lados, chegando a um valor de:

Por exemplo, para um pol�gono de 384 lados:

Voc� conseguiria chegar � express�o do comprimento do lado de um pol�gono de 96 lados?

E de 384?

Note que os dois s�o pol�gonos com lados m�ltiplos de 6.

*Carlos Alberto Campagner � engenheiro mec�nico, com mestrado em mec�nica, professor de p�s-gradua��o e consultor de inform�tica.

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Dizemos que um polígono está inscrito quando existe uma circunferência que contém todos os seus vértices. Além disso, um polígono é regular quando ele possui todos os lados com a mesma medida e seus ângulos internos são congruentes. Portanto, um hexágono regular inscrito é um polígono que possui seis lados com a mesma medida e seis ângulos internos congruentes e cujos vértices são todos pontos pertencentes a uma circunferência. Veja na figura abaixo um hexágono regular inscrito:

As relações métricas no hexágono regular inscrito são fórmulas que podem ser usadas para encontrar a medida de seu lado e a medida de seu apótema a partir apenas do raio da circunferência na qual ele está inscrito. Essas fórmulas são:

l = r

Em que o raio da circunferência é igual ao lado do hexágono e:

a = r√3
     2

Nessa fórmula, a é o apótema e r é o raio da circunferência.

Construções e elementos no hexágono inscrito

Antes de discutir essas fórmulas, convém realizar algumas construções no hexágono a fim de que suas demonstrações tornem-se mais diretas.

1º – Escolha dois vértices consecutivos do hexágono e construa os raios da circunferência que se ligam a eles. Observe na imagem a seguir que esses raios são os segmentos OA e OB, os quais, unidos ao segmento AB, formam um triângulo:

2º – Trace o apótema do hexágono, que, na imagem acima, é o segmento AP. O apótema é um segmento de reta que liga o centro de um polígono a um de seus lados, formando com ele um ângulo reto.

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3º – Como o polígono é regular, o apótema também é mediana do lado AB e bissetriz do ângulo AÔB.

4º – Observe que o ângulo AÔB mede 60°. Isso acontece porque o polígono é regular, então, cada um de seus seis ângulos centrais é igual a 360°/6 = 60°.

5º – Como os lados AO e BO do triângulo ABO são raios da circunferência na qual o hexágono está inscrito, então, eles são congruentes. Isso significa que esse triângulo é isósceles e que os ângulos da base são iguais. Pela soma dos ângulos internos do triângulo, concluímos que cada ângulo interno de ABO mede 60°. Portanto, ele é um triângulo equilátero.

Dadas essas propriedades, colocaremos todas as medidas encontradas no triângulo ABO. Observe que, se o lado do hexágono mede l, então, o segmento PB = l/2.

Demostração das relações métricas

Primeiramente, sabendo que o triângulo ABP é equilátero, o lado l do hexágono tem a mesma medida que o raio da circunferência. Assim:

l = r

Além disso, considere o triângulo OPB da imagem anterior e calcule o cosseno de 30°:

Cos30° = a
               r

√3 = a
2     r

r√3 = a
2      

a = r√3
     2

Exemplo: Calcule a medida do lado e do apótema de um hexágono regular inscrito em uma circunferência de raio 10 cm.

Lado: como l = r, teremos que l = 10 cm.

Apótema: Usando a fórmula encontrada, teremos:

a = r√3
     2

a = 10√3
      2

a = 5√3 cm.

Como calcular o perímetro de um hexágono regular inscrito?

Qual o perímetro de um hexágono regular inscrito numa circunferência de 18 cm de diâmetro?

Quanto mede o lado de um hexágono regular inscrito em circunferência de raio 10 cm?