O instante em que a bola atinge a altura máxima

(a) Com que velocidade deve ser lançada uma bola verticalmente a partir do solo para que atinja uma altura máxima de 50 m? (b) Por quanto tempo permanece no ar? (c) Esboce os gráficos de y, ve aem função de tpara a bola. Nos dois primeiros gráficos, indique o instante no qual a bola atinge a altura de 50 m.

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Passo 1

(a) Galera, quando a altura é máxima, a velocidade é zero!! Isso porque é o ponto onde o objeto para de subir e começa a cair. Ok?

Sabendo disso, vamos pôr as informações que temos na equação de Torricelli, sabendo que a v = 0.

v 2 = v 0 2 + 2 g Δ y

Isolando v 0:

v 0 = v 2 - 2 g Δ y

v 0 = 0 2 - 2 . - 9,8 . 50

∴

v 0 = 31 m / s

Passo 2

(b) Vamos usar a função horária da velocidade para descobrir o tempo de subida da bola.

v = v 0 + g t

Isolando t:

t = v - v 0 g

t = 0 - 31 - 9,8 = 3,2 s

A bola sobe e desce, certo? E como o tempo de subida é igual ao de descida, então ela permanece no ar um tempo igual duas vezes seu tempo de subida. Portanto, ela fica no ar por 6,4 s.

Passo 3

(c) Pela função horária da posição:

y ( t ) = y 0 + v 0 t + g t 2 2

y t = 31 t - 4,9 t 2

Sabemos que a velocidade é a derivada da função posição e que a aceleração é a derivada da velocidade, então temos:

O lançador em uma partida de softball arremessa a bola de um ponto situado 3,0 pés acima do solo. Um gráfico estroboscópico da posição da bola é mostrado na figura, onde as leituras estão separadas por 0,25   s e a bola foi lançada em t = 0. (a) Qual é o módulo da velocidade inicial da bola? (b) Qual é o módulo da velocidade da bola no instante em que atinge a altura máxima em relação ao solo? (c) Qual é essa altura máxima?

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Passo 1

(a) Nosso primeiro objetivo é encontrar o módulo da velocidade inicial da bola. Uma forma de fazer isso é encontrar cada uma das componentes iniciais v x e v y e então fazer:

v 0 = v x 2 + v y 2

Essas velocidades aparecem nas fórmulas para as coordenadas x e y da bola:

x = x 0 + v x t

y = y 0 + v y t - 1 2 g t 2

E temos que nos lembrar de usar a aceleração da gravidade em unidades do sistema imperial, já que o gráfico também está nessas unidades:

g = 32   p é s / s 2é

Passo 2

(a) Para encontrar os valores de v x e v y vamos usar o sexto ponto do gráfico, que tem coordenadas ( 40   p é s , 3   p é séé) e corresponde ao instante t = 5 0,25 = 1,25   s.

Começando por v x:

40 = v x 1,25

v x = 32   p é s / sé

E agora v y. Perceba que nesse quinto ponto y - y 0 = 0:

y = y 0 + v y t - 1 2 g t 2

0 = v y 1,25 - 1 2 32 1,25 2

v y = 20   p é s / sé

E agora podemos calcular o módulo da velocidade:

v = 20 2 + 32 2

v = 38   p é s / sé

Passo 3

(b) No instante em que a bola atinge a altura máxima a sua velocidade vertical é nula, e ela tem apenas a componente horizontal da velocidade.

Mas essa componente é constante! Ou seja, ela não muda desde o início do movimento. Então podemos pegar o resultado que já encontramos para a velocidade horizontal inicial v x:

v = 32   p é s / sé

Passo 4

(c) Para encontrar a altura máxima, vamos pensar no seguinte: a bola leva 1,25   s para chegar na mesma altura em que foi lançada, certo?

Como a bola atinge a altura máxima exatamente na metade do movimento, o instante de tempo em que isso acontece é:

Uma bola � lan�ada, e a sua altura h, em metros, � dada pela express�o h = – t2 + 4t + 3, onde o tempo t � dado em segundos. Nesse caso, podemos afirmar que o instante, em que a bola atinge a altura m�xima � de ______ segundos, e que a altura m�xima atingida, � de ______ metros.

Qual foi o instante em que a bola atinge a altura máxima?

Qual é a altura máxima atingida pela bola de golfe nessa jogada?

Quantos metros de altura estará essa bola após 2 segundos do lançamento?

Quantos segundos depois do lançamento Ela toca o solo?