O que é processo de transferência de massa?

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Livro de transf de massa para engenheiros

Professor at Federal University of Pernambuco

Livro de transf de massa para engenheiros

1. Edição de agosto de 2005 Universidade Federal da Bahia Samuel Luporini Transferência de Massa
2. OBJETIVOS: 1. Conhecimento básico das leis de transferência de massa indispensável a uma formulação correta dos problemas correntes de engenharia química. 2. Desenvolvimento da capacidade para modelar matematicamente, simular e avaliar processos de transferência de massa com ênfase em equipamentos de contato direto. TRANSFERÊNCIA DE MASSA 1. Fundamentos da transferência de massa 1.1. Transferência de massa molecular 1.2. O coeficiente de difusão 1.3. Transferência de massa convectiva 2. Equações diferenciais de transferência de massa 2.1. A equação diferencial de transferência de massa 2.2. Formas especiais da equação de transferência de massa 2.3. Condições de contorno 2.4. Modelagem de processos envolvendo difusão molecular 3. Difusão molecular no estado estacionário 3.1. Transferência de massa independente de reação química 3.2. Sistemas associados com reação química 3.3. Sistemas de duas e três dimensões 3.4. Transferências simultâneas de momento, calor e massa 4. Difusão molecular no estado transiente 4.1. Difusão transiente e a segunda lei de Fick 4.2. Difusão transiente em meio semi-infinito 4.3. Difusão transiente em um meio finito sob condições de resistência de superfície desprezível 4.4. Cartas de concentração tempo para formas geométricas simples 5. Transferência de massa convectiva 5.1. Considerações fundamentais em transferência de massa convectiva 5.2. Parâmetros significantes em transferência de massa convectiva 5.3. Analise dimensional 5.4. Análise exata da camada limite de concentração laminar 5.5. Análise aproximada da camada limite de concentração 5.6. Analogias entre transferência de massa, calor e momento 5.7. Modelos para coeficientes de transferência de massa convectiva
3. 6. Transferência de massa convectiva entre fases 6.1. Equilíbrio 6.2. Teoria das duas resistências 7. Correlações para transferência de massa convectiva 7.1. Transferência de massa para placas, esferas e cilindros 7.2. Transferência de massa envolvendo escoamento através de tubos 7.3. Transferência de massa em colunas de parede molhada 7.4. Transferência de massa em leitos fixo e fluidizado 7.5. Transferência de massa gás-líquido em tanques agitados 7.6. Coeficientes de capacidade para torres de recheio 7.7. Modelagem para processos de transferência de massa envolvendo convecção 8. Equipamentos de transferência de massa 8.1. Tipos de equipamentos de transferência de massa 8.2. Operações de transferência de massa gás-líquido em tanques de mistura perfeita 8.3. Balanços de massa para torres de contatos contínuos 8.4. Balanço de entalpia para torres de contatos contínuos 8.5. Coeficientes de capacidade para transferência de massa 8.6. Analises de equipamentos de contatos contínuos Bibliografia: WELTY, J.R., WICKS, C.E., WILSON, R.E., RORRER, G., Fundamentals of Momentum, Heat and Mass Transfer, 4th Edition, John Wiley & Sons, Inc., 2001. WELTY, J.R., WICKS, C.E., WILSON, R.E., Fundamentals of Momentum, Heat and Mass Transfer, 3th Edition, John Wiley & Sons, Inc., 1984. BIRD, R.B., STEWART, W.E., LIGTHFOOT, E.N., Fenômenos de Transporte, 2a. edição, LTC EDITORA, 2004. CREMASCO, M.A., Fundamentos de Transferência de Massa, 2ª. Edição revista, Editora UNICAMP, 2002. GEANKOPLIS, C.J., Mass Transfer Phenomena, Holt Rineart and Winston, Inc., 1972. MILLS, A.F., Mass Transfer, Prentice Hall, 2001. CUTLIP, M.B., SHACHAM, M., Problem Solving in Chemical Engineering with Numerical Methods, Prentice Hall PTR, Chapter 7 Mass Transfer, 1999.
4. Fundamentos de Transferência de Massa 1.1 Samuel Luporini/DEQ/UFBA 1. FUNDAMENTOS DA TRANSFERÊNCIA DE MASSA o Quando um sistema dois ou mais componentes na qual as concentrações variam de ponto a ponto, há uma tendência natural da massa ser transferida, minimizando as diferenças de concentração entre os sistemas. o O transporte de um constituinte de uma região de alta concentração para aquela de menor concentração é chamado de transferência de massa. o Exemplos: o A remoção de poluente a partir de uma corrente de descarga por absorção. ‘Stripping’ de gases por lavagem de água. o Difusão de nêutron em um reator nuclear. o A difusão de substâncias adsorventes dentro de poros de carbono ativado. o A taxa de catalise química e reações biológicas. o A transferência de massa pode ocorrer pelo movimento molecular ao acaso em fluidos estagnados ou podem ser transferidos a partir de uma superfície para um liquido em movimento, adicionado pelas características dinâmicas do escoamento. o Dois modos distintos de transporte: molecular convectivo simultâneos 1.1 TRANSFERÊNCIA DE MASSA MOLECULAR 1815 → Panot observou quantitativamente que uma mistura de gases contendo duas ou mais espécies moleculares, na qual as concentrações relativas variam de um ponto ao outro, um processo natural resulta em diminuir a desigualdade da composição, chamando de difusão molecular. O fluxo líquido de cada espécie molecular ocorre na direção de um gradiente de concentração negativo. Teoria cinética dos gases. A transferência de massa ou difusão ocorre somente em misturas.
5. Fundamentos de Transferência de Massa 1.2 Samuel Luporini/DEQ/UFBA CONCENTRAÇÕES: densidadeoutotalmássicaãoconcentraç Aespéciedamássicaãoconcentraç misturadavolume Ademassa A =ρ ==ρ (1.1) (1.3)1w (1.2)wmássicaFração n 1i i A n 1i i A A = ρ ρ = ρ ρ == ∑ ∑ = = n = número de espécie da mistura A concentração molar da espécie A, cA é o número de moles de A presentes por unidade de volume da mistura. 1 mol de A ≡ massa equivalente ao seu peso molecular M c A A A ρ = (1.4) MA = peso molecular de A Pela lei dos gases ideais pAV = nART, logo: RT p V n c AA A == (1.5) Onde: PA = pressão parcial da espécie A na mistura nA = número de moles da espécie A V = volume do gás Moléculas de espécie AMoléculas de espécie A
6. Fundamentos de Transferência de Massa 1.3 Samuel Luporini/DEQ/UFBA T = temperatura absoluta R = constante dos gases A concentração molar total, c, é o mole total da mistura por unidade de volume. RT P V n cc n 1i total i∑ = === (1.6) P = pressão total Fração molar de líquidos e sólidos: xA = cA/c Gases: yA = cA/c (1.7) Para uma mistura que obedece a lei dos gases ideais: (1.9)1ye1x DaltondeLei(1.8) P p RTP RTp c c y n 1i i n 1i i AAA A == === ∑∑ == Tabela 24.1 Concentrações em uma mistura binária com A e B (Welty) Exemplo 1: A composição do ar é muitas vezes dada em termos das duas espécies principais na mistura de gases: 79,0yN 21,0yO 2 2 N2 O2 =⇒ =⇒ Determinar a fração mássica de O2 e N2 e o peso molecular médio do ar a 25o C e 1atm. Velocidades Num sistema multicomponentes as varias espécies n, moverá normalmente a diferentes velocidades. A velocidade de mistura será a media das velocidades da cada espécie presente.
7. Fundamentos de Transferência de Massa 1.4 Samuel Luporini/DEQ/UFBA médiamolarevelocidadarelativaidedifusãodeevelocidadVv médiamássicaevelocidadarelativaidedifusãodeevelocidadvv molarmédiaadevelocid(1.11) c vc V ioestacionáreixoumparaideabsolutavelocidadev mássicamédiaadevelocid(1.10) vv v i i n 1i ii i n 1i ii n 1i i n 1i ii =− =− = = ρ ρ = ρ ρ = ∑ ∑ ∑ ∑ = = = = rr rr r r r rr r De acordo com a lei de Fick um componente pode ter uma velocidade relativa para a velocidade média molar ou mássica somente se existir gradientes de concentração. Exemplo 2: Sabendo que as velocidades absolutas das espécies químicas presentes na mistura gasosa são: cm/s;11vcm/s;19vcm/s;13vcm/s;10v z,NzO,HzO,zCO, 22 ==== Determinar: a) velocidade média molar da mistura b) velocidade média mássica da mistura c) velocidade de difusão de O2 na mistura relativa a velocidade média molar da mistura d) velocidade de difusão de O2 na mistura relativa a velocidade média mássica da mistura Fluxos É um vetor quantitativo atribuído a quantidade da espécie particular, em unidade mássica ou molar, que passa em um incremento de tempo através de uma área normal ao vetor. Podem ser definidos com referência a coordenadas fixas no espaço, coordenadas que movem com a velocidade média mássica ou molar. O fluxo molar na direção z:
8. Fundamentos de Transferência de Massa 1.5 Samuel Luporini/DEQ/UFBA zd cd DJ A ABz,A −= 1ª Lei de Fick (1.12) DAB = difusividade mássica ou coeficiente de difusão do componente A difundindo em B. dcA/dz = gradiente de concentração na direção z. zd yd cDJ A ABz,A −= (1.13) O fluxo mássico na direção z: zd wd Dj A ABz,A ρ−= (1.14) zd d Dj A ABz,A ρ −= (1.15) Para um sistema binário com uma velocidade média constante na direção z o fluxo molar relativo a velocidade média molar é: ( )VcJ zz,AAz,A −ϑ= (1.16) Igualando (1.13) com (1.16), temos: ( ) ( ) ( )z,BBz,AAAzAz,BBz,AAz zA A BA,z,AA A BA,zz,AAz,A ccyVcoucc c 1 V:sendo Vc dz dy cDc:Portanto dz dy -cDVcJ ϑ+ϑ=ϑ+ϑ= +−=ϑ =−ϑ=
9. Fundamentos de Transferência de Massa 1.6 Samuel Luporini/DEQ/UFBA ( ) :quetemos cNecN :sãoioestacionáreixoaorelativoBeAscomponentedosfluxosOs ccy dz dy cDc:Logo BBBAAA z,BBz,AAA A BA,z,AA ϑ=ϑ= ϑ+ϑ+−=ϑ rrrr ( )           +           =           ++−= soluçãodaglobal movimentodo resultantefluxo difusiva ãocontribuiçda resultantefluxo zeixoao referênciac/ Adefluxo NNy dz dy cDN z,Bz,AA A BA,z,A ( ) :temosformamesmaDa misturanaAdedifusãodeecoeficientD (1.18)NyycDN :nentemulticompomisturaumapara (1.17)NNyycDN MA, n 1i iAAMA,A BAAABA,A = +∇−= ++∇−= ∑ = rr rrr ( ) ( )B,zA,zA A A,BA,z B,zA,zA A A,BA,z nnw dz dw Dn liquidosparaNNx dz dx cDN ++ρ−= ++−=
10. Fundamentos de Transferência de Massa 1.7 Samuel Luporini/DEQ/UFBA Exemplo 3: Sabendo que a mistura gasosa tem as velocidades relativas: cm/s.11cm/s;19cm/s;13cm/s;10 z,Nz,OHz,Oz,CO 222 =ϑ=ϑ=ϑ=ϑ Determine para a temperatura de 105º C e 1 atm: a) Fluxo difusivo molar de O2 na mistura. b) Contribuição do fluxo convectivo de O2 na mistura. c) Fluxo molar total com referência ao eixo estacionário 2. COEFICIENTE DE DIFUSÃO Lei de Fick ⇒ a constante de proporcionalidade é conhecida como coeficiente de difusão. ( )w,T,PfD t L L1LM 1 tL M dzdc J D AB 2 32 A z,A AB = ≡         ⋅       ≡ − = Idêntico as dimensões fundamentais de outras propriedades de transporte. Viscosidade cinemática: ν Difusividade térmica: α = k/ρcp Difusividade mássica de gases - mistura gasosa de baixa densidade - teoria cinética dos gases Aumenta a mobilidade da molécula Gases → 5 x 10-6 a 10-5 m2 /s líquidos → 10-10 a 10-9 m2 /s sólidos → 10-14 a 10-10 m2 /s DAB diminui
11. Fundamentos de Transferência de Massa 1.8 Samuel Luporini/DEQ/UFBA Figura 1.2 Movimento molecular para a superfície de um volume de controle Transferência de massa médiolivrecaminho Nd2 1 acasoaomolecularevelocidad m kT8 C C 3 1 D y C 3 1 j 2 AA A y,A ⇒ π =λ ⇒ π = λ= ∂ ρ∂ λ= ? k = constante de Boltzmann N = concentração molecular m = massa de uma molécula CN 4 1 Z = d = diâmetro da molécula esférica Z = freqüência em que as moléculas alcançam a área ∆x ∆z 0 (estacionário) ( ) 0dv t dAn CVCS =ρ ∂ ∂ +ϑρ ∫∫∫∫∫ rr → Fluxo para frente = fluxo para trás ∆y ∆x x y ρA = ρA(y)
12. Fundamentos de Transferência de Massa 1.9 Samuel Luporini/DEQ/UFBA *AisótoposeueAEx similares.moléculasdemisturaumadedifusãodeeCoeficient m Tk Pd3 2 *D PcRTNkT :idealgásumPara m kT Nd3 2 *D:Logo 2133 223AA 21 223AA         π = ==       π = A equação de Chapman-Enkosg: D 2 AB 21 BA 233 AB P M 1 M 1 T10x858,1 D Ωσ       + = − onde: DAB (cm2 /s) MA e MB = pesos moleculares P = pressão absoluta (atm) σAB = diâmetro de colisão, parâmetro de Leonard-Jones (Å) ΩD = integral de colisão É válida para um par de gases apolares e moléculas não reagentes.       ε =Ω AB kT f TABELA K.1 WELTY onde: k = constane de Boltzmann = 1,38 x 10-16 erg/K εA = energia de interação molecular (ergs) Os parâmetros de Leonard-Jones σ e εAB ⇒ TABELA K.2 WELTY Na ausência de dados experimentais:
13. Fundamentos de Transferência de Massa 1.10 Samuel Luporini/DEQ/UFBA bA cA 31 c c 31 c 31 b T15,1k T77,0k P T 44,2 V841,0 V18,1 =ε =ε       =σ =σ =σ Vb = volume molar para o ponto normal de ebulição (cm3 /gmol) ⇒ TABELA 24.4 WELTY Vc = volume molar crítico (cm3 /gmol) Tc = temperatura crítica (K) Tb = temperatura de ebulição normal (K) Pc = pressão crítica em (atm) Para pares de moléculas apolares, tem-se BAAB BA AB 2 εε=ε σ+σ =σ Para moléculas polar-polar e polar-apolar são discutidas por Bird e Cremasco Predição de DAB variando com a P e T 2 1 1122 T,D T,D 23 1 2 2 1 P,T,ABP,T,AB T T P P DD Ω Ω             = Apêndice J.1 de Welty Exemplo 4: Avaliar o coeficiente de difusão para o CO2 no ar a 20ºC e 1 atm. Comparar com os dados experimentais.
14. Fundamentos de Transferência de Massa 1.11 Samuel Luporini/DEQ/UFBA Quando os parâmetros de Lennard-Jones não são disponíveis pode-se utilizar a equação de Fuller. ( ) ( )[ ]231 B 31 A 21 BA 75,13 AB P M 1 M 1 T10 D ∑∑ ϑ+ϑ       + = − ϑ ⇒ TABELA 24.3 WELTY Exercicio 5 (24.12), itens a, b, e Determinar os valores da difusividade dos seguintes gases. a) CO2/ar 310 K e 1,5 x 105 Pa b) Etanol/ar 325 K e 2,0 x 105 Pa e) SO2/ar 300 K e 1,5 x 105 Pa Exemplo 6. Reavaliar o coeficiente de difusão do dióxido de carbono em ar a 20º C e 1 atm, utilizando a equação de Fuller, Schettler e Giddings e comparar o novo valor com o obtido no exemplo 4. Para compostos polares, tem-se a equação de Hirschfelder com a integral de colisão avaliada por: ( ) (K)ebuliçãodenormalpontoT )gmol/(cmebuliçãodepontonolíquidodomolarvolumeV (debyes)dipolomomento TV 10x94,1 :onde T 169,0 b 3 b p bb p 3 21 BAAB 2 AB DoD = = =µ µ =δ δδ=δ δ +Ω=Ω ∗
15. Fundamentos de Transferência de Massa 1.12 Samuel Luporini/DEQ/UFBA ( ) ( ) ( ) ( )*HTexp G *FTexp E *DTexp C *T A T3,1118,1 k kkk kT T* BDo b 2 21 BAAB AB +++=Ω δ+= ε       ε + ε = ε ε = A = 1,06036 E = 1,03587 B = 0,15610 F = 1,52996 C = 0,19300 G = 1,76474 D = 0,47635 H = 3,89411 ( ) 31 2 b 21 BAAB AB 3,11 V585,1 colisãodediâmetro         δ+ =σ σσ=σ =σ Mistura de gases (WILKE) yyyy y y1delivremolarFração D y D y D y 1 D n432 2 2 n,1 n 3,1 3 2,1 2 mistura,1 +++ =′⇒ ′′ + ′ = L L
16. Fundamentos de Transferência de Massa 1.13 Samuel Luporini/DEQ/UFBA Exemplo 7: Determinar a difusividade do monóxido de carbono através de uma mistura de gases na qual a fração molar de cada componente são: 10,0y,70,0y,2,0y CONO 22 === O gás esta a 298 K e 2 atm de pressão total. Exemplo 8 (24.14 – WELTY) Determinar a difusividade do dióxido de carbono em uma mistura de gases com as seguinte Composição: O2 = 7%, CO = 10%, CO2 = 15% e N2 = 68%. T = 273 K e P = 1,5 x 105 Pa. DIFUSIVIDADE MÁSSICA EM LÍQUIDOS Equação de Stoke-Einsteim, da teoria hidrodinâmica. B AB 6 kT D πµ = Solução diluída de não eletrólitos. É uma equação pouco precisa Em geral: ( )Vf kT D AB = Função do volume molar Equação de Wilke-Chang para não eletrólitos: ( ) 6,0 A 21 BB 8 AB B V M10x4,7 T D φ =µ − Onde: µB = viscosidade da solução de não eletrólitos cP VA = volume molar no ponto normal de ebulição (TABELAS 24.4 E 24.5– WELTY) φB = parâmetro de associação para o solvente B (complemento da TABELA 24.5 –WELTY) Deduções de compostos com anel (complemento da TABELA 24.5 –WELTY) Exemplo 9 Estimar o coeficiente de difusão em liquido do etanol (C2H5OH) em solução diluída de água a 10o C O volume molecular do etanol pode ser avaliado usando valores da tabela 24.5. Hayduk e Laudie propuseram a equação: 589,0 A 14,1 B 5 AB V10x26,13D −−− µ= . Com resultados semelhantes a equação Wilke-Chang.
17. Fundamentos de Transferência de Massa 1.14 Samuel Luporini/DEQ/UFBA O coeficiente de difusão de um sal univalente em soluções diluídas pode ser calculado utilizando a equação de Nernst eequivalentCoulumbs/g96500Faradaydeconstante CREMASCO-1.10Tabela cm eequivalentg cm voltAmp zeroãoconcentraçaiônicaacondutânci, gmol.K/J316,8R 11 RT2 D 33 oo 2 oo AB ==ℑ             =λλ = ℑ         λ + λ = −+ −+ Substituindo 2 por 1/n+ + 1/n- onde n+ e n- são as valências do cátion e anion. Para temperaturas diferentes de 25o C, estes parâmetros podem ser estimados a partir da seguinte correlação: ( ) ( ) 32 C25iTCiT )25T(c)25T(b)25T(aoo −+−+−+λ=λ Tabela 1.11 – CREMASCO Exemplo 10: Estimar o coeficiente de difusão em solução diluída do cloreto de potássio a 30o C. Comparar com o valor experimental de 2,233 x 10-5 cm2 /s.
18. Fundamentos de Transferência de Massa 1.15 Samuel Luporini/DEQ/UFBA DIFUSÃO EM SÓLIDOS CRISTALINOS
19. Fundamentos de Transferência de Massa 1.16 Samuel Luporini/DEQ/UFBA • Arranjos nas estruturas cristalina: cúbica, CCC, CFC. • Movimento do soluto → ocupar vazios (falhas na estrutura cristalina ou nos interstícios entre os átomos da matriz cristalina. • A energia de vibração do átomo deve ser alta o suficiente para vencer a barreira energética ‘Q’ determinada pela energia de ativação. Exercício 11: Estime a difusividade do carbono em Fe (CCC) e em Fe (CFC) a 1000º C. Analise os resultados. Q difusão z Energia RTQ oAB eDD − = Q = energia de ativação difusional (cal/mol) R = 1,987 cal/mol K Do = coeficiente de difusão sem que houvesse a necessidade de salto energético Q e Do = TABELA 1.13 - CREMASCO
20. Fundamentos de Transferência de Massa 1.17 Samuel Luporini/DEQ/UFBA DIFUSÃO EM SÓLIDOS POROSOS a) Difusão de Fick ou ordinária b) Difusão de Knudsen c) Difusão configuracional Difusão ordinária • Poros maiores que o livre caminho médio das moléculas difundentes. dz dC DJ A efz,A −= 1ª Lei de Fick Def = coeficiente efetivo aparece em razão da natureza tortuosa do sólido poroso.
21. Fundamentos de Transferência de Massa 1.18 Samuel Luporini/DEQ/UFBA τ ε = p ABef DD εp = porosidade τ = tortuosidade ⇒ TABELA 1.14 – CREMASCO τ = 4,0 εp = 0,5 ⇒ Na ausência de dados tabelados Difusão de Knudsen Poros estreitos da ordem de tamanho do livre caminho médio do difundente, ocorre colisões com as paredes dos poros. pk d 3 1 D Ω= dp = diâmetro médio dos poros (cm) Ω = velocidade média molecular (cm/s) [ ] [ ]cm S V2 S 2 r s/cm M T r10x7,9D p B p p 2 21 A p 3 k = ρ ε =       =
22. Fundamentos de Transferência de Massa 1.19 Samuel Luporini/DEQ/UFBA Onde: εp = porosidade do sólido S = área da matriz porosa ρB = massa especifica aparente do sólido Vp = volume especifico do poro da partícula sólida Quando a tortuosidade do poro é considerada, efetuar a correção: τ ε = p KKef DD Devido a estrutura do sólido poroso, um soluto gasoso, ao se difundir, pode deparar com vários tamanhos de poros, ocorrendo a difusão ordinária e a de Knudsen, logo: { 321321 Knudsen Kef FickdeLei1 asegue ordinária ef efetivo Aef D 1 D 1 D 1 a += Exemplo 1.12: Determine o coeficiente efetivo de difusão do dióxido de carbono em partícula catalítica esférica de alumina a 30º C. Difusão configuracional • Ocorre em matrizes porosas (zeólitas). • Macro e microporos. • Arranjo tipo colméia → peneira molecular. • A difusão ocorre devido a saltos energéticos do solutos pelos microporos.       − = RT Q expDD oA zeo ⇒ TABELA 1.16 – CREMASCO
23. Fundamentos de Transferência de Massa 1.20 Samuel Luporini/DEQ/UFBA Difusão em membranas • Osmose inversa • Ultrafiltração • Diálise • Perevaporação • Perpetração • Podem ser de materiais cerâmicos → inorgânicos • ou materiais poliméricos → orgânicos • A difusão do soluto em polímeros ocorre por um processo de estado ativado, via saltos energéticos, ocupando vazios na estrutura polimérica.       −= RT Q expDD oa me ⇒ TABELA 1.17 - CREMASCO
24. Fundamentos de Transferência de Massa 1.21 Samuel Luporini/DEQ/UFBA Exemplo 1.13: Estime a difusividade do CO2 a 30º C para as seguintes situações: a) difusão em um membrana de borracha butilica. b) difusão em uma membrana de polibutadieno. c) difusão em uma membrana de poli(dimetil butadieno).
25. Fundamentos de Transferência de Massa 1.22 Samuel Luporini/DEQ/UFBA TRANSFERÊNCIA DE MASSA CONVECTIVA o Envolve um fluido em movimento e uma superfície ou entre dois fluidos em movimento relativamente imiscíveis. o Depende das propriedades de transporte e das características dinâmicas do fluido em escoamento. o Quando bombas ou outros equipamentos similares externos causam o movimento no fluido ⇒ convecção forçada. o Movimento do fluido causado pela diferença de densidade, a qual é conseqüência da diferença de concentração ou temperatura ⇒ convecção natural. AcA ckN ∆= ⇒ Equação da taxa de transferência de massa convectiva, generalizada de uma maneira análoga a lei de resfriamento de Newton. NA = Transferência de massa molar, ∆cA = diferença entre a concentração da superfície e a concentração média da corrente de fluido da espécie A se difundindo. kc = coeficiente de transferência de massa convectivo. o Transferência de massa molecular: a transferência de massa convectiva ocorre na direção do decréscimo de concentração. o kc inclui as características de escoamento laminar e turbulento. o kc é uma função da: geometria, propriedades do fluido e escoamento, ∆cA. o Similaridades entre kc e h ⇒ técnicas desenvolvidas para avaliar h, pode ser reaplicadas para kc.
26. Equações diferenciais em transferência de massa 2.1 Samuel Luporini/DEQ/UFBA CAPITULO 2: EQUAÇÕES DIFERENCIAIS EM TRANSFERÊNCIA DE MASSA O balanço material para uma dada espécie química A através de um volume de controle apropriado é: controlede volumenomassade acúmulodeTaxa controlede volumenomassade produçãodeTaxa controlede volumenosaique massadeTaxa controle devolumenoentra quemassadeTaxa           =           +           −           (2.1) A transferência de massa através da área zy∆∆ para x será : AAAxx,AA nouzy ϑρ=∆∆ϑρ r O fluxo líquido (entrada-saída) do constituinte A será: zzA,zzzA, yyA,yyyA, xxA,xxxA, yxnyxn:zdireçãoane zxnzxn:ydireçãoan zynzyn:xdireçãoan ∆∆−∆∆ ∆∆−∆∆ ∆∆−∆∆ ∆+ ∆+ ∆+ A taxa de acúmulo de A no volume de controle será: y∆ ? y x y z x∆ z∆
27. Equações diferenciais em transferência de massa 2.2 Samuel Luporini/DEQ/UFBA zyx t A ∆∆∆ ∂ ρ∂ Se A é produzido no interior do volume de controle por uma reação química a uma taxa rA (massa de A produzida)/(volume⋅tempo), a taxa de produção de A é: zyxrA ∆∆∆ Substituindo cada termo na equação (2.1) temos: 0r tz nn y nn x nn :termososcancelandoe,zyxvolumepeloDividindo 0zyxrzyx t yxn yxnzxnzxnzynzyn A AzzA,zzzA,yyA,yyyA, xxA,xxxA, A A zzA, zzzA,yyA,yyyA,xxA,xxxA, =− ∂ ρ∂ + ∆ − + ∆ − + ∆ − ∆∆∆ =∆∆∆−∆∆∆ ∂ ρ∂ +∆∆− ∆∆+∆∆−∆∆+∆∆−∆∆ ∆+∆+∆+ ∆+∆+∆+ (2.3)0r t n AcomponenteoparadecontinuidadaequaçãoA (2.2)0r tz n y n x n :temoszeroatendendo? ze? y? x,comlimiteoAvaliando A A A A Az,Ay,Ax,A =− ∂ ρ∂ +⋅∇ =− ∂ ρ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ r Uma equação da continuidade similar pode ser desenvolvida para o componente B. 0r t n B B B =− ∂ ρ∂ +⋅∇ r (2.4) Adicionando os dois componentes, nós obtemos: Operador divergente
28. Equações diferenciais em transferência de massa 2.3 Samuel Luporini/DEQ/UFBA ( ) ( ) ( ) 0rr t nn BA BA BA =+− ∂ ρ+ρ∂ ++⋅∇ rr Para uma mistura binária vale: ϑρ=ϑρ+ϑρ=+ rrrrr nn BBAABA ρ=ρ+ρ BA rr BA −= Logo: ( ) 0 t = ∂ ρ∂ +ϑρ⋅∇ r (2.5) Da definição de derivada substantiva: ∇⋅ϑ+ ∂ ∂ = r tDt D Figura 3.2 Cremasco Logo: 0 Dt D =ϑ⋅∇ρ+ ρ r em termos de fração molar:
29. Equações diferenciais em transferência de massa 2.4 Samuel Luporini/DEQ/UFBA 0rJ Dt Dw AA A =−⋅∇+ρ r 0rJw t w AAA A =−⋅∇+∇⋅ϑρ+ ∂ ∂ ρ rr Em termos de unidades molares: 0R t c N A A A =− ∂ ∂ +⋅∇ r Componente A 0R t c N B B B =− ∂ ∂ +⋅∇ r Componente B e a mistura: ( ) ( ) ( ) 0RR t cc NN BA cA BA A =+− ∂ +∂ ++⋅∇ rr ϑ=ϑ+ϑ=+ rrrrr cccNN BBAABA ccc BA =+ Não se pode tomar RA + RB = 0, salvo para cada mol de A produzido desaparece o mesmo tanto de B (ou vice-versa). BA ↔ em geral: ( ) 0RR t c c BA =+− ∂ ∂ +ϑ⋅∇ r [ ] ( )BA RRcc t c +=ϑ⋅∇+∇⋅ϑ+ ∂ ∂ rr
30. Equações diferenciais em transferência de massa 2.5 Samuel Luporini/DEQ/UFBA FORMAS ESPECIAIS DA EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE TRANSFERÊNCIA DE MASSA Temos a equação para o componente A: A A A R t c N = ∂ ∂ +⋅∇ r Como: ( )BAAAABA NNyycDN rrr ++∇−= e seus equivalentes: ϑ+∇−= rr AAABA cycDN e ( )BAAAABA nnwwDn rrr ++∇ρ−= e seu equivalente: ϑρ+∇ρ−= rr AAABA wDn nós obtemos: 0r t wD A A AAAB =− ∂ ρ∂ +ϑρ⋅∇+∇ρ⋅∇− r (2.6) 0R t c cycD A A AAAB =− ∂ ∂ +ϑ⋅∇+∇⋅∇− r (2.7) SIMPLIFICAÇÕES a) Se a densidade da mistura, ρ, e o coeficiente de difusão, DAB, são assumidos constantes, a equação (2.6) torna-se: { 0r t D A A A decontinuidadaequação 0 AA 2 AB =− ∂ ρ∂ +ρ∇ϑ+ϑ⋅∇ρ+ρ∇− = rr
31. Equações diferenciais em transferência de massa 2.6 Samuel Luporini/DEQ/UFBA Dividindo cada termo pelo peso molecular ( ) ( )geração difusiva ãocontribuiç acúmulo convectiva ãocontribuiç RcD t c c AA 2 AB A A +      =+      +∇= ∂ ∂ +∇⋅ϑ r (2.8) b) RA = 0: sem reação química, ρ e DAB = constantes A 2 AB A A cD t c c ∇= ∂ ∂ +∇⋅ϑ r ou A 2 AB A cD tD cD ∇= c) 0=ϑ r , RA = 0: sem reação química, ρ e DAB = constantes A 2 AB A cD t c ∇= ∂ ∂ 2ª Lei de Fick da difusão. - Líquidos estagnados - Sólidos d) As equações dos itens a, b e c podem ser simplificadas se o processo esta em estado estacionário, isto é: 0 t cA = ∂ ∂ Se 0cA 2 =∇ temos a equação de Laplace. Laplaciano 2 ∇ : coordenadas retangulares, cilíndricas e esféricas. 2ª Lei de Fick         ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∂ 2 A 2 2 A 2 2 A 2 AB A z c y c x c D t c Coordenadas retangulares.
32. Equações diferenciais em transferência de massa 2.7 Samuel Luporini/DEQ/UFBA         ∂ ∂ + θ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∂ 2 A 2 2 A 2 2 A 2 A 2 AB A z cc r 1 r c r 1 r c D t c Coordenadas cilíndricas.         φ∂ ∂ θ +      θ∂ ∂ θ θ∂ ∂ θ +      ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ 2 A 2 2 A 2 A2 2AB A c senr 1c sen senr 1 r c r rr 1 D t c Coordenadas esféricas. A equação diferencial geral para transferência de massa do componente A, ou a equação da continuidade de A são descritas nas 3 coordenadas, como: A z,Ay,Ax,AA R z N y N x N t c =         ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ ( ) A z,A,A r,A A R z NN r 1 Nr rr 1 t c =        ∂ ∂ + θ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ θ ( ) ( ) A ,A ,Ar,A 2 2 A R N senr 1 senN senr 1 Nr rr 1 t c =         φ∂ ∂ θ +θ θ∂ ∂ θ + ∂ ∂ + ∂ ∂ φ θ CONDIÇÕES DE CONTORNO E INICIAL MAIS COMUM As condições de contorno e inicial utilizadas são muito similares à aquelas de transferência de calor. Condições iniciais: Para t = 0, cA = cA0 (unidades molares) Para t = 0, ρA = ρA0 (unidades mássicas) As condições de contorno geralmente encontradas, são: a) A concentração na superfície pode ser especificada: cA = cA1 , frações molares yA = yA1, gases
33. Equações diferenciais em transferência de massa 2.8 Samuel Luporini/DEQ/UFBA xA = xA1, líquidos e sólidos ρA = ρA1, concentração mássica wA = wA1, fração mássica Quando o sistema é um gás pode-se utilizar a pressão parcial pela lei Dalton: pA = pA1 = yA1P Para casos específicos de difusão de um líquido dentro de uma fase gasosa, pode-se utilizar a equação da lei de Rault: pA1 = xAPA onde: xA = fração molar da fase líquida PA = pressão de vapor de A na transferência ao líquido b) O fluxo mássico para a superfície pode ser especificado como, por exemplo: jA = jA1 ou NA = NA1 O fluxo na superfície pode ser: 0z A ABz,A dz dw Dj = ρ−= Em superfícies impenetráveis: jA,z = 0 c) A taxa de reação química pode ser especificada: 1A11A ckN = reação de 1ª ordem, sendo k1 a constante da taxa.
34. Equações diferenciais em transferência de massa 2.9 Samuel Luporini/DEQ/UFBA d) Quando o fluido esta escoando sobre uma fase, a espécie pode ser perdida a partir da fase de interesse por transferência de massa convectiva. ( )∞−= A1Ac1A cckN cA∞ = concentração de A na corrente de fluido. cA1 = concentração de A no fluido adjacente a superfície. kc = coeficiente de transferência de massa convectivo. EXEMPLO 2.1: Num cilindro de combustível nuclear com material fissionável, a taxa de produção de nêutrons é proporcional a concentração de nêutrons. Use a equação diferencial de transferência de massa para escrever a equação diferencial que descreve o processo de transferência de massa. Liste suas condições de contorno. EXEMPLO 2.2: Numa câmara de combustão, o oxigênio difunde através de um filme de ar para a superfície de carbono, onde ele reage de acordo com a seguinte equação: 22 COCO2O2C3 +→+ a) Escreva a equação diferencial especifica para este processo em estado estacionário para o componente O2. b) Escreva a lei de Fick para o componente oxigênio. z = 0 O2 CO CO2 z = δ
35. Difusão em regime permanente 3.1 Samuel Luporini/DEQ/UFBA CAPÍTULO 3: DIFUSÃO EM REGIME PERMANENTE Temos a equação diferencial de transferência de massa: 0R t c N A A A =− ∂ ∂ +⋅∇ r RA = taxa de produção química do componente A dentro da fase através da qual a massa esta sendo transferida. t cA ∂ ∂ = acumulo de A dentro da fase. AN⋅∇ = taxa líquida de fluxo mássico do componente A. t cA ∂ ∂ = 0 no estado estacionário, ou seja, a concentração de A não varia com o tempo. TRANSFERÊNCIA DE MASSA UNIDIMENCIONAL INDEPENDENTE DE REAÇÃO QUÍMICA Num sistema binário, o componente z deste fluxo é expresso por: ( )z,Bz,AA A ABz,A NNy dz dy cDN ++−= 3.1 DIFUSÃO ATRAVÉS DE UM FILME GASOSO INERTE E ESTAGNADO Encontrar o fluxo molar da difusão através de um filme gasoso inerte e estagnado Hipóteses: T e P = constantes B é quimicamente inerte a A Solubilidade de B em A é desprezível
36. Difusão em regime permanente 3.2 Samuel Luporini/DEQ/UFBA Figura 3.1 Célula de difusão de Arnold Solução: ( ) ,lnB 2A1A 12 AB z,A y yy zz cD N − − = (3.1) Para um gás ideal: P p ye RT P V n c A A === , substituindo em (3.1), temos: ( ) ( ) ln,B 2A1A 12 AB z,A p pp zzRT PD N − − = (3.2) As equações (3.1) e (3.2), correspondente a difusão em estado estacionário de um gás através de um segundo gás estagnado. Um difunde e o outro não è absorção e umidificação. A equação (3.2) tem sido usada para descrever o coeficiente de transferência de massa convectivo pela teoria do filme. Figura 3.2 Modelo do filme para a transferência de massa do componente A movendo para a corrente gasosa. Líquido puro A z = z1 z = z2 ∆z NAz|z NAz|z+∆z Gás B escoando Escoamento de gás B Líquido A Líquido A z = δ z = 0 NAz Corrente de gás principal Filme de gás movendo lentamente
37. Difusão em regime permanente 3.3 Samuel Luporini/DEQ/UFBA Neste caso z2 – z1 = δ, logo a equação (3.2) fica: ( ) ln,B 2A1AAB z,A p pp RT PD N − δ = Pela definição de convecção temos: ( )2A1Acz,A cckN −= ou ( )2A1A c z,A RT k N ρ−ρ= Por comparação o coeficiente de transferência de massa convectivo é: δ = ,lnB AB c p PD k Modelo do filme sugere que ABc Dk ∝ Outros modelos (capítulo 28 – Welty) 1a0,5n:onde,Dk n ABc =∝ Determine o perfil de concentração para a difusão através de um filme gasoso inerte estagnado e também sua concentração media. Solução: ( ) ( )121 zzzz 1B 2B 1B B y y y y −−       = Perfil de concentração ( ) ,lnB 1b2B 1B2B B y yyln yy y = − = Concentração média
38. Difusão em regime permanente 3.4 Samuel Luporini/DEQ/UFBA Exercício 3.1: Através de uma abertura acidental de uma válvula, água foi espalhada no chão de uma planta industrial em uma área remota de difícil acesso. Estimar o tempo necessário para evaporar a água nas vizinhanças que esta estagnada. A camada de água é de 0,04’’, que pode ser assumida constante a temperatura de 75º F. O ar esta a 75º F e 1 atm, com uma umidade absoluta de 0,002 lb de água/lb ar seco. A evaporação é assumida constante e ocorre por difusão molecular através do filme de gás de espessura 0,20 in. Resposta: 2,73 hrs 3.2 DIFUSÃO PSEUDO-ESTACIONÁRIA NUM FILME GASOSO ESTAGNADO • Um dos contornos move com o tempo • Após um intervalo de tempo longo, nota-se a variação no nível do líquido a partir do topo do capilar. Figura 3.3 Célula de difusão de Arnold com liquido se movendo na superfície. • Sobre um intervalo de tempo considerável somente uma pequena fração de difusão. • t1 – t0 => longo tempo. • O fluxo molar na fase gasosa estagnada é: ( ) zzzonde, y yy z cD N 12 ,lnB 2A1AAB z,A =− − = (3.2.1) ∆z z = z1 para t0 = zto z = z1 para t1 = zt Líquido puro A NAz|z NAz|z+∆z Gás B escoando
39. Difusão em regime permanente 3.5 Samuel Luporini/DEQ/UFBA • O fluxo molar NA,z esta relacionado com a quantidade de A deixando o liquido por: líquidafasenaAdemolardensidade M onde, dt dz M N A L,A A L,A z,A = ρρ = (3.2.2) Em condições pseudo-estacionária, igualam-se (3.2.1) e (3.2.2), ( ) ,lnB 2A1AAB A L,A y yy z cD dt dz M − = ρ (3.2.3) Integrando: ( ) ∫∫ − ρ = t 0t z z2A1AAB Aln,BL,A t 0 dzz yycD My dt Rearranjando, temos: ( )           − − ρ = 2 zz tyyc My D 2 t 2 t 2A1A Aln,BL,A AB 0 (3.2.4) A equação (3.2.4) é utilizada para determinação do coeficiente de difusão do gás a partir dos dados experimentais da célula de Arnold. Exemplo 3.2: E. M. Larson, usando uma célula de Arnold, mediu a difusividade do clorofórmio no ar a 25º C e 1 atm de pressão. A densidade do clorofórmio líquido a 25º C é 1,485 g/cm3 , e sua pressão de vapor a 25º C é 200 mmHg. No tempo tempo t = 0 a superfície do liquido de clorofórmio era 7,40 cm a partir do topo do tubo, e após 10 hrs a superfície do líquido caiu de 0,44 cm. Se a concentração do clorofórmio é zero no topo do tubo, qual seria o coeficiente de difusão do gás clorofórmio no ar? Resposta: 9,3 x 10-6 m2 /s
40. Difusão em regime permanente 3.6 Samuel Luporini/DEQ/UFBA 3.3 CONTRADIFUSÃO EQUIMOLAR • Destilação de 2 constituintes quando os calores latentes de vaporização são iguais. • Fluxos iguais em direções opostas. z,Bz,A NN −= 0NA =⋅∇ • Considerando somente a direção z: 0N dz d z,A = • Lei de Fick ( )444 3444 2143421 bulk z,Bz,AA difusão A ABz,A NNy dz dc DN ++−= • Como z,Bz,A NN −= , logo: dz dc DN A ABz,A −= (3.3.1) • Condições de contorno: Para z = z1 temos: cA = cA1 Para z = z2 temos: cA = cA2 Integrando a equação (3.3.1) com as c.c., temos: ( )2A1A 12 AB z,A cc zz D N − − = (3.3.2) Pela lei dos gases ideais: e.e. = 0 sem reação = 0 0R t c N A A A =− ∂ ∂ +⋅∇ r
41. Difusão em regime permanente 3.7 Samuel Luporini/DEQ/UFBA RT p V n c AA A == , substituindo, fica: ( ) ( )2A1A 12 AB z,A pp zzRT D N − − = (3.3.3) As equações (3.3.2) e (3.3.3) são comumente referidas como equações da contradifusão equimolar no estado estacionário. Obter o perfil de concentração para contradifusão equimolar no estado estacionário. Resposta: 21 1 2A1A 1AA zz zz cc cc − − = − − Por comparação: ( ) ( ) δ = −=− δ = ABo 2A1A o 2A1A AB z,A D k:Logo cckcc D N para a contradifusão equimolar. Exemplo 3.3: Calcule o fluxo molar da amônia gasosa, sabendo-se que ela se difunde num capilar de 10 cm de comprimento com 2 reservatórios contendo nitrogênio. O sistema esta a 25º C e 1 atm. A pressão parcial da amônia em um dos reservatórios é 90 mmHg e no outro 10 mmHg. Resposta: -1,07 x 10-7 gmol/s.cm2 NA,z pA2 = 90 mmHg pA1 = 10 mmHg ∆z A ≡ amônia B ≡ Nitrogênio
42. Difusão em regime permanente 3.8 Samuel Luporini/DEQ/UFBA 3.4 SISTEMAS ASSOCIADOS COM REAÇÕES QUÍMICAS • Quando ocorre uniformemente através de uma fase => reação homogênea. Acontece em todos os pontos do elemento de volume. Aparece diretamente na equação da continuidade do soluto. • Toma lugar numa região restrita no contorno da fase => reação heterogênea. { 0R t c N )(homogêneaAespécieda toaparecimendetaxa A A A =− ∂ ∂ +⋅∇ r (3.4.1) • Numa reação heterogênea a taxa de aparecimento de A não aparece na equação diferencial, desde que a reação não ocorra dentro do volume de controle, ao invés disto ela entra na analise como uma condição de contorno: 0Aszz,AA ckNR == δ= • A reação heterogênea as vezes aparece na equação da continuidade de A => sistemas pseudo- homogêneo. 3.4.1 DIFUSÃO SIMULTÂNEA E HETEROGÊNEA, REAÇÃO QUÍMICA DE 1ª ORDEM: DIFUSÃO COM VARIAÇÃO DE ÁREA • Quando a taxa de reação é instantânea em relação a taxa de difusão => processo com difusão controlada. • Quando a taxa de reação para o componente transferido nos limites da superfície limita a taxa de transferência de massa => processo com reação controlada.
43. Difusão em regime permanente 3.9 Samuel Luporini/DEQ/UFBA Exemplo: Partícula de carvão pulverizada dentro de uma câmara de combustão em leito fluidizado => difusão controlada. Moles de oxigênio transferido pelo tempo Figura Difusão através de um filme esférico ( ) ( ) ( ) ( )gCOgCO2gO5,2sC3 22 +→+ Equação geral de transferência de massa em coordenadas esféricas: ( ) ( ) A remnalunidirecio difusão 0 ,A ,Ar,A 2 2 ioestacionár estado 0 A R N senr 1 senN senr 1 Nr rr 1 t c =                     φ∂ ∂ θ +θ θ∂ ∂ θ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = φ θ = 4444444 34444444 21321 RA = 0 se A = O2 => nenhuma reação homogênea ocorre ao longo do caminho da difusão. ( ) R r,O 2 r r,O 2 r,O 2 r,O 2 2222 NRNroucteNr0Nr r ==⇒= ∂ ∂ quadro C R r∆r NCO2,r NO2,r NCO,r Ar nas vizinhanças
44. Difusão em regime permanente 3.10 Samuel Luporini/DEQ/UFBA Equação da Lei de Fick para o O2 fica: dr dy y2,01 cD N 2 2 2 2 O O misO z,O + −= − Condições de contorno: r = R, yO2 = 0 ⇒ reação instantânea r = ∞, yO2 = 0,21 Solução:       =      − 042,1 1 ln 2,0 cD R 1 Nr misO z,O 2 2 2 Como ( )rO 2 2O 22 Nr4tempopelodotransferiOdeMolesW π== ( )042,1ln 2,0 cD R4W misO O 2 2 − π−= A esfera de carvão oxida com o tempo => diminuição da esfera => pseudo-estacionário Tempo para esfera de carbono encolher de um raio inicial para um final. Balanço material para o carbono: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) dt dR R4 Mdt dV M onde dt dV M w0 CCC 2 C C C C C C C acumuladosaientra π ρ = ρ       ρ =− =− quadro ( ) ( )042,1lncD12 RR M t misO 2 f 2 i C C 2 − − ρ =
45. Difusão em regime permanente 3.11 Samuel Luporini/DEQ/UFBA PRODUÇÃO DE DIOXIDO DE CARBONO SOMENTE ( ) ( ) ( )gCOgOsC 22 →+ quadro Equação da Lei de Fick para o O2 fica: dr dy cDN 2 22 O misOr,O −−= Condições de contorno: r = R, a)instantâne(nãoordem1a.deReaçãockN sOsRrO 22 ⇒−= = r = ∞, yO2 = yO2∞ Solução: ( )sOOmisOr,O 2 2222 yycD R 1 Nr −−=      ∞− Como ( )rO 2 2O 22 Nr4tempopelodotransferiOdeMolesW π== ( )sOOmisOO 2222 yyRcD4W −π−= ∞− C R r∆r NCO2,r NO2,r Ar nas vizinhanças
46. Difusão em regime permanente 3.12 Samuel Luporini/DEQ/UFBA quadro ck N c c y s ROsO sO 22 2 − == logo: Rk D 1 yRcD4 W s misO OmisO O 2 22 2 − ∞− + π− = Se misOs 2 Dk −>> ∞−π−= 222 OmisOO yRcD4W EXEMPLO 3 Um reator de leito fluidizado de carvão tem sido proposto para uma nova planta. Se operar a 1145 K, o processo será limitado pela difusão de oxigênio em contracorrente com dióxido de carbono, formado na superfície da partícula. Assumir que o carvão é carbono puro sólido com densidade de 1,28 x 103 kg/m3 e que a partícula é esférica com diâmetro inicial de 1,5 x 10-4 m. Ar (21% O2 e 79% N2) existe a vários diâmetros da esfera. Sob as condições de combustão, a difusividade do O2 na mistura é 1,3 x 10-4 m2 /s a 1145 K. Se o processo esta em estado estacionário, calcular o tempo necessário para reduzir o diâmetro da partícula de carbono a 5 x 10-5 m. O ar nas vizinhanças é uma fonte infinita de transferência de O2, onde a oxidação do carbono na superfície da partícula é diminuída pela transferência de O2. A reação na superfície é: ( ) ( ) ( )gCOgOsC 22 →+ Resposta: t = 0,92 s
47. Difusão em regime permanente 3.13 Samuel Luporini/DEQ/UFBA 3.4.2 DIFUSÃO COM UMA REAÇÃO QUÍMICA DE 1ª ORDEM HOMOGÊNEA • Operações unitárias: um constituinte de uma mistura gasosa é preferencialmente dissolvido em contato com um liquido. Dependendo da natureza química das moléculas envolvida a absorção pode envolver reação química. Condições de contorno: Em z = 0 ⇒ cA = cA0 Em z = δ ⇒ cAs = 0 Figura Absorção com reação química homogênea. Fluxo molar: ( )444 3444 2143421 filme dodentropequenamuitoé Adeãoconcentraça0, bulk z,Bz,AA difusão A ABz,A NNy dz dc DN ≈ ++−= (3.4.2.1) Equação diferencial de transferência de massa no estado estacionário considerando apenas a direção z: { 0R dz dN )(homogêneaAespécieda mentodesaparecidetaxa A z,A =− (3.4.2.2) A1A ckR −= ⇒ Taxa de desaparecimento de A ⇒ reação química de 1ª ordem. (3.4.2.3) Substituindo (3.4.2.3) e (3.4.2.1) em (3.4.2.2), temos: z z = 0 ∆z z = δ NAz|z NAz|z+∆z Líquido B Superfície do líquido Mistura gasosa (A e gás inerte)
48. Difusão em regime permanente 3.14 Samuel Luporini/DEQ/UFBA 0ck dz dc D dz d A1 A AB =+      − , com DAB = constante, fica: 0ck dz cd D A12 A 2 AB =+− (3.4.2.4) A solução geral da equação (3.4.2.4) é: z D k senhcz D k coshcc AB 1 2 AB 1 1A += As condições de contorno permitem calcular c1 e c2 (quadro), e o perfil de concentração fica: δ −= AB 1 AB 1 0A AB 1 0AA D k tgh z D k senhc z D k coshcc (3.4.2.4) Fluxo molar: dz dc DN A ABz,A −= Solução: δ δ δ = = AB 1 AB 1 0AAB 0zz,A D k tgh D k cD N (3.4.2.5) • Se não houver reação química: δ = 0AAB z,A cD N • Numero adimensional de Hatta = ⇒ δ δ AB 1 AB 1 D k tgh D k mostra a influencia da reação química.
49. Difusão em regime permanente 3.15 Samuel Luporini/DEQ/UFBA • Se a taxa da reação química aumenta (k1 aumenta) o fator δ AB 1 D k tgh se aproxima de 1, e ( )0ckDN 0A1AB0zz,A −= = Por comparação com a equação da convecção: ( )2A1Acz,a cckN −= , temos que: ⇒∝ ABc Dk Teoria da penetração Se ⇒∝ ABc Dk Teoria do filme EXEMPLO 4 Considerando um processo unitário com um disco rotativo para o tratamento de fenol (espécie A) em água. O biofilme contém um microrganismo em enzima peroxidase que degrada o fenol. A concentração de A dentro do biofilme diminuirá à medida que o penetra, ou seja A é degradado. Não há resistência convectiva entre o fluido e a superfície do biofilme. Figura Tratamento de água de lavagem por biofilme. É desejável tratar 0,1 m3 /h de água contendo 0,1 mol/m3 de fenol. Se a espessura do biofilme é 2 x 10-3 m, qual é a área do biofilme necessária para obter uma concentração de saída de 0,02 mol/m3 ? A taxa de degradação é descrita pela cinética de Michales-Menten: AA Amax,A A ck cR R + = onde RA,max = 5,7 x 10-3 mol/m3 , kA = 0,3 mol/m3 e DAB = 2 x 10-10 m2 /s a T = 25º C. Solução: S = 57 m2 Corrente de alimentação da água de lavagem CAi = moles/m3 Biofilme Água de lavagem tratada CAO Mistura perfeita Seção transversal do biofilme CAO CA(z) biofilme Superfície Sólida inerte z = 0 z = δ dcA/dz = 0 Capítulo 28 Welty
50. Difusão em regime permanente 3.16 Samuel Luporini/DEQ/UFBA 3.4.3 DIFUSÃO INTRAPARTICULAR COM REAÇÃO QUÍMICA (Cremasco) Quando um sólido poroso apresenta sua área interna maior (30 m2 /g ou maior) ou da mesma magnitude do que a sua superfície externa, considera-se o soluto, depois de atingir a superfície da partícula, difunda no interior desta para depois ser absorvido e sofrer transformação por reação química nas paredes dos sítios ativos do catalisador, conforme mostra a figura. Figura - Difusão com reação química heterogênea no interior de um sólido poroso • Termo reacional = aR”A, onde a = superfície do poro/unidade de volume da matriz porosa (sistema pseudo-homogêneo) • Equação geral para espécie A: ( ) ( ) A remnalunidirecio difusão 0 ,A ,Ar,A 2 2 ioestacionár estado 0 A Ra N senr 1 senN senr 1 Nr rr 1 t c ′′=                     φ∂ ∂ θ +θ θ∂ ∂ θ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = φ θ = 4444444 34444444 21321 ( ) Ar,A 2 2 RaNr rr 1 ′′= ∂ ∂ ∴ (3.4.3.1) Sendo a reação de desaparecimento do soluto A escrita como: AsA CkR −=′′ (3.4.3.2) R”A sólido poro A B CAs
51. Difusão em regime permanente 3.17 Samuel Luporini/DEQ/UFBA O fluxo de A no interior da matriz porosa será dado por: dr dC DN A efr,A −= (3.4.3.3) Supondo temperatura e pressão constantes e substituindo (3.4.3.2) e (3.4.3.3) em (3.4.3.1), A ef s2A2 C D ak r dr dC r dr d =      (3.4.3.4) Denominando: ef s2 D ak =λ A equação (3.4.3.4) fica na forma: 0C dr dC r 2 dr Cd A 2A 2 A 2 =λ−+ (3.4.3.5) a qual esta sujeita as seguintes condições de contorno: C.C.1: em r = R → CA = CAs C.C.2: em r = 0 → finitovalorClimou0 dr dC A 0r A == → (simetria da partícula) Chamando: ψ=ArC A equação (3.4.3.5) fica: 0 dr d 2 2 2 =ψλ−+ ψ (3.4.3.6) A solução geral da eq. (3.4.3.6) é: ( ) ( )rsenhCrcoshC 21 λ+λ=ψ ou ( ) ( )[ ]rsenhCrcoshC r 1 C 21A λ+λ= (3.4.3.7) A determinação das constantes parte da aplicação das condições de contorno C.C.1 e C.C.2, ficando:
52. Difusão em regime permanente 3.18 Samuel Luporini/DEQ/UFBA ( ) ( )Rsenh rsenh r R C C As A λ λ = (3.4.3.8) A eq. (3.4.3.8) fornece o perfil de concentração de A no interior da matriz porosa em função da relação entre as resistências a difusão e a reação química irreversível de 1ª ordem que se processa nos sítios internos da partícula. O fator de efetividade O fator de efetividade representa o efeito que a taxa da matéria exerce na taxa de reação numa partícula, sendo definido como a razão entre a taxa real de reação química, Rsg, e a taxa da reação baseada nas condições de superfície externa da partícula, como se toda a superfície ativa dos poros estivesse exposta nas mesmas condições da superfície, sgR . Assim: sg sg R R =ηε com: Rr A ef 2 R,A 2 sg dr dC DR4NR4R = π−=π= representado todo o soluto consumido na superfície externa da partícula transportado para dentro dessa partícula. Substituindo a eq. (3.4.3.8) e efetuando a derivação, temos: ( ) ( )[ ]RcothR1CRD4R Asefsg λλ−π−= Caso ocorra somente reação química irreversível de 1ª ordem, a taxa é: Ass 3 A 3 sg CakR 3 4 RR 3 4 R π−=′′π= Logo: ( ) ( )[ ] ( )2 R 1RcothR3 λ −λλ =ηε O parâmetro λ pode ser reformulado da seguinte maneira: λ=φ neR , que é o modulo de Thiele, indica a relação entre a taxa de reação química de 1ª ordem e a taxa de difusão. E Rne = Vp/Sm um raio generalizado que depende da geometria da partícula. Pa esfera perfeita: Vp = 4πR3 /3 e Sm = 4πR2 , logo: λR = 3φ.
53. Difusão em regime permanente 3.19 Samuel Luporini/DEQ/UFBA O perfil de concentração do soluto e o fator de efetividade em função do modulo de Thiele no interior do catalisador esférico são fornecidos por: ( ) ( )φ φ = 3senh Rr3senh r R C C As A ( ) 2 3 13coth3 φ −φφ =ηε Para catalisadores muito ativos (ks elevado) → φ = elevado → baixos valores de ηε Para catalisadores pouco ativos → altos valores de ηε → utilizam quase toda a área interna do catalisador. Exemplo No craqueamento catalítico do petróleo utilizaram-se microesferas de sílica-alumina de diâmetro igual a 1,8 mm e de área especifica dos poros de 3,2 cm2 /cm3 . Estime o valor do fator de efetividade considerando que a reação química catalítica, cuja velocidade é 6,9 cm/s, é irreversível e de 1ª ordem. O coeficiente efetivo de difusão é 8,0 x 10-4 cm2 /s. Resposta: ηε = 0,187
54. Difusão em regime permanente 3.20 Samuel Luporini/DEQ/UFBA 3.5 SISTEMAS DE DUAS E TRÊS DIMENSÕES • A transferência de condução de calor é análoga a transferência de massa molecular, as soluções analíticas, analógicas e numéricas são similares (cap. 17 Welty). • J.Crank – The Mathematics of Diffusion, Oxford University Press, London,1957. Exemplo: Considerar uma placa plana retangular fina, largura W e comprimento L. O topo é imerso em inseticida (y = L). Figura 3.5.1 – Modelo de três dimensões para o transporte de inseticida. A equação geral de transferência de massa fica: 0R t c N A A A =− ∂ ∂ +⋅∇ r ou { 0R t c z N y N x N química reação sem 0 A ioestacionár estado 0 A 0 AzAyAx =− ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ 321321 (3.5.1) ( )444 3444 21 0bulktermo BxAxA A ABAx NNy dx dC DN = ++−= (3.5.2) x y CA = 0 CA = C(x) CA = 0 CA = 0 L 0 W
55. Difusão em regime permanente 3.21 Samuel Luporini/DEQ/UFBA ( )444 3444 21 0bulktermo ByAyA A ABAy NNy dy dC DN = ++−= (3.5.3) Substituindo (3.5.3) e (3.5.2) em (3.5.1): 0 y C x C 2 A 2 2 A 2 = ∂ ∂ + ∂ ∂ (3.5.4) que é uma equação diferencial parcial, linear e homogênea com solução da forma: ( ) ( ) ( )yYxXy,xCA = (3.5.5) Substituindo (3.5.5) em (3.5.4), temos: 2 2 2 2 yd Yd y 1 xd Xd x 1 = Ambos os lados são constantes, logo: 0X xd Xd 2 2 2 =λ+ (3.5.6) 0Y yd Yd 2 2 2 =λ− (3.5.7) A eq. (3.5.6) tem a solução geral da forma: xBsenxcosAX λ+λ= (3.5.8) A eq. (3.5.7) tem a solução geral da forma: yy EeDeY λλ− += (3.5.9) A eq. (3.5.5) fica: ( ) ( )( )yy A EeDexBsenxcosAy,xC λλ− +λ+λ= (3.5.10)
56. Difusão em regime permanente 3.22 Samuel Luporini/DEQ/UFBA Onde A, B, C e D são constantes avaliadas pelas condições de contorno: x = 0 → CA = 0 x = W → CA = 0 y = 0 → CA = 0 y = L → CA = C(x) Utilizando as três primeiras condições de contorno a solução é: ( ) W yn senh W xn senAy,xC 1n nA ππ = ∑ ∞ = (3.5.11) Utilizando a ultima condição de contorno: ( ) W Ln senh W xn senAxC 1n nA ππ = ∑ ∞ = (3.5.12) A avaliação de An é mostrada por Cremasco, a solução final é: ( ) ( ) dx W xn senxC W xn sen W Ln senh W yn senh W 2 y,xC W 0 A 1n A ∫∑       ππ                   π       π = ∞ = (3.5.13) A equação (3.5.13) é resolvida após se conhecer a função CA(x). Exemplo: Considere a situação na qual ocorra o fluxo mássico de A através da superfície de um catalisador. Ao entrar em contato com o catalisador, o soluto A se difunde nas direções x e y. Atingindo três das quatro superfícies, a espécie A reage instantaneamente. Em y = L para qualquer x, a sua concentração mantém-se constante em um valor β. Considerando a existência da contradifusão equimolar entre produto e reagente, pede-se: a) a distribuição mássica do soluto A.
57. Difusão em regime permanente 3.23 Samuel Luporini/DEQ/UFBA 3.6 TRANSFERÊNCIA SIMULTÂNEA DE MOMENTO, CALOR E MASSA • Exemplo: Secagem de uma superfície molhada pelo calor de um gás quente e seco: energia transferida a para superfície fria por convecção e radiação; transferência de massa associada a entalpia na corrente gasosa se movendo. • Os processos de transporte simultâneos são mais complexos, requerendo o tratamento simultâneo de cada fenômeno de transporte envolvido. 3.6.1 Transferência simultânea de calor e massa • Condições isotérmicas ∑ = = n 1i ii D HN A q r r (3.6.1.1) misturanumaideparcialmolarentalpiaH mássicadifusãoporcalordefluxo A q i D = = r • Condições não isotérmicas (diferenças de temperatura) { { ∑ = +∆−∇−= n 1i ii convectivocondutivo D HNThTk A q r r (3.6.1.2)
58. Difusão em regime permanente 3.24 Samuel Luporini/DEQ/UFBA Exemplo: Condensação de vapor em uma superfície fria A condensação de um filme liquido escoando para baixo em uma superfície fria e um filme de gás na qual o condensado é transferido por difusão molecular. Figura Condensação de vapor em uma superfície fria. z1 → yA1 = conhecido por psicometria T1 = conhecido T3 = conhecida (temperatura na superfície) Na fase gasosa ocorre convecção natural onde h é estimado pela equação: ( )[ ] 94169 41 L L Pr/492,01 Ra670,0 68,0Nu + += A equação diferencial que descreve a transferência de massa na fase gasosa é: 0N dz d z,A = ⇒ fluxo mássico é constante na direção z. Se o componente A esta se difundindo através do gás estagnado, o fluxo é descrito pela seguinte forma da lei de Fick: dz dy y1 cD N A A AB z,A − − = Se o perfil de temperatura é conhecido: Filme líquido condensado Contorno do filme gasoso T1 T2 T3 T = T(z) yA1 yA2 yA= yA(z) z3 z2 z1
59. Difusão em regime permanente 3.25 Samuel Luporini/DEQ/UFBA n 11 z z T T       = Podemos estimar o coeficiente de difusão que varia com a temperatura: 2n3 1 TAB 23 1 TABAB z z D T T DD 11       =      = A concentração também varia com a temperatura: ( )n 1zzR P RT P c == A equação de fluxo torna-se: ( ) dz dy z z y1RT DP N A 2n 1A1 TAB z,A 1       − − = Para uma pequena faixa de temperatura, pode-se aproximar para uma equação: ( ) ( ) dz dy y1 cD N A A médioAB z,A − = Com as condições de contorno: Para z = z1 ⇒ yA = yA1 Para z = z2 ⇒ yA = yA2 = PA/P, Lei de Dalton, Integrando a equação temos: ( ) ( ) ( ) ln,B12 2A1AmédioAB z,A yzz yycD N − − = O fluxo de energia total é: ( ) ( ) ( )21Az,A21C32L z HHMNTThTTh A q −+−=−=
60. Difusão em regime permanente 3.26 Samuel Luporini/DEQ/UFBA 2líquidodeplanonoEntalpiaH 1vapordeplanonoEntalpiaH AdemolecularMassaM gasosofilmenonaturalcalordenciatransferêdeconvectivoeCoeficienth líquidofilmenocalordenciatransferêdeconvectivoeCoeficienth 2 1 A C L = = = = = Para resolver a equação de fluxo de energia, utiliza-se a técnica de tentativa e erro: Assume o valor da temperatura da superfície liquida: T2 Calcula hC e (cDAB)médio. Calcula yA2 = PA/P, com PA = pressão de vapor acima do liquido a T2 e P = pressão total do sistema Quando os lados esquerdo e direito se satisfazerem o chute de T2 esta correto. Exemplo: Uma mistura de vapor etanol-água esta sendo destilada pelo contato da solução liquida etanol/água. O etanol é transferido a partir do líquido para a fase vapor e a água é transferida na direção oposta. A condensação de vapor de água fornece a energia para a vaporização do etanol. Ambos os componentes estão se difundindo através do filme de gás de 0,1 mm de espessura. A temperatura é 368 K e a pressão é 1,013 x 105 Pa. Para estas condições, a entalpia de vaporização dos componentes puros do etanol e água são 840 e 2300 kJ/kg, respectivamente. a)Desenvolver a equação de fluxo para o vapor de etanol. b) Desenvolver a equação de fluxo assumindo que os componentes tem calores equimolares de vaporização. Figura - Retificação adiabática de uma mistura etanol/água. • Assumir uma direção • Processo de transferência de massa molecular adiabático • Espessura do filme δ Parede adiabática Misturaliquidasaturadadeetanol/água Filme gasoso (δ) Vapor etanol/água NEtOH (vapor) NH2O (condensado)
61. Difusão em regime permanente 3.27 Samuel Luporini/DEQ/UFBA 3.6.2 Transferência simultânea de momento e massa • Absorção: A dissolução seletiva de um dos componentes de uma mistura gasosa por um líquido: coluna de parede molhada. • Escoamento de um filme ao longo de uma parede na qual esta em contato com uma mistura de gás. Suposições: 1. O comprimento para contato entre as duas fases é curto, portanto uma pequena quantidade de massa é absorvida ⇒ propriedades do liquido são inalteradas. 2. A velocidade do filme não afetara o processo de difusão. - Balanço de momento na direção x: { { { x 0 zxyx 0 xx 0 x 0 z x 0 y cte 0 x x ioestacionárestado 0 x g zyxx P zyxt x ρ+             ∂ τ∂ + ∂ τ∂ + ∂ τ∂ − ∂ ∂ −=                 ∂ ϑ∂ ϑ+ ∂ ϑ∂ ϑ+ ∂ ϑ∂ ϑ+ ∂ ϑ∂ ρ === == =ϑ 321321321321 Logo, g y yx ρ−= ∂ τ∂ (3.6.2.1) As condições de contorno que devem ser satisfeitas: C.C.1 para y = 0 ϑx = 0 C.C.2 para y = δ ∂ϑx/∂y = 0 ( contato do liquido com o gás)
62. Difusão em regime permanente 3.28 Samuel Luporini/DEQ/UFBA Fluido newtoniano: dy d x xy ϑ µ=τ Substituindo em (1), temos: 21 2 x1 x 2 x 2 cyc 2 yg cy g y g y ++ µ ρ −=ϑ⇒+ µ ρ −= ∂ ϑ∂ ⇒ρ−= ∂ ϑ∂ µ (3.6.2.2) Pela C.C.1 ⇒ c2 = 0 Pela C.C.2 ⇒ c1 = ρgδ/µ Substituindo e após um rearranjo, temos:               δ − δ δ µ ρ −=ϑ 2 2 x y 2 1yg (3.6.2.3) 2 yxmax 2 g δ µ ρ =ϑ=ϑ δ= (3.6.2.4) Logo:               δ − δ ϑ=ϑ 2 maxx y 2 1y 2 (perfil de velocidade) (3.6.2.5) Equação diferencial de transferência de massa { 0R t c N química reação sem 0 A ioestacionár estado 0 A A =− ∂ ∂ +⋅∇ = = 321 r nas direções x e y apenas: 0 y N x N y,Ax,A = ∂ ∂ + ∂ ∂ (3.6.2.6) Os fluxos molares são definidos pela Lei de Fick como:
63. Difusão em regime permanente 3.29 Samuel Luporini/DEQ/UFBA ( )444 3444 2143421 xAc x,Bx,AA curto. muitoéliquidoocomvapordo contatodetempoodesprezar, A ABx,A NNx dx dc DN ϑ= ++−= (3.6.2.7) ( )444 3444 21 BemAdedesolubilidaa baixamuito,desprezar y,By,AA A ABy,A NNx dy dc DN ++−= (3.6.2.8) Direção y: A é transportado principalmente por difusão. Direção x: A é transportado principalmente por convecção. Substituindo (3.6.2.7) e (3.6.2.8) em (3.6.2.6), temos: ( ) :logoapenas,ydedependenteécomo,0 y c D x c x2 A 2 AB xA ϑ= ∂ ∂ −+ ∂ ϑ∂ 0 y c D x c 2 A 2 AB A x = ∂ ∂ −+ ∂ ∂ ϑ (3.6.2.9) Sendo ϑx dado pela equação (3.6.2.5), ∴ 0 y c D x cy 2 1y 2 2 A 2 AB A 2 max = ∂ ∂ −+ ∂ ∂               δ − δ ϑ (3.6.2.9) As condições de contorno para a película deslizando são: C.C.1: para x = 0 → cA = 0 C.C.2: para y = 0 → 0 y cA = ∂ ∂ (parede) C.C.3: para y = δ → cA = cA0 (contato com o gás) A qual pode ser resolvida numericamente pelo método das diferenças finitas. Johnstone & Pigford (1942) resolveram a equação (3.2.6.9) analiticamente, e obtiveram a concentração adimensional no fundo da coluna(Trans. AICHE, 38, 25, 1942):
64. Difusão em regime permanente 3.30 Samuel Luporini/DEQ/UFBA L++ ++= − − − −−− δ== δ== n75,204 n64,105n318,39n1213,5 yA0xA yALxA e01811,0 e03500,0e1001,0e7857,0 cc cc (3.2.6.10) Onde: líquidonosolutododifusãodeecoeficientD superfícienalocalizadafilme,domáximaevelocidad películadaespessura colunadaalturaL colunadatoponosolutodoãoconcentraçc liquido-gásinterfacenasolutodoãoconcentraçc colunadafundonosolutodoãoconcentraçc LD n AB max 0xA xA LxA max 2 AB = =ϑ =δ = = = = ϑδ = = δ= = Teoria da penetração: modelo desenvolvido por Higbie (Trans, AICHE, 31, 368-389, 1935) • Um soluto é transferido dentro de uma película em y = δ. O efeito da película deslizando sobre a espécie difundindo, é tal que a velocidade do escoamento do fluido pode ser considerada uniforme e igual a ϑmax. • O soluto A não será afetado pela presença da parede, então o fluido pode ser considerado de profundidade infinita. Profundidade da penetração
65. Difusão em regime permanente 3.31 Samuel Luporini/DEQ/UFBA Com estas simplificações, a equação (3.2.6.8) fica: 2 A 2 AB A max y c D x c ∂ ∂ = ∂ ∂ ϑ com as condições de contorno: C.C.1: para x = 0 → cA = 0 C.C.3: para y = δ → cA = cA0 (contato com o gás) C.C.3: para y = -∞ → cA = 0 Fazendo ξ = δ - y, temos: 2 A 2 AB A max c D x c ξ∂ ∂ = ∂ ∂ ϑ e as condições de contorno ficam: C.C.1: para x = 0 → cA = 0 C.C.2: para ξ = 0 → cA = cA0 (contato com o gás) C.C.3: para ξ = ∞ → cA = 0 Aplicando a Transformada de Laplace na direcao x, na equação acima, temos: ( ) 2 A 2 ABAmax s,c D0cs ξ∂ ξ∂ =−ϑ no domínio de Laplace rearranjando: ( ) 0 D css,c AB Amax 2 A 2 = ϑ − ξ∂ ξ∂ Esta equação diferencial ordinária de 2ª ordem, possui a solução geral de: ( )         ξ ϑ −+         ξ ϑ =ξ AB max 1 AB max 1A D s expB D s expAs,c As constantes A1 e B1 são avaliadas utilizando as condições de contorno transformada para o domínio de Laplace: C.C.1: para ξ = 0 → ( ) s c s,0c 0A A = (contato com o gás)
66. Difusão em regime permanente 3.32 Samuel Luporini/DEQ/UFBA C.C.2: para ξ = ∞ → ( ) 0s,cA =∞ Produzindo a solução: ( )         ξ ϑ −=ξ AB max0A A D s exp s c s,c Aplicando a inversa da transformada de Laplace, temos: ( )                             ϑ − ξ −=ξ max AB 0AA xD4 erf1c,xc ou ( )                 − ξ −=ξ expAB 0AA tD4 erf1c,xc onde o tempo de exposição é definido como texp = x/ϑmax. A função erro: erf() → apêndice L de Welty. Fluxo: { {           − π = π = ∂ ∂ −== ==δ= δ==ξ 0 2A c 1A exp AB exp AB 0A y A AByy,A0y,A cc t D t D c y c DNN 0A Por comparação com a equação de convecção: ( )2A1Acy,A cckN −= 21 ABc exp AB c Dkou t D k ∝ π = ⇒ Teoria da penetração.
67. Difusão molecular no estado transiente 4.1 Samuel Luporini/DEQ/UFBA CAPÍTULO 4: DIFUSÃO MOLECULAR NO ESTADO TRANSIENTE • 2 variáveis independentes: posição e tempo • Grandes quantidades de problemas de difusão podem ser resolvidos simplesmente olhando as soluções do problema análogo à condução de calor. Quando a equação diferencial e a condição inicial e de contorno do processo de difusão são exatamente da mesma forma daqueles do processo de condução de calor, então a solução pode ser tomada com as mudanças apropriadas na notação. • Muitas soluções analíticas em: o Carslaw & Jaeger, Heat conduction in solids, Oxford University Press, 1959, 2ª edição. o J. Crank, The mathematics of diffusion, Oxford University Press, London, 1958. • São peculiares apenas para transferência de massa: o Difusão com reações químicas o Difusão com velocidade media molar diferente de zero o Difusão com mais de 2 componentes o Convecção forçada com taxas de transferência de massa elevada • Processos transientes: o O processo na qual esta em estado não estacionário somente em sua partida inicial. o O processo na qual é uma batelada (descontínuo) ou operações em sistemas fechados do começo ao fim de sua duração. SOLUÇÃO ANALÍTICA A segunda lei de Fick, descreve uma situação onde: • Não ocorre nenhuma contribuição ao movimento (bulk), isto é, 0=ϑ r • Nenhuma reação química, isto é, RA = 0 Logo: { 0R t c N química reaçãosem 0 A A A =− ∂ ∂ +⋅∇ = r (1)
68. Difusão molecular no estado transiente 4.2 Samuel Luporini/DEQ/UFBA ( )44 344 21 rr r 0c BAAAABz,A NNxxcDN =ϑ= ++∇−= 1ª Lei de Fick, logo: AABz,A cDN ∇−= (2) Introduzindo (2) em (1), temos: A 2 AB A cD t c ⋅∇= ∂ ∂ 2ª Lei de Fick (3) Útil para: • Difusão em sólidos, líquidos estacionários, ou em sistemas em contradifusão equimolar. • Devido a taxa de difusão extremamente lenta em líquidos, a contribuição do movimento bulk, da 1ª lei de Fick (isto é, ∑ iA Nx r ) aproxima de zero para soluções diluídas, portanto satisfaz a 2ª lei de Fick. 4.1 DIFUSÃO TRANSIENTE EM UM MEIO SEMI INFINITO • Transferência de massa unidirecional dentro de um meio estacionário semi-infinito com uma concentração superficial fixa. • Absorção de O2 a partir do ar na aeração de um lago. • Processo de difusão na fase sólida envolvendo a dureza do aço em atmosfera rica em carbono. • A equação diferencial a ser resolvida é: 2 A 2 AB A z c D t c ∂ ∂ = ∂ ∂ e as condições inicial e de contornos são: C.I.: 0AA cc = para t = 0, para todo z C.C.1: AsA cc = para z = 0, para todo t C.C.2: 0AA cc = para z = ∞, para todo t, o soluto penetra uma distância muito pequena durante o tempo finito de exposição em relação a profundidade do meio.
69. Difusão molecular no estado transiente 4.3 Samuel Luporini/DEQ/UFBA usando a transformação: 0AA cc −=θ 2 2 AB z D t ∂ θ∂ = ∂ θ∂ (2) e as condições inicial e de contornos são: C.I.: ( ) 00,z =θ C.C.1: ( ) 0AAs cct,0 −=θ C.C.2: ( ) 0t, =∞θ Pela transformada de Laplace da eq. (2), temos: 2 2 AB z D0s ∂ θ∂ =−θ ou 0 D s z AB 2 2 = θ − ∂ θ∂ (3) E as condições de contorno na T.L.: C.C.1: ( ) ( ) s cc s,0 0AAs − =θ z CA0CAs z t aumenta CA0 CAs
70. Difusão molecular no estado transiente 4.4 Samuel Luporini/DEQ/UFBA C.C.2: ( ) 0s, =∞θ A solução geral de (3) é: zDszDs ABAB BeAe − +=θ Pelas condições de contorno: z = ∞ ⇒ A = 0 z = 0 ⇒ B = (cAs-cA0)/s Logo: zDs0AAs AB e s cc −       − =θ (4) A inversa da T.L. da eq. (4), fica: ( )         −=θ tD2 z erfccc AB 0AAs ou         −= − − tD2 z erf1 cc cc AB0AAs 0AA (perfil de concentração) (5) erf( ): função erro, apêndice L de Welty ou no Excel. O fluxo unidirecional de A na placa semi-infinita, na superfície do meio é: ( )0AAs AB 0z A AB0zA cc t D dz dc DN − π =−= = = (6) 4.2 DIFUSÃO TRANSIENTE EM UM MEIO DIMENSIONAL FINITO SOB CONDIÇÕES DE RESISTÊNCIA DE SUPERFÍCIE DESPREZIVEL • Um corpo é submetido a uma mudança subta nas vizinhanças a qual influencia sua concentração na superfície cAs. • Consideramos uma lamina larga de madeira a qual possui uma espessura uniforme L. • A distribuição de concentração inicial é uma função de z, ou seja, cA0(z).
71. Difusão molecular no estado transiente 4.5 Samuel Luporini/DEQ/UFBA • Condições: C.I.: ( )zcc 0AA = para t = 0, para todo 0 ≤ z ≤ L C.C.1: AsA cc = para z = 0, para t > 0 C.C.2: AsA cc = para z = L, para t > 0 A equação da 2ª lei de Fick, com a concentração adimensional, As0A AsA cc cc Y − − = , na direção z, fica: 2 2 AB z Y D t Y ∂ ∂ = ∂ ∂ (1) Com as condições inicial e de contorno adimensionais: C.I.: ( )zYY 0= para t = 0, para todo 0 ≤ z ≤ L C.C.1: 0Y = para z = 0, para t > 0 C.C.2: 0Y = para z = L, para t > 0 ( ) 0t,2L dz dY = , devido a simetria no meio da placa. Resolvendo a equação (1) pelo método de separação de variáveis (Welty) leva a seguinte solucao produto: ( ) tD 21 2 ABexsenCxcosCY λ− λ+λ= z = 0 CAsCAs z = L
72. Difusão molecular no estado transiente 4.6 Samuel Luporini/DEQ/UFBA As constantes C1 e C2 e o parâmetro λ são obtidos da C.I. e das C.C.1 e C.C.2, obtendo: ( ) ( ) dz L zn senzYe L zn sen L 2 cc cc Y L 0 0 X2n 1nAs0A AsA D 2 ∫∑       π       π = − − = π− ∞ = (2) onde: L5,3,1,n L/2deticocaracterisocomprimentx relativotempoderazão x D X 1 1 AB D = = →= Se a lamina tem uma concentração uniforme, no instante inicial, isto é Y0(z) = Y0, então a eq. (2), fica: ( ) D 2 X2n 1nAs0A AsA e L zn sen n 14 cc cc Y π− ∞ = ∑       π π = − − = (3) onde: n = 1, 3, 5, ... O fluxo mássico para algum plano da placa de madeira pode ser avaliado por: z c DN A ABz,A ∂ ∂ −= ( ) ( ) D 2 X2n 1n 0AAs AB z,A e L zn coscc L D4 N π− ∞ = ∑       π −= onde: n = 1, 3, 5, ... No centro da placa (z = L/2), NA = 0 pois ( ) 0t,2L dz dcA =
73. Difusão molecular no estado transiente 4.7 Samuel Luporini/DEQ/UFBA Exemplo: Considerando a dopagem do fósforo no silício cristalino, semicondutor tipo n, a 1100º C, uma temperatura capaz de promover a difusão do fósforo. A concentração da superfície do fósforo (cAs) no silício é 2,5 x 1020 atomos de P/cm3 de Si sólido, que é relativamente diluído, desde que o silício contem 5 x 1022 atomos de Si/cm3 de sólido. A cobertura rica de fósforo é considerada como uma fonte infinita para a quantidade de átomos de P transferido, de maneira que, cAs é constante. Predizer a profundidade do filme Si-P após 1 h, se a concentração é de 1% na superfície (2,5 x 1018 atomos de P/cm3 de silício sólido). Resposta: 1,76 µm z = 0 Si(s) + 2POCl3(g) → SiO2(s) + 3Cl2 + 2P(s) P POCl3 Cl2 Vapor de POCl3 Cobertura de SiO2(s) + 2P(s) Placa de Si Fonte rica de P P Si cAs
74. Difusão molecular no estado transiente 4.8 Samuel Luporini/DEQ/UFBA 4.3 GRÁFICOS CONCENTRAÇÃO-TEMPO PARA FORMAS GEOMÉTRICAS SIMPLES • Gráficos de “Gurney-Lurie” apresentam soluções para placa plana, esfera e cilindros longos. • Equação diferencial para condução de calor análoga a equação diferencial para difusão molecular ⇒ estes gráficos podem ser utilizados para ambos os fenômenos de transportes. • Para difusão molecular, temos: Y = mudança na concentração adimensional = 0AAs AAs cc cc − − XD = tempo relativo = 2 1 AB x tD n = posição relativa = 1x x m = resistência relativa = 1c AB xk D = internamolecularmassadenciatransferêdearesistênci convectivamassadenciatransferêdearesistênci x1 = comprimento característico, é a distância do ponto médio para a posição de interesse. Condições: a) Assumir a 2ª lei de Fick, isto é, 0=ϑ , nenhum termo de produção, RA = 0, e difusividade constante. b) O corpo tem um concentração inicial uniforme, cA0. c) O contorno esta sujeito a uma nova condição que permaneça constante com o tempo. 1. Para formas onde o transporte ocorre em somente uma das faces, a razões adimensionais são calculadas como se a espessura fosse duas vezes o valor verdadeiro.
75. Difusão molecular no estado transiente 4.9 Samuel Luporini/DEQ/UFBA 1) Transporte em uma barra retangular com extremidades seladas: Ybar = YaYb Ya = avaliação com a largura x1 = a Yb = avaliação com a espessura x1 = b 2) Paralelepípedo retangular Ypar = YaYbYc Ya = avaliação com a largura x1 = a Yb = avaliação com a espessura x1 = b Yc = avaliação com a espessura x1 = c a a b b c c a a b b selada selada
76. Difusão molecular no estado transiente 4.10 Samuel Luporini/DEQ/UFBA 3) Cilindros, incluindo ambas as extremidades Ycil = YcilindroYa, Ycilindro = avaliado em coordenada radial (x1 = R) Ya = avaliado para placa plana, de espessura x1 = a (axial) Exemplo Uma placa de madeira 12 in por 12 in por 1 in, é exposta ao ar seco. As extremidades são inicialmente seladas para limitar o processo de secagem para as faces planas mais largas da placa. O liquido interno difunde para a superfície, onde é evaporada pela passagem da corrente de ar. O conteúdo de umidade sobre a superfície permanece constante a 15% em peso. Após 10 hr de secagem o conteúdo de umidade do centro diminui de 50 para 32% em peso Se o coeficiente de transferência de massa convectivo pode ser considerado suficientemente elevado, a resistência relativa m é aproximada para zero, calcule: a) O coeficiente de difusão efetiva. b) O conteúdo de umidade se as seis faces são usadas para o mesmo período de secagem. c) O tempo necessário para diminuir o conteúdo de umidade do centro de um cubo de 1 ft de aresta feito com a mesma madeira, de 50 para 32% em peso se todas as 6 faces são usadas. Assumir que o coeficiente de difusão efetiva calculado em (a) é constante através do cubo. Resposta: a) 8,85 x 10-5 ft2 /h; b) 0,471 lbm de água/lbm de madeira seca; c)650 h a a R R
77. Difusão molecular no estado transiente 4.11 Samuel Luporini/DEQ/UFBA 4.4 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ANÁLISE DE TRANSFERÊNCIA DE MASSA TRANSIENTE Enunciado: Uma placa de material com uma espessura de 0,004 m tem uma superfície subitamente exposta a uma solução do componente A com CA0 = 6 x 10-3 kg-mol/m3 enquanto que a outra superfície é suportada sólido isolado permitindo nenhuma transferência de massa. Há um perfil de concentração inicial linear para o componente A dentro da placa a partir de CA = 1 x 10-3 kg-mol/m3 para um lado e CA = 2 x 10-3 kg-mol/m3 para o lado sólido. A difusividade DAB = 1x 10-9 m2 /s. O coeficiente de distribuição. O coeficiente de distribuição entre a concentração na solução adjacente a placa CALi e a concentração na placa sólida para a superfície CAi é definida por: K = CAli/CAi, onde K = 1,5. O coeficiente de transferência de massa para a superfície da placa pode ser considerado infinito. x = 0,004 m CA3 CA5 CA7 CA1 CA2 CA4 CA6 CA8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 x dx = 0,0005 m CA9 Superfície exposta Condições de contorno CA1 é mantido a um valor constante. Figura 1 – Transferência de massa transiente em uma placa unidimensional A equação diferencial parcial: 2 A 2 AB A x C D t C ∂ ∂ = ∂ ∂ 2ª Lei de Fick Condições iniciais CA para t = 0, perfil linear de 1 x 10-3 a 2 x 10-3
78. Difusão molecular no estado transiente 4.12 Samuel Luporini/DEQ/UFBA Condições de contorno Como a equação diferencial é de 2ª ordem são necessárias duas condições de contorno: CC1: k C C 0A 0xAi == , onde k = 1,5 CC2: 0 x C 004,0x A = ∂ ∂ = , condição de fluxo difusional para o contorno isolado. a) Calcular as concentrações dentro da placa até 2500 s. Utilize o método numérico em x com intervalo entre nodos de 0,0005 m (ver fig. 1) correspondente a 9 nodos. b) Fazer o gráfico da concentração versus tempo ate 2500 s. Método numérico O método de linhas (MOL: method of lines): o tempo é resolvido como equações diferenciais ordinárias: método de Euler ou Runge Kutta por exemplo. O espaço é discretizado por diferenças finitas. Neste exemplo o espaço é dividido em N = 8 intervalos envolvendo N + 1 = 9 nodos (figura 1). Utilizando a fórmula da diferença central para a 2ª derivada (equação A9), deixando o tempo como uma derivada ordinária, temos: ( )1nn1n AAA2 ABA CC2C x D dt dC −+ +− ∆ = para 2 ≤ n ≤ 8 Condições de contorno Superfície exposta Neste exemplo em x = 0 ( ) 0x A AB1A0Ac x C DKCCk = ∂ ∂ −=− CA1 x = 0 CA0
79. Difusão molecular no estado transiente 4.13 Samuel Luporini/DEQ/UFBA Usando a formula das diferenças (A5) para o derivativo do lado direito desta equação temos: ( ) x2 C3C4C x C 1A2A3A 0x A ∆ −+− = ∂ ∂ = Logo: ( ) ( ) x2 C3C4C DKCCk 1A2A3A AB1A0Ac ∆ −+− −=− Isolando CA1, que nos interessa temos: xKk2D3 CD4CDxCk2 C cAB 2AAB3AAB0Ac 1A ∆+ +−∆ = no nosso exemplo temos que kc →∞ logo K C C 0A 1A = , onde K = 1,5. Superfície isolada Neste exemplo em x = L 0 x C 004,0x A = ∂ ∂ = Utilizando a formula da diferença finita (A7) para este derivativo, temos 0 x2 CC4C3 dx dC 7A8A9A9A = ∆ +− = Isolando CA9 que nos interessa, temos: 3 CC4 C 7A8A 9A − = CA9 x = 0 isolante x = L = 0,004m
80. Difusão molecular no estado transiente 4.14 Samuel Luporini/DEQ/UFBA Condição inicial Perfil de concentração inicial, neste exemplo é lineal de 1 x 10-3 a 2 x 10-3 , ficando: x em m CA x 103 Nodo n 0 1 1 0,0005 1,125 2 0,001 1,25 3 0,0015 1,375 4 0,002 1,5 5 0,0025 1,625 6 0,003 1,75 7 0,0035 1,825 8 0,004 2 9 dx = 0,0005 Equações discretizadas: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 7A8A9A AB 8A 8 2 6A7A8A AB 7A 7 2 5A6A7A AB 6A 6 2 4A5A6A AB 5A 5 2 3A4A5A AB 4A 4 2 2A3A4A AB 3A 3 2 1A2A3A AB 2A 2 dx CC2C D dt dC f dx CC2C D dt dC f dx CC2C D dt dC f dx CC2C D dt dC f dx CC2C D dt dC f dx CC2C D dt dC f dx CC2C D dt dC f +− == +− == +− == +− == +− == +− == +− == CA9 e CA1 são diferentes devido as condições de contorno, logo K C C 3 CC4 C 0A 1A 7A8A 9A = − =
81. Difusão molecular no estado transiente 4.15 Samuel Luporini/DEQ/UFBA onde CA0 = 6 x 10-3 e K = 1,5 Neste exemplo usaremos o método de Euler para discretizar o tempo: ( ) ( ) ( ) ( )j2A21j2A j2A1j2A 2 2A 2 CtfC t CC f dt dC f +∆= ∆ − = = + + Neste exemplo ∆t = 1 s e j é o numero de tempos.
82. Difusão molecular no estado transiente 4.16 Samuel Luporini/DEQ/UFBA Fluxograma: Dados Condições iniciais J = 0 a 2500 ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) 2 7A8A9AAB8 2 6A7A8AAB7 2 5A6A7AAB6 2 4A5A6AAB5 2 3A4A5AAB4 2 2A3A4AAB3 2 1A2A3AAB2 dxjCjC2jCDf dxjCjC2jCDf dxjCjC2jCDf dxjCjC2jCDf dxjCjC2jCDf dxjCjC2jCDf dxjCjC2jCDf +−= +−= +−= +−= +−= +−= +−= ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) dtjt1jt 31jC1jC41jC dtfjC1jC dtfjC1jC dtfjC1jC dtfjC1jC dtfjC1jC dtfjC1jC dtfjC1jC KC1jC 7A8A9A 28A8A 27A7A 26A6A 55A5A 44A4A 33A3A 22A2A 0A1A +=+ +−+=+ +=+ +=+ +=+ +=+ +=+ +=+ +=+ =+ Impressão
83. Difusão molecular no estado transiente 4.17 Samuel Luporini/DEQ/UFBA Módulo em VBA aplicado ao EXCEL Public Sub Ptran() Dim t(3000) As Double Dim CA1(3000) As Double Dim CA2(3000) As Double Dim CA3(3000) As Double Dim CA4(3000) As Double Dim CA5(3000) As Double Dim CA6(3000) As Double Dim CA7(3000) As Double Dim CA8(3000) As Double Dim CA9(3000) As Double 'Dados dx = 0.0005 CA0 = 0.006 K = 1.5 DAB = 0.000000001 tf = 2500 Cells(12, 1) = "dx =" Cells(12, 2) = dx Cells(13, 1) = "CA0 =" Cells(13, 2) = CA0 Cells(14, 1) = "K =" Cells(14, 2) = K Cells(15, 1) = "DAB =" Cells(15, 2) = DAB 'Condições iniciais t(0) = 0 CA1(0) = 0.001 CA2(0) = 0.001125 CA3(0) = 0.00125 CA4(0) = 0.001375 CA5(0) = 0.0015 CA6(0) = 0.001625 CA7(0) = 0.00175
84. Difusão molecular no estado transiente 4.18 Samuel Luporini/DEQ/UFBA CA8(0) = 0.001825 CA9(0) = 0.002 dt = 1 'Solução numérica For j = 0 To 2500 f2 = DAB * (CA3(j) - 2 * CA2(j) + CA1(j)) / dx ^ 2 f3 = DAB * (CA4(j) - 2 * CA3(j) + CA2(j)) / dx ^ 2 f4 = DAB * (CA5(j) - 2 * CA4(j) + CA3(j)) / dx ^ 2 f5 = DAB * (CA6(j) - 2 * CA5(j) + CA4(j)) / dx ^ 2 f6 = DAB * (CA7(j) - 2 * CA6(j) + CA5(j)) / dx ^ 2 f7 = DAB * (CA8(j) - 2 * CA7(j) + CA6(j)) / dx ^ 2 f8 = DAB * (CA9(j) - 2 * CA8(j) + CA7(j)) / dx ^ 2 CA1(j + 1) = CA0 / K CA2(j + 1) = CA2(j) + f2 * dt CA3(j + 1) = CA3(j) + f3 * dt CA4(j + 1) = CA4(j) + f4 * dt CA5(j + 1) = CA5(j) + f5 * dt CA6(j + 1) = CA6(j) + f6 * dt CA7(j + 1) = CA7(j) + f7 * dt CA8(j + 1) = CA8(j) + f8 * dt CA9(j + 1) = (4 * CA8(j + 1) - CA7(j + 1)) / 3 t(j + 1) = t(j) + dt Next j 'impressão na planilha For i = 0 To 8 Cells(18, 5 + i) = i * dx te = 50 Next i For j = 0 To 2500 Step te Cells(20 + j / te, 4) = t(j) Cells(20 + j / te, 5) = CA1(j) Cells(20 + j / te, 6) = CA2(j) Cells(20 + j / te, 7) = CA3(j) Cells(20 + j / te, 8) = CA4(j) Cells(20 + j / te, 9) = CA5(j) Cells(20 + j / te, 10) = CA6(j)
85. Difusão molecular no estado transiente 4.19 Samuel Luporini/DEQ/UFBA Cells(20 + j / te, 11) = CA7(j) Cells(20 + j / te, 12) = CA8(j) Cells(20 + j / te, 13) = CA9(j) Next j End Sub Planilha Placa_transiente_7_13.xls do EXCEL: Próxima pagina.
86. Difusão molecular no estado transiente 4.20 Samuel Luporini/DEQ/UFBA dx = 0.00050 CA0 = 0.00600 K = 1.50000 DAB = 1.00000E-09 distância x 0 0.0005 0.001 0.0015 0.002 0.0025 0.003 0.0035 0.004 tempo (s) CA1 CA2 CA3 CA4 CA5 CA6 CA7 CA8 CA9 0 0.001 0.001125 0.00125 0.001375 0.0015 0.001625 0.00175 0.001825 0.002 50 0.004 0.001616 0.001294 0.001378 0.0015 0.001624 0.001741 0.001816 0.00184 100 0.004 0.001965 0.001394 0.001392 0.001501 0.001622 0.001733 0.001806 0.00183 150 0.004 0.002217 0.001514 0.001421 0.001505 0.00162 0.001726 0.001796 0.00182 200 0.004 0.002406 0.001635 0.001462 0.001514 0.001619 0.001719 0.001787 0.00181 250 0.004 0.002553 0.001751 0.00151 0.001527 0.001618 0.001713 0.001778 0.0018 300 0.004 0.002669 0.001859 0.001564 0.001544 0.00162 0.001707 0.00177 0.00179 350 0.004 0.002764 0.001957 0.00162 0.001565 0.001623 0.001703 0.001761 0.001781 400 0.004 0.002843 0.002047 0.001676 0.001589 0.001628 0.001699 0.001754 0.001772 450 0.004 0.00291 0.002128 0.001732 0.001615 0.001635 0.001696 0.001747 0.001764 500 0.004 0.002967 0.002202 0.001787 0.001643 0.001644 0.001695 0.00174 0.001756 550 0.004 0.003017 0.002269 0.001841 0.001673 0.001655 0.001694 0.001735 0.001748 600 0.004 0.003061 0.00233 0.001892 0.001703 0.001667 0.001695 0.00173 0.001741 650 0.004 0.003101 0.002386 0.001941 0.001734 0.001681 0.001697 0.001725 0.001735 700 0.004 0.003136 0.002438 0.001987 0.001765 0.001695 0.0017 0.001722 0.001729 750 0.004 0.003167 0.002485 0.002032 0.001795 0.00171 0.001704 0.00172 0.001725
87. Difusão molecular no estado transiente 4.21 Samuel Luporini/DEQ/UFBA 800 0.004 0.003196 0.002529 0.002074 0.001825 0.001726 0.001709 0.001718 0.001721 850 0.004 0.003222 0.00257 0.002114 0.001855 0.001743 0.001715 0.001717 0.001718 900 0.004 0.003246 0.002608 0.002153 0.001884 0.00176 0.001721 0.001717 0.001716 950 0.004 0.003269 0.002643 0.002189 0.001913 0.001777 0.001728 0.001718 0.001715 1000 0.004 0.003289 0.002677 0.002224 0.00194 0.001795 0.001736 0.00172 0.001714 1050 0.004 0.003308 0.002708 0.002257 0.001968 0.001812 0.001745 0.001723 0.001715 1100 0.004 0.003326 0.002737 0.002288 0.001994 0.00183 0.001754 0.001726 0.001716 1150 0.004 0.003342 0.002764 0.002319 0.00202 0.001848 0.001764 0.00173 0.001719 1200 0.004 0.003358 0.00279 0.002347 0.002045 0.001865 0.001774 0.001735 0.001722 1250 0.004 0.003372 0.002814 0.002375 0.002069 0.001883 0.001785 0.00174 0.001726 1300 0.004 0.003386 0.002837 0.002401 0.002093 0.0019 0.001796 0.001747 0.00173 1350 0.004 0.003398 0.002859 0.002426 0.002115 0.001918 0.001807 0.001753 0.001736 1400 0.004 0.003411 0.00288 0.00245 0.002138 0.001935 0.001819 0.001761 0.001742 1450 0.004 0.003422 0.002899 0.002473 0.002159 0.001952 0.00183 0.001769 0.001748 1500 0.004 0.003433 0.002918 0.002495 0.00218 0.001969 0.001843 0.001777 0.001756 1550 0.004 0.003443 0.002936 0.002516 0.002201 0.001986 0.001855 0.001786 0.001763 1600 0.004 0.003453 0.002953 0.002537 0.002221 0.002003 0.001868 0.001796 0.001772 1650 0.004 0.003462 0.002969 0.002556 0.00224 0.002019 0.00188 0.001805 0.00178 1700 0.004 0.003471 0.002985 0.002575 0.002259 0.002035 0.001893 0.001816 0.00179 1750 0.004 0.003479 0.003 0.002594 0.002277 0.002052 0.001906 0.001826 0.001799 1800 0.004 0.003487 0.003014 0.002611 0.002295 0.002068 0.001919 0.001837 0.001809 1850 0.004 0.003495 0.003028 0.002628 0.002313 0.002083 0.001933 0.001848 0.00182 1900 0.004 0.003503 0.003041 0.002645 0.00233 0.002099 0.001946 0.001859 0.001831 1950 0.004 0.00351 0.003054 0.002661 0.002346 0.002114 0.001959 0.001871 0.001842 2000 0.004 0.003516 0.003066 0.002676 0.002363 0.00213 0.001973 0.001883 0.001853 2050 0.004 0.003523 0.003078 0.002691 0.002379 0.002145 0.001986 0.001895 0.001865
88. Difusão molecular no estado transiente 4.22 Samuel Luporini/DEQ/UFBA 2100 0.004 0.003529 0.00309 0.002706 0.002394 0.00216 0.002 0.001907 0.001876 2150 0.004 0.003535 0.003101 0.00272 0.00241 0.002175 0.002013 0.00192 0.001888 2200 0.004 0.003541 0.003111 0.002734 0.002425 0.002189 0.002027 0.001932 0.001901 2250 0.004 0.003547 0.003122 0.002747 0.002439 0.002204 0.00204 0.001945 0.001913 2300 0.004 0.003552 0.003132 0.00276 0.002454 0.002218 0.002054 0.001958 0.001926 2350 0.004 0.003558 0.003141 0.002773 0.002468 0.002232 0.002068 0.001971 0.001938 2400 0.004 0.003563 0.003151 0.002786 0.002482 0.002246 0.002081 0.001983 0.001951 2450 0.004 0.003568 0.00316 0.002798 0.002495 0.00226 0.002095 0.001997 0.001964 2500 0.004 0.003573 0.003169 0.00281 0.002509 0.002274 0.002108 0.00201 0.001977
89. Difusão molecular no estado transiente 4.23 Samuel Luporini/DEQ/UFBA 0.0010 0.0015 0.0020 0.0025 0.0030 0.0035 0.0040 0.0045 0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000 2200 2400 2600 tempo (s) CA(kg-mol/m3 ) CA1 CA2 CA3 CA4 CA5 CA6 CA7 CA8 CA9
90. Difusão molecular no estado transiente 4.24 Samuel Luporini/DEQ/UFBA Aproximações por diferenças finitas úteis:
91. Transferência de massa por convecção 5.1 Samuel Luporini/DEQ/UFBA CAPÍTULO 5: TRANSFERÊNCIA DE MASSA POR CONVECÇÃO ⇒ Envolve o transporte de material entre uma superfície de contorno e um fluido escoando ou entre dois fluidos relativamente imiscíveis em escoamento. { { { ãoconcentraç dediferença A convectivo massade ciatransferên deecoeficient c ãoconcentraç dedecréscimodo direçãonaocorre massadeFluxo A ckN ∆= → sistemadogeometriaedinâmicasticascaracterisfluido,dodespropriendadasfunção h k c    é análogo a : Th A q ∆= da transferência de calor Considerações fundamentais em transferência de massa ⇒ Camada extremamente fina junto à superfície → escoamento laminar. ⇒ Escoamento laminar: o transporte entre a superfície do fluido escoando é por meio molecular. ⇒ Escoamento turbulento: movimento físico de volume de material através de linhas de corrente, transportada por turbilhões. Altas taxas de transferência de massa ou transferência de calor estão associadas ao escoamento turbulento. ( )AAscA cckN −= Onde: fluidofasedadentropontoalgumparacomposicãoc sistemadopressãoeratemperatuaparasólidoocomequilíbrio emfluidodocomposiçãoaéinterface;nafluidonosolutodoãoconcentraçc linterfaciaáreaxtempo interfaceadeixandoAsolutodomoles N A As A = = = ⇒ Há quatro métodos de avaliação do coeficiente de transferência de massa convectivo que serão discutidos neste capítulo. Estes são:
92. Transferência de massa por convecção 5.2 Samuel Luporini/DEQ/UFBA 1. Análise dimensional ligada a experimentos; 2. Análise exata da camada limite; 3. Análise aproximada da camada limite; 4. Analogia entre momento, energia e transferência de massa. EXEMPLO 1 O ar escoa sobre uma placa sólida de dióxido de carbono congelado (gelo seco) com uma área superficial exposta de 1 x 10-3 m2 . O CO2 sublima com uma corrente escoando a 2 m/s e taxa de liberação de 2,29 x 10-4 mol/s. O ar está a 293 K e 1,013 x 105 Pa ( sm10x5,1D 25 ar,CO2 − = e νar = 1,55x10-5 m2 /s). Determine o coeficiente de transferência de massa do CO2 sublimando sobre o ar escoando. Resp.: 0,118 m/s 5.2. PARÂMETROS SIGNIFICANTES: ⇒ A difusividade molecular para cada fenômeno de transporte são:                  = ρ =α ρ µ =ν t L mássicadedifusividaD térmicadedifusivida c k momentodededifusivida 2 AB p ⇒ Número de Schmidt (Sc) mássicadedifusivida momentodededifusivida DD Sc ABAB = ρ µ = ν = Sc (T.M.) é análogo ao Pr (T.C.) ⇒ Número de Lewis (Le) mássicadedifusivida térmicadedifusivida Dc k D Le ABpAB = ρ = α = Le é importante quando o processo envolve transferência de massa de energia simultaneamente.
93. Transferência de massa por convecção 5.3 Samuel Luporini/DEQ/UFBA Figura 5.1 – Perfil de velocidade e concentração para um fluido escoando numa superfície sólida. Na interface => mesmo fluxo do componente A deixando a superfície do fluido. ( )∞−= AAscA cckN deixando a superfície por convecção ( ) 0y AsA ABA dy ccd DN = − −= Entrando no fluido por difusão melecular Logo: ( ) ( ) 0y AsA ABAAsc dy ccd Dcck = − −=∞− Rearranjando e multiplicando por L, ambos os lados, temos: ( ) ( ) ⇒ ∞−− −= = L cc dy ccd D Lk AAs 0y AsA AB c globalãoconcentraçdegradiente superfícieaparaãoconcentraçdegradiente fluidodoconvectivamassadenciatransferêdearesistênci molecularmassadenciatransferêdearesistênci = ShouNu D Lk AB AB c = NuAB: número de Nusselt para transferência de massa Sh: número de Sherwood. ϑ = ϑ(y) ϑ∞ cAs - cA∞ cAs - cA = (cAs – cA)(y) x y cAs na interface
94. Transferência de massa por convecção 5.4 Samuel Luporini/DEQ/UFBA EXEMPLO 2 Determine o número de Schmidt para o metanol em ar a 298 K e 1,013 x 103 Pa e em água líquida a 298 K. 5.3. ANÁLISE DIMENSIONAL DE TRANSFERÊNCIA DE MASSA CONVECTIVA Transferência em uma corrente escoando sob convecção forçada ⇒ Considerando a transferência de massa da parede de um tubo para o fluido escoando através do conduite. (força direcional cAs – cA) Variável Símbolo Dimensões Diâmetro do tubo D L Densidade do fluido ρ M/L3 Viscosidade do fluido µ M/Lt Velocidade do fluido ϑ L/t Difusividade do fluido DAB L2 /t Coeficiente de transferência de massa kc L/t D ρ µ ϑ DAB kc M 0 1 1 1 0 1 L 1 -3 -1 0 2 0 t 0 0 -1 -1 -1 1 - Várias combinações de matriz 3 x 3. - Variáveis incluem sistema geométrico, o escoamento, props. do fluido - kc tem o interesse principal - rank = 3 ⇒ r de uma matriz: significa o numero de coluna do maior determinante diferente de zero, que se pode formar a partir dela. i = no de variareis – rank = 6 – 3 = 3 grupos adimensionais. DAB, ρ e D → variáveis central (núcleo) pode conter qualquer das variáveis que, entre elas incluem todas as dimensões básicas (MLt).
95. Transferência de massa por convecção 5.5 Samuel Luporini/DEQ/UFBA µρ=π ϑρ=π ρ=π ihg AB3 fed AB2 c cba AB1 DD DD kDD Escrevendo π1 na forma adimensional: ( )                     = t L L L M t L 1 c ba2 Equacionando os expoentes, temos: 1c 0b 1a b0:M 1a0:t 1cb3a20:L = = −=      = −−= ++−= { Sherwooddeno. massade nciatransferêpara Nusseltdeno. AB AB c 1 ShouNu D Dk 321 ≡=π Os outros 2 grupos são determinados da mesma maneira, produzindo: { Schimidtdeno.AB 3 AB 2 Sc D e D D ≡ ρ µ =π ϑ =π Dividindo π2 por π3: { Reynoldsdeno. AB AB3 2 Re DD D D ≡ µ ϑρ =      µ ρ       ϑ = π π Portanto uma correlação poderia ser feita da forma: Sh = NuAB = f(Re, Sc) Que é análoga a correlação de transferência de calor,
96. Transferência de massa por convecção 5.6 Samuel Luporini/DEQ/UFBA Nu = f(Re, Pr) Transferência dentro de uma fase na qual o movimento é devido a convecção natural ⇒ Correntes de convecção natural → desenvolvera se existir variação de densidade na fase líquida ou gasosa. Ex.: parede plana vertical com um fluido adjacente. As variáveis importantes, seus símbolos e representações adimensionais são: Variável Símbolo Dimensões Comprimento característico L L Difusividade do fluido DAB L2 /t Densidade do fluido ρ M/L3 Viscosidade do fluido µ M/Lt Força de empuxo g ∆ρA M/L2 t2 Coeficiente de transferência de massa kc L/t L DAB ρ µ g ∆ρA kc L 1 2 1 1 1 0 M 0 0 -3 -1 -2 1 t 0 -1 0 -1 -2 -1 ⇒ DAB, L e µ → variáveis central (núcleo) pode conter qualquer das variáveis que, entre elas incluem todas as dimensões básicas (MLt). ⇒ Matriz 3 x 3 ⇒ maior det ≠ 0, portanto o rank = 3 ⇒ i = no de variareis – rank = 6 – 3 = 3 grupos adimensionais. A ihg AB3 fed AB2 c cba AB1 gLD LD kLD ρ∆µ=π ρµ=π µ=π Resolvendo os 3 grupos adimensionais, obtemos AB A 3 3 AB 2AB AB c 1 D gL , Sc 1D ,Nu D Lk µ ρ∆ =π≡ µ ρ =π≡=π
97. Transferência de massa por convecção 5.7 Samuel Luporini/DEQ/UFBA Multiplicando π2 e π3 321 Grashofdeno AB2 A 3 AB A 3 AB 32 Gr gL D gLD ≡         ρν ρ∆ =         µ ρ∆       µ ρ =ππ Portanto sugere uma correlação da forma: Sh = f(GrAB, Sc) para convecção natural. ⇒ As correlações de dados experimentais pode ser feita em termos de 3 variáveis ao invés de 6 originais, tanto para convecção forçada como para natural. ⇒ Correlações => equações empíricas capitulo 30 do Welty, 7 deste apontamento. 5.4 ANÁLISE EXATA DA CAMADA LIMITE LAMINAR DA CONCENTRAÇÃO ⇒ Extensão da solução exata desenvolvida por Blasius para a camada limite hidrodinâmica. Figura – Camada limite de concentração para escoamento laminar em uma placa plana A equação da continuidade em coordenadas retangulares; componentes A, ρ e DAB = constantes. { { Ade produção enhuman 0 A )y,x(fc 0 2 A 2 2 A 2 y c 2 A 2 AB A 0 z A y A x ioestacionár estado 0 A R z c y c x c D z c y c x c t c A 2 A 2 = = = ∂ ∂ << = = +                     ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ =         ∂ ∂ ϑ+ ∂ ∂ ϑ+ ∂ ∂ ϑ+ ∂ ∂ 321321321 x y Extremidade da C.L. de concentração cA∞ cAs cA = cA(y)
98. Transferência de massa por convecção 5.8 Samuel Luporini/DEQ/UFBA logo, temos: 2 A 2 AB A y A x y c D y c x c ∂ ∂ = ∂ ∂ ϑ+ ∂ ∂ ϑ (13) Equação similar as equações desenvolvidas a partir das equações de momento e energia para a solução da camada limite hidrodinâmica e a camada limite térmica; portanto terá solução análoga as estes fenômenos de transporte, pois as condições de contorno são análogas. Condições de contorno: 1 D Sc ypara1 cc cc e;0ypara0 cc cc AB AsA AsA AsA AsA = ν = ∞== −∞ − == −∞ − AsA AsA s,x s,xxx cc cc 222f −∞ − = ϑ−ϑ ϑ−ϑ = ϑ ϑ =′ ∞∞ (14) e xRe x2 yx x2 y x2 y = ν ϑ = ν ϑ =η ∞∞ (15) ( ) ( ) ( )∞ϑν ψ =η x y,x f (16) ( )η′ ϑ = ∂ ψ∂ =ϑ ∞ f 2y x (17) ( )ff x2 1 x y −′η νϑ = ∂ ψ∂ =ϑ ∞ (18) Introduzindo as equações (14) a (18) na (13), obtemos: 0fff =′′+′′′ com as condições de contorno:
99. Transferência de massa por convecção 5.9 Samuel Luporini/DEQ/UFBA ∞=η=′ =η=′= /p2f 0/p0ff A solução análoga a transferência de momento sugere que: ( ) 328,1 Re x2 y d cc cc 2d 0f d fd 0y x AsA AsA =                   −∞ − =′′= η ′ = (19) A equação (19) pode ser rearranjada para obter uma expressão para o gradiente de concentração na interface: ( )       −∞= = xAsA 0y As Re x 332,0 cc dy dc (20) Eq. (20) ⇒ a taxa na qual a massa entra ou deixa a superfície da camada limite é tão pequena que não altera o perfil de velocidade predito pela solução de Blasius, onde ϑy não é envolvido. Se ⇒=ϑ = 0 0yy contribuição bulk para a 1ª lei de Fick na direção y é zero, logo: 0y A ABy,A y c DN = ∂ ∂ −= (21) Substituindo (21) em (20), temos: ( )∞−      = AAsxABy,A ccRe x 332,0 DN (22) O fluxo de massa do componente A se difundindo é definido como: ( )∞−= AAscy,A cckN (23) igualando as equações (22) e (23), temos:
100. Transferência de massa por convecção 5.10 Samuel Luporini/DEQ/UFBA xAB AB c Re332,0Nu D xk == (24) onde: Sc = 1 e a transferência de massa entre a placa plana e a camada limite é baixa. (19).equação0,332éinclinaçãoa yemee,velocidaddeperfilosobreefeitonenhumtemnãomassadenciatransferêdetaxa 0Re placa.aparafluidodopartiramassadenciatransferê0Re limite.camadadadentroparaplacadapartiramassadenciatransferê0Re 21 x ys 21 x ys 21 x ys    ⇒ = ⇒= ϑ ϑ ⇒< ϑ ϑ ⇒> ϑ ϑ ∞ ∞ ∞ ⇒ Em muitas operações físicas envolvendo transferência de massa 21 x ys Re ∞ϑ ϑ é desprezível, valendo a equação (24). ⇒ Vaporização de um material volátil dentro de uma corrente gasosa escoando a baixa pressão, a suposição de baixa transferência de massa não pode ser feita.
101. Transferência de massa por convecção 5.11 Samuel Luporini/DEQ/UFBA 31 c Sc= δ δ Solução de Pohlhausen δ = espessura da camada limite hidrodinâmica δc = espessura da camada limite da concentração. Para y = 0, temos: ( )       −∞= = 3 xAsA 0y As ScRe x 332,0 cc dy dc Conduzindo a: 3 xx AB c ScRe332,0Sh D xk == (25) Coeficiente de transferência de massa médio para uma placa plana (largura W e comprimento L) ∫ ∫∫ ∫ ∫ −∞ ∞       µ ρϑ = ⇒       µ ρϑ === L 0 21 21 31 ABc L 0 31 21 ABL 0 31 21 xAB L 0 L 0 c c dxxScD332,0Lk L dxSc x x D332,0 L dxSc x ReD332,0 dxW dxkW k Inclinação = 0,332 ϑys = 0 3121 x ys ScRe ∞ϑ ϑ ∞− − AAs AAs cc cc
102. Transferência de massa por convecção 5.12 Samuel Luporini/DEQ/UFBA Resolvendo e rearranjando, temos: 3121 LL AB c ScRe664,0Sh D Lk == (28) O numero de Sherwood local para uma distancia x, esta relacionado com o numero de Sherwood médio para uma placa plana pela relação: ShL = 2 Shx|x=L O parâmetro do limite da superfície, 0Re 21 x ys > ϑ ϑ ∞ , aumenta quando a inclinação da curva decresce (ver gráfico). Como a magnitude do coeficiente de transferência de massa esta relacionado com a inclinacao pela relação: 0y AAs AAs c dy cc cc d k = ∞       − − = , o decréscimo na inclinação => o sistema com valores elevados no limite da superfície terá um menor coeficiente de transferência de massa. Escoamento turbulento A mesma expressão encontrada para transferência de calor, na camada limite laminar térmica, é encontrada para a camada limite laminar para a concentração, utilizando a equação integral de von Kármán, onde o perfil de concentração é dado por: 71 ,AA ycc ξ+η=− ∞ obtendo: 54 xx Re0292,0Sh = para Sc = 1 e aplicando a solução de Pohlhausen, extende-se para: 3154 xx ScRe0292,0Sh = , para Rex > 3 x 105 (29)

O que significa transferência de massa?

A transferência de massa é o processo de transporte onde existe o movimento de uma ou mais espécies químicas em um dado meio, podendo esse ser sólido, líquido ou gasoso. O transporte das espécies químicas pode ser feito por dois mecanismos: difusão e/ou convecção.

O que causa a transferência de massa?

O fenômeno de transferência de massa é compreendido por meio do transporte de moléculas de uma região de alta concentração para uma região de baixa concentração, por meio do gradiente de concentração. Esse fenômeno pode ser visto na indústria, laboratório, na cozinha e por meio do corpo humano1.

Quais são os tipos de transferência de massa?

Quais os mecanismos de transferência de massa? Os dois principais mecanismos de transferência de massa são: difusão que ocorre nas moléculas e convecção que ocorre quando um corpo inteiro se move.

O que e transferência de massa e calor?

A transferência de calor é promovida pelos gradientes de temperatura. A transferência de massa num sistema ocorre de maneira análoga. O fluxo de massa ocorre no sentido das regiões de alta para os de baixa concentração. A este fenômeno denomina-se difusão molecular de massa.