O que você pode observar em relação a área dos retângulos que possuem perímetros iguais

Dentre todos os ret�ngulos que est�o inscritos em um c�rculo de raio r, determinar aquele que tem a �rea m�xima.

Solu��o: Constru�mos um ret�ngulo gen�rico com comprimento 2x e largura 2y. Assim, a �rea ser� A(x,y)=4xy. Acontece que o ponto (x,y) pertence � circunfer�ncia x�+y�=r� e podemos extrair o valor de y nesta rela��o e obter a fun��o n�o negativa:

A(x)=4x.R[r�-x�]

A primeira derivada desta fun��o nos d�

Dentre todos os ret�ngulos que est�o inscritos em um c�rculo de raio r, determinar aquele que tem o per�metro m�nimo.

Solu��o: A id�ia � construir um ret�ngulo gen�rico com comprimento 2x e largura 2y. Assim, o per�metro p(x,y)=2(x+y). O ponto (x,y) pertence � circunfer�ncia x�+y�=r� e podemos extrair o valor de y nesta rela��o para obter a fun��o n�o negativa

p(x) = 2x + 2R[r�-x�]

A primeira derivada desta fun��o nos d�

x=-r.R[2]/2 e x=r.R[2]/2 s�o pontos cr�ticos para p=p(x), mas somente o segundo ponto tem sentido, tendo em vista que a medida para x deve ser positiva e o valor m�nimo para o per�metro � p(r.R[2]/2)=2r.R[2].

Seja um tri�ngulo is�sceles com base 2B e altura H dadas. Quais s�o as dimens�es de um ret�ngulo de maior �rea poss�vel, tendo altura h e lado medindo 2r apoiado sobre a base do tri�ngulo e o outro lado paralelo, com os v�rtices localizados nos lados de mesma medida do tri�ngulo?

Solu��o: Devemos montar uma propor��o B/H=(B-r)/h, para obter A(r,h)=2rh, que pode ser escrita como A(r,h)=2r(B-r)H/B). Esta fun��o depende agora, apenas da vari�vel r e a sua derivada em rela��o a r, ser�:

A'(r)=2(R-2r)H/B)

O ponto cr�tico � r=B/2 e como A"(r)=-4H/B<0, segue que o ponto r=B/2 � um ponto de m�ximo para A=A(r).

Seja um cone circular reto de raio da base B e altura H. Quais s�o as dimens�es do cilindro circular reto de maior volume que pode ser inscrito nesse cone?

Solu��o: Devemos olhar a estrutura espacial de longe e observar que o cone � semelhante a um tri�ngulo is�sceles e que o cilindro � semelhante a um ret�ngulo e este problema espacial se converte em um problema no plano, exatamente igual ao anterior.

Dentre todos os tri�ngulos ret�ngulos com a mesma hipotenusa fixada 2a, qual � o que tem maior per�metro?

Dica: Considere um semi-c�rculo de di�metro 2a e trace um tri�ngulo ret�ngulo com a hipotenusa apoiada sobre o di�metro do semi-c�rculo. Devemos obter a posi��o do ponto (x,y) que pertence � circunfer�ncia de raio a, logo, x�+y�=a�, tal que os catetos sejam dados por b=R[(a+x)�+y�] e c=R[(a-x)�+y�]. A fun��o para o per�metro ser� dada por

p(x,y) = a + R[(a+x)�+y�] + R[(a-x)�+y�]

Dentre todos os tri�ngulos ret�ngulos com o mesmo per�metro 2p, qual � o que tem a �rea m�xima?

Dica: Tome x e y para os catetos e z=R[x�+y�] para a hipotenusa. O per�metro como 2p=x+y+z. Substituindo z=2p-x-y na primeira rela��o, obtemos uma rela��o que depende apenas de x e y. Como a �rea � dada por A=xy/2 e sabemos que:

ent�o, substituindo y nesta fun��o, teremos uma fun��o da vari�vel x:

Os pontos cr�ticos de A s�o x1=(2+R[2])p e x2=(2-R[2])p. Constate que x1 n�o serve mas que x2 � a resposta para a quest�o.

Dentre todos os tri�ngulos ret�ngulos com a mesmo �rea A, qual � o que tem o menor per�metro?

Dica: Considere as medidas x e y para os catetos, z=R[x�+y�] para a hipotenusa. A �rea ser� A=xy/2 e o per�metro p(x,y,z)=x+y+z. Obtenha o valor de y na primeira rela��o e substitua nas outras para obter a fun��o da vari�vel x:

p(x) = x +2A/x + R[x� +4A�/x�]

Dentre todos os tri�ngulos com a mesma base b e mesmo per�metro 2p, qual � o que tem a �rea m�xima?

Dica: Tome um tri�ngulo com a base b e identifique com x e y os outros lados. O per�metro ser� 2p=b+x+y e a �rea � dada pela f�rmula de Heron:

A(x,y) = R[p(p-b)(p-x)(p-y)

Extraia o valor de y, substitua nesta �ltima f�rmula, determine os pontos cr�ticos de A=A(x) e constate que o tri�ngulo deve ser is�sceles.

Dentre todos os tri�ngulos is�sceles cujos lados iguais medem b unidades, qual � o que tem a �rea m�xima?

Dica: A �rea de um tri�ngulo � A=(1/2)p.qsen(x), onde p e q s�o os lados adjacentes que formam um �ngulo x. Em nosso caso:

A(x)=� b� sin(x)

Qual � o trap�zio retangular de maior �rea que pode ser inscrito em um semi-c�rculo de raio r?

Dica: Constru�mos um segmento de reta com extremidades nos pontos (x,y) e (-x,y). Este segmento deve ser paralelo ao segmento contendo o di�metro do semi-c�rculo. Aqui, a �rea do trap�zio � dada por A(x,y)=(r+x)y. Como as extremidades do segmento pertencem � circunfer�ncia x�+y�=r�, basta obter o valor de y nesta rela��o e substituir na express�o da �rea para obter:

A(x) = (r+x) R[r�-x�]

Conclua que x=r/2 e que o segmento deve medir r unidades.

Quais s�o as dimens�es do tri�ngulo is�sceles de menor �rea que pode ser circunscrito a um c�rculo de raio r?

Dica: Tome um tri�ngulo is�sceles de base 2x, os lados que t�m a mesma medida identificados com a letra z e a altura do tri�ngulo com a letra y. A �rea ser� dada por A(x,y)=xy. Usar a semelhan�a de tri�ngulos para mostrar que z=ry/x e na sequ�ncia eleve todos os membros dessa raz�o ao quadrado para obter z�=r�y�/x�. Use esta �ltima rela��o para mostrar que existe uma rela��o apenas com x e y, dada por:

Substitua o valor de y na fun��o de �rea e mostre que o valor procurado � x=r R[3].

Tamb�m podemos mostrar que o ponto de m�nimo para a �rea, coincide com o ponto de m�nimo para o quadrado da �rea, isto �, basta mostrar que a fun��o A�=A�(x) tem um m�nimo no mesmo ponto citado antes.

Dentre todos os paralelep�pedos retangulares cuja soma das arestas � igual a S, qual deles � o que tem maior volume? Dica: Lembre-se que V=xyz e S=4(x+y+z).

Dentre todos os paralelep�pedos retangulares que t�m a mesma �rea total A, qual � o que tem maior volume?. Dica: A=2(xy+xz+yz), V=xyz

Dentre todos os paralelep�pedos retangulares que t�m o mesmo volume V, qual � o que tem menor �rea? Dica: A=2(xy+xz+yz), V=xyz

Qual � o paralelep�pedo retangular de maior volume que pode ser inscrito em uma esfera de raio dado r?

Dica: Construa um paralelep�pedo retangular com medidas 2x, 2y e 2z. Mostre que x�+y�+z�=4r� e use o fato que V=8xyz. Eleve ao cubo a fun��o V para obter L(x,y,z)=512x� y�z�. Substitua x�=u, y�=v e z�=w e voc� ter� que obter o m�ximo de L(u,v,w)=512uvw sujeito a u+v+w=4r�. Dessa forma, voc� poder� usar a desigualdade das m�dias.

Qual � o cone circular reto de maior volume que pode ser inscrito em uma esfera de raio a?

Dica: Construa geometricamente um cone de altura h e raio da base r. Mostre que (h-R)�+r�=a�. A seguir, use V=(1/3).pi.r�h e extraia o valor de r na primeira rela��o, substitua na fun��o para obter

V(h) = (2a h�-h�)/3

Mostre que o raio procurado � r=2a/3 R[2].

Qual � o cilindro circular reto de maior �rea lateral que pode ser inscrito em uma esfera de raio a?

Dica: Construa um cilindro de raio r e altura 2h inscrito na esfera. A �rea lateral ser� dada por A=4.pi.rh. Obtenha a rela��o r�+h�=a�. Trabalhe um pouco para obter a fun��o

A(h) = 4 pi h R[a�-h�]

Qual � o cilindro circular reto de maior �rea total que pode ser inscrito em uma esfera de raio a?

Dica: Construa um cilindro de raio r e altura 2h inscrito na esfera. A �rea total ser� dada por A=2.pi.r(r+2h). Obtenha a rela��o r�+h�=a�. Trabalhe um pouco para obter uma fun��o da vari�vel h.

Qual � cone circular reto de menor volume que pode circunscrever uma esfera de raio r?

Dica: Construir a esfera de raio r e um cone com altura h+r, tome z como a geratriz e a o raio da base do cone. Use a semelhan�a de tri�ngulos, para mostrar que R/z=r/h-r e z�=a�+h�. O volume do cone � dado por V=(1/3).pi.a�h

Qual � o ret�ngulo de maior �rea que pode ser inscrito em um quadrado cujo lado mede a unidades?

Dica: Construa um ret�ngulo inscrito em um quadrado, de acordo com a figura, em anexo. Ao inv�s de obter o m�ximo da �rea A(z,w)=z.w, calcule o m�ximo do quadrado da �rea, pois � mais eficiente e pr�tico. A fun��o ser�:

f(x,y) = [(a-x)� + y�].[x� + (a-y)�]

Por semelhan�a de tri�ngulos, obtemos (a-y)/x=(a-x)/y e esta rela��o identifica que y=a ou que y=x. Se y=a, temos o pr�prio quadrado original que � o quadrado de maior �rea que existe dentro dele pr�prio.

Qual � o ret�ngulo de menor �rea que pode ser inscrito em um quadrado cujo lado mede a unidades?

Dica: Seguimos a mesma an�lise que o exerc�cio anterior, mas consideramos y=x, que nos garante que

f(x) = x�+(a-x)�

Esta fun��o possui ponto de m�nimo em x=a/2.

Qual � o tri�ngulo is�sceles de maior �rea que pode ser inscrito em um c�rculo de raio r unidades?

Dica: Inscrevemos um tri�ngulo is�sceles de altura h e base 2b. Assim, b�=2rh-h�. Ao inv�s de obter o m�ximo da �rea, dada aqui por A=b.h, obteremos o m�ximo do quadrado da �rea, para obter uma fun��o de apenas uma vari�vel:

f(h) = b� h� = (2rh-h�)h�

A altura desejada para o m�ximo � h=3r/2.

Dentre todos os tri�ngulos ret�ngulos com o mesmo per�metro p, qual � o que tem a menor hipotenusa?

Dica: Se a hipotenusa � z e os catetos x e y, ent�o z�=x�+y� e x+y+z=p. � facil ver que

O ponto de m�nimo � x=(1-R[2]/2)p.

Dentre todos os tri�ngulos ret�ngulos cuja hipotenusa mede a, qual � o que tem a �rea m�xima?

Dica: Se a hipotenusa � a e os catetos x e y, ent�o a�=x�+y�. A �rea � dada por A(x,y)=xy/2. Calcularemos o m�ximo para o quadrado da �rea, que �:

f(x,y) = (1/4)x� y�

ou seja

f(x) = (1/4)x�(a�-x�)

O ponto de m�ximo � x=a R[2]/2.

Se a>0 e b>0, qual � o ret�ngulo de �rea m�xima que pode ser inscrito na regi�o envolvida pela curva el�ptica (x/a)�+(y/b)�=1?

Dica: Construir uma elipse can�nica e procurar o par ordenado (x,y) que pertence a esta curva. A �rea ser� A(x,y)=4xy. � bastante pr�tico obter o m�ximo para o quadrado da �rea, que neste caso, ser� dado por:

O m�ximo no primeiro quadrante est� em x=aR[2]/2.

Qual � o ret�ngulo de maior �rea que pode ser inscrito na regi�o limitada pelos gr�ficos das quatro fun��es exponenciais: y=ex, y=e-x, y=-ex e y=-e-x. Dica: x=1 � o ponto de m�ximo.

Qual � o ret�ngulo de �rea m�xima que pode ser constru�do, tendo os v�rtices na regi�o limitada pelas curvas y=x(a�-x�) e y=x(x�-a�). Dica: O m�ximo no 1o. quadrante est� em x=aR[2]/2.