Quais são as características de um quadrado em relação as medidas dos lados e dos ângulos?

Índice

Introdução

Um quadrado é um paralelogramo que possui todos os lados congruentes entre si e também todos os ângulos internos com a mesma medida.

Como a soma dos ângulos internos de um quadrilátero convexo vale 360º, se chamarmos de \( x\) a medida dos ângulos internos de um quadrado,veremos que:

$$ x+x+x+x=360º\Rightarrow 4x=360º$$

ou seja,

$$ x=90º$$

De onde concluímos que cada ângulo interno de um quadrado é um ângulo reto.

Elementos de um quadrado

Considerando o quadrado abaixo, observamos que

os seus vértices são os pontos \( A, B, C\) e \( D\). Os seus lados, que são os segmentos de reta unindo dois vértices consecutivos, são \( \bar{AB},\bar{BC},\bar{CD}\) e \( \bar{DA}\).

As diagonais do quadrado são os segmentos de reta com extremidades em dois vértices não consecutivos, ou seja, \( \bar{AC}\) e \( \bar{BD}\).

E os ângulos internos do quadrado são \( A\hat{B}C,B\hat{C}D,C\hat{D}A\) e \( D\hat{A}B\) com cada um medindo 90º.

Propriedades do quadrado

Perímetro de um quadrado

O perímetro de uma figura plana é a soma das medidas de todos os seus lados; assim, indicando por \(2p\), o perímetro de um quadrado \(ABCD\) de lado \(\ell\) será

$$2p=AB+BC+CD+AD=\ell+\ell+\ell+\ell\Rightarrow2p=4\ell$$

Por exemplo, se um quadrado tiver lado medindo 8 cm, então seu perímetro será

$$2p=4\cdot8\Rightarrow2p=32cm$$

Diagonais de um quadrado

As diagonais de um quadrado se cortam em seus respectivos pontos médio, ou seja, se \( \bar{AC}\) e \( \bar{BD}\) forem as diagonais do quadrado \( ABCD\) abaixo, então

$$ AM=MC$$

e

$$ BM=MD$$

onde \( M\) é o ponto médio das diagonais.

Note que, quando traçamos as duas diagonais, formamos quatro triângulos. Tais triângulos são congruentes entre si.

Além disso, as diagonais de um quadrado são perpendiculares entre si, ou seja, formam um ângulo de 90º em seu ponto de interseção.

E também, as diagonais de um quadrado coincidem com as bissetrizes dos ângulos internos, isto é, dividem cada ângulo interno pela metade. Como cada ângulo interno de um quadrado vale 90º, então ao traçarmos as diagonais, obtemos ângulos que medem 45º.

Observe ainda que se \( d\) for a medida da diagonal do quadrado de lado \( \ell\), então pelo Teorema de Pitágoras no triângulo \( BCD\) temos que

$$ d=\ell\sqrt{2}$$

Deste modo, caso tenhamos, por exemplo, um quadrado cuja medida do lado vale 10 cm, então a sua diagonal será igual a \(d=10\sqrt{2}\) cm.

Área de um quadrado

Como um quadrado tem todos os lados iguais entre si, então consideremos um quadrado \( ABCD\) com lado medindo \( \ell\).

A área de um quadrado é igual ao quadrado da medida de seus lados, ou seja

$$ A=\ell^{2}$$

Sendo assim, a área de um quadrado, por exemplo, de lado medindo 3cm será igual a

$$A=3^{2}=9cm^{2}$$

Fórmulas