Os vértices do triângulo representado no plano cartesiano abaixo são

Matemática O triângulo é uma figura geométrica muito importante, bastante utilizado na construção civil. No estudo analítico dos triângulos, quando conhecemos as coordenadas dos seus vértices, conseguimos determinar qual é o tipo de triângulo, qual a sua área e quais as coordenadas de seu baricentro. Faremos o estudo de como obter as coordenadas do baricentro do triângulo. Antes, precisamos definir o que é baricentro.Considere o triângulo de vértices A, B e C abaixo. Os pontos M, N e P são os pontos médios dos lados AB, BC e AC, respectivamente. Os segmentos de reta MC, AN e PB são as medianas do triângulo. Denominamos baricentro (G) de um triângulo o ponto de encontro das medianas.

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Agora vamos considerar um triângulo no plano cartesiano de vértices A(xA, yA), B(xB, yB) e C(xC, yC) e baricentro G(xG, yG).

As coordenadas do baricentro do triângulo ABC serão dadas por:

- Baricentro

- Baricentro

- Área Do Triângulo

- Demonstração Da Fórmula Para As Coordenadas Do Baricentro De Um Triângulo

Conhecemos como baricentro do triângulo o centro de gravidade do triângulo. O baricentro é um dos pontos notáveis do triângulo, o ponto de encontro quando traçamos as suas três medianas. Ao traçar a mediana de cada um dos vértices do triângulo, o baricentro é o ponto de encontro das três medianas.

Quando conhecemos as coordenadas de cada um dos vértices de um triângulo representado no plano cartesiano, para calcular o seu baricentro, basta calcular a média aritmética dos valores de x e dos valores de y.

Leia também: Quais são as propriedades do triângulo equilátero?

Resumo sobre baricentro de um triângulo

• O baricentro de um triângulo é o ponto de encontro das três medianas do triângulo.

• O baricentro é conhecido também como centro de gravidade do triângulo.

• O baricentro divide qualquer uma das medianas na razão 1 para 2.

• Para calcular a posição do baricentro de um triângulo no plano cartesiano, utilizamos a fórmula:

No estudo dos triângulos, existem os pontos conhecidos como notáveis, os pontos específicos de um triângulo, são eles:

• o baricentro

• o incentro

• o circuncentro

• o ortocentro

Cada um possui propriedades específicas e é encontrado de maneira diferente. O baricentro, em específico, é o ponto de encontro das medianas do triângulo. Todo triângulo possui três medianas, e mediana é o segmento que liga o vértice ao ponto médio do lado oposto, como na imagem a seguir:

Quando traçamos as três medianas do triângulo simultaneamente, é possível encontrar o ponto de encontro delas, denotado por G, o baricentro do triângulo:

Propriedades do baricentro

Dada qualquer uma das medianas do triângulo, o baricentro divide-a em dois novos segmentos cujos comprimentos estão em razão 1 para 2.

Em todo triângulo, o baricentro é um ponto interno.

Como as medianas são segmentos que ligam de forma interna o vértice ao ponto médio do lado oposto, ou seja, são sempre segmentos internos do triângulo, consequentemente, o baricentro é um ponto interno do triângulo.

Passo a passo de como se calcula o baricentro

No estudo da geometria analítica, quando representamos o triângulo ABC, no plano cartesiano, em que os vértices possuem coordenadas A(xA, yA), B(xB, yB) e C(xC, yC) e o seu baricentro, G(xG, yG), para calcular as coordenadas do baricentro, basta fazer a média aritmética entre os valores de x para os vértices A, B e C e os valores de y para os mesmos vértices.

Exemplo:

Um triângulo foi representado no plano cartesiano, sendo que os seus vértices são os pontos A (-1, -2), B (3, 5) e C (4, -3), calcule a coordenada do baricentro desse triângulo.

Para encontrar o baricentro desse triângulo, vamos calcular a soma das abscissas dos pontos A, B e C e dividir por três:

Faremos o mesmo processo com os valores da ordenada:

Então, o par ordenado que representa a localização do baricentro desse triângulo é o ponto G(2, 0).

Veja também: Como podemos classificar um triângulo?

Exercícios resolvidos sobre o baricentro de um triângulo

Questão 1 - (Seduc – CE) O baricentro de uma área plana é o ponto no qual está localizado o centro de gravidade da área considerada. Na matemática, define-se o baricentro de uma área limitada por um triângulo como sendo o ponto de interseção das medianas do triângulo. Se no plano cartesiano os pontos (1, 6) e (3, 2) são vértices de um triângulo cujo baricentro é o ponto (5/3, 3), então, o terceiro vértice desse triângulo é o ponto:

A) (2/3, 1)

B) (1, 1)

C) (1, 4/3)

D) (2/3, 4/3)

E (1, 2/3)

Resolução

Alternativa B

Nomeando os vértices do triângulo de A, B e C, seja A(1,6) e B (3,2), como não conhecemos as coordenadas do terceiro vértice, faremos sua representação por C(x,y).

Sabemos que o baricentro é o ponto (5/3, 3). Substituindo na fórmula os valores dos pontos A, B e do baricentro, temos que:

Agora, encontraremos o valor de y:

Então, as coordenadas do ponto C são (1, 1).

Questão 2 - As coordenadas do baricentro do triângulo a seguir são:

A) (3, 2)

B) (2, 3)

C) (-2, 3)

D) (6, 4)

E) (-4, -6)

Resolução

Alternativa B

Identificando as coordenadas de cada um dos pontos, temos que A(-1, 3), B(1, 2) e C(6, 4).

Agora, calcularemos o baricentro:

As coordenadas do ponto G são (2, 3).

O baricentro é um dos pontos notáveis do triângulo, que, por sua vez, é um dos mais simples polígonos conhecidos. Essa figura geométrica é vastamente estudada, e um dos pontos que merecem atenção é o conceito de baricentro.

Conhecemos como baricentro o centro de gravidade do triângulo. Para encontrá-lo, é necessário determinar as suas três medianas, bem como o ponto de encontro entre elas. Quando o triângulo está representado no plano cartesiano, para encontrar o baricentro, basta calcular a média aritmética entre os valores de x e de y para encontrar o par ordenado do baricentro.

Leia também: Como os triângulos são classificados?

O que é o baricentro?

O triângulo possui pontos importantes, conhecidos como pontos notáveis, e o baricentro é um deles, junto com o circuncentro, o incentro e o ortocentro. O baricentro é o centro de gravidade do triângulo e é representado pela letra G. Ele está localizado no encontro das medianas do triângulo.

A mediana de um triângulo é um segmento que parte de um vértice e vai até o ponto médio do lado oposto a esse vértice. Em um triângulo qualquer, é possível traçar as três medianas, cada uma delas partindo de um dos vértices.

Quando traçamos simultaneamente as três medianas, as três se encontram em um único ponto. Esse ponto, representado por G, é o baricentro.

Propriedades do baricentro

• Propriedade 1: o baricentro é sempre um ponto interno do triângulo.

Como a mediana é sempre um segmento interno do triângulo, consequentemente o baricentro também é, independentemente da sua forma.

• Propriedade 2: o baricentro divide a mediana em duas partes cuja razão é 1:2.

Analisando o triângulo representado anteriormente, temos que:

Quando representado no plano cartesiano, é possível encontrar as coordenadas do baricentro do triângulo. Para isso, vamos calcular a média aritmética dos valores de x e também dos valores de y.

Note que os vértices são A (xA, yA), B(xB, yB) e C (xC, yC), então, para encontrar as coordenadas do baricentro G (xG, yG), utilizamos a fórmula:

Veja também: Trigonometria em um triângulo qualquer

Exercícios resolvidos

Questão 1 – Podemos afirmar que o baricentro do triângulo cujos vértices são os pontos A(2,1), B (- 3, 5) e C (4,3) é o ponto:     

A) G (1,3).

B) G (3,1).

C) G (3,3).

D) G (-2,-1).

E) G ( -1,3).

Resolução

Alternativa A. Para encontrar as coordenadas do baricentro do triângulo, vamos calcular a média aritmética entre os valores de x nos pontos A, B e C e entre os valores de y nos mesmos pontos.

Sendo assim, o baricentro é o ponto G (1,3).

Questão 2 – Em uma cidade, serão instaladas três torres de telefonia para resolver o problema com a falha na rede e no sinal para os celulares. Acontece que as posições dessas torres foram planejadas de modo que o centro da cidade coincida com o baricentro do triângulo com vértices em A, B e C, que são as localizações das torres. Para escolher a posição das torres, definiu-se a prefeitura como a origem do eixo, e o centro da cidade se localiza no ponto (1,-1). Certificaram-se que as localizações dos pontos A e B seriam A(12, -6), B(-4,-10). Sendo assim, qual deve ser a localização do ponto C?

A) (3,8) B) (8,-13) C) (3,8) D) (-5, 13)

E) (-5, 8)

Resolução

Alternativa D. Sabemos que G é a localização do centro da cidade, que é o ponto de coordenadas (1,-1).

Quais são os vértices do triângulo representado no plano cartesiano abaixo?

Quais são os vértices de um triângulo?

Qual é o único quadrante em que não há nenhum ponto marcado?