Qual a relação entre a carga armazenada num capacitor é a voltagem aplicada a ele?

Questão 4

Pode-se dizer que a maior utilidade dos capacitores é de

a) serem capazes de armazenar enormes quantidades de carga, independentemente de sua capacitância.

b) serem carregados quase instantaneamente e descarregarem de forma lenta.

c) serem capazes de descarregar lentamente, liberando baixas intensidades de corrente elétrica.

d) serem capazes de armazenar cargas elétricas devido à aplicação de uma diferença de potencial, de acordo com sua capacitância.

e) funcionarem como geradores que emitem correntes elétricas constantes, durante grandes intervalos de tempo.

Respostas

Resposta Questão 1

A energia potencial elétrica entre as placas do capacitor pode ser escrita em função da quantidade de carga armazenada e da sua capacitância:

Por meio dos dados informados pelo enunciado do exercício temos que:

Dessa forma:

Portanto, a capacitância desse dispositivo é de 2 mF. Letra C.

Resposta Questão 2

A equação abaixo permite relacionar a capacitância com a quantidade de cargas armazenadas entre as placas do capacitor e a diferença de potencial entre os seus terminais:

Dessa forma, de acordo com os dados fornecidos pelo enunciado do exercício, temos que:

Letra B.

Resposta Questão 3

A energia necessária para recarregar o capacitor é a energia potencial elétrica total que ele é capaz de armazenar. Ela pode ser calculada por meio da área abaixo da curva nos gráficos de V x Q, que nesse caso trata-se de um triângulo, dessa forma, sua área é dada por:

Portanto, tomando os dados informados pelo enunciado do exercício, temos que:

Logo, a quantidade de energia necessária para carregar completamente esse capacitor é igual a 2,5 J. Letra A.

Resposta Questão 4

Letra D.

Vamos analisar as alternativas:

a) Falso – A quantidade de cargas armazenadas entre as placas de um capacitor é diretamente proporcional à sua capacitância.

b) Falso – Pelo contrário, a descarga dos capacitores é bastante rápida, diferentemente do tempo necessário para carregá-lo, que pode variar de acordo com as especificações de cada capacitor.

c) Falso – Quando descarregados, os capacitores liberam a carga elétrica armazenada em seu interior muito rapidamente, produzindo grandes correntes elétricas.

d) Verdadeiro – A capacitância é a grandeza física que mede a quantidade de cargas que um capacitor é capaz de armazenar para uma dada diferença de potencial.

e) Falso – Os geradores são capazes de produzir correntes elétricas constantes, durante longos intervalos de tempo, diferentemente dos capacitores, que descarregam quase toda sua carga elétrica em intervalos de tempo bastante pequenos.

Jupyter Notebook desenvolvido por Gustavo S.S.

"Na ciência, o crédito vai para o homem que convence o mundo, não para o que primeiro teve a ideia" - Francis Darwin

Capacitores e Indutores

Contrastando com um resistor, que gasta ou dissipa energia de forma irreversível, um indutor ou um capacitor armazena ou libera energia (isto é, eles têm capacidade de memória).

Capacitor

Capacitor é um elemento passivo projetado para armazenar energia em seu campo elétrico. Um capacitor é formado por duas placas condutoras separadas por um isolante (ou dielétrico).

Quando uma fonte de tensão v é conectada ao capacitor, como na Figura 6.2, a fonte deposita uma carga positiva q sobre uma placa e uma carga negativa –q na outra placa. Diz-se que o capacitor armazena a carga elétrica. A quantidade de carga armazenada, representada por q, é diretamente proporcional à tensão aplicada v de modo que:

\begin{align} {\Large q = Cv} \end{align}

Capacitância é a razão entre a carga depositada em uma placa de um capacitor e a diferença de potencial entre as duas placas, medidas em farads (F). Embora a capacitância C de um capacitor seja a razão entre a carga q por placa e a tensão aplicada v, ela não depende de q ou v, mas, sim, das dimensões físicas do capacitor

\begin{align} {\Large C = \epsilon \frac{A}{d}} \end{align}

Onde A é a área de cada placa, d é a distância entre as placas e ε é a permissividade elétrica do material dielétrico entre as placas

Para obter a relação corrente-tensão do capacitor, utilizamos:

\begin{align} {\Large i = C \frac{dv}{dt}} \end{align}

Diz-se que os capacitores que realizam a Equação acima são lineares. Para um capacitor não linear, o gráfico da relação corrente-tensão não é uma linha reta. E embora alguns capacitores sejam não lineares, a maioria é linear.

Relação Tensão-Corrente:

\begin{align} {\Large v(t) = \frac{1}{C} \int_{t_0}^{t} i(\tau)d\tau + v(t_0)} \end{align}

A Potência Instantânea liberada para o capacitor é:

\begin{align} {\Large p = vi = Cv \frac{dv}{dt}} \end{align}

A energia armazenada no capacitor é:

\begin{align} {\Large w = \int_{-\infty}^{t} p(\tau)d\tau} \\= \\{\Large C \int_{-\infty}^{t} v \frac{dv}{d\tau}d\tau} \\= \\{\Large C \int_{v(-\infty)}^{v(t)} vdv} \\= \\{\Large \frac{1}{2} Cv^2} \end{align}

Percebemos que v(-∞) = 0, pois o capacitor foi descarregado em t = -∞. Logo:

\begin{align} {\Large w = \frac{1}{2} Cv^2} \\ \\{\Large w = \frac{q^2}{2C}} \end{align}

As quais representam a energia armazenada no campo elétrico existente entre as placas do capacitor. Essa energia pode ser recuperada, já que um capacitor ideal não pode dissipar energia. De fato, a palavra capacitor deriva da capacidade de esse elemento armazenar energia em um campo elétrico.

1. Um capacitor é um circuito aberto em CC.

2. A tensão em um capacitor não pode mudar abruptamente.

3. O capacitor ideal não dissipa energia, mas absorve potência do circuito ao armazenar energia em seu campo e retorna energia armazenada previamente ao liberar potência para o circuito.

4. Um capacitor real, não ideal, possui uma resistência de fuga em paralelo conforme pode ser observado no modelo visto na Figura 6.8. A resistência de fuga pode chegar a valores bem elevados como 100 MΩ e pode ser desprezada para a maioria das aplicações práticas.

In [7]:
print("Exemplo 6.1")

C = 3*(10**(-12))
V = 20
q = C*V

print("Carga armazenada:",q,"C")

w = q**2/(2*C)

print("Energia armazenada:",w,"J")

Exemplo 6.1
Carga armazenada: 6e-11 C
Energia armazenada: 6e-10 J

In [9]:
print("Problema Prático 6.1")

C = 4.5*10**-6
q = 0.12*10**-3
V = q/C

print("Tensão no capacitor:",V,"V")

w = q**2/(2*C)

print("Energia armazenada:",w,"J")

Problema Prático 6.1
Tensão no capacitor: 26.666666666666668 V
Energia armazenada: 0.0015999999999999999 J

In [16]:




print("Exemplo 6.2")

import numpy as np
from sympy import *

C = 5*10**-6
t = symbols('t')
v = 10*cos(6000*t)
i = C*diff(v,t)

print("Corrente que passa no capacitor:",i,"A")

Exemplo 6.2
Corrente que passa no capacitor: -0.3*sin(6000*t) A

In [15]:
print("Problema Prático 6.2")

C = 10*10**-6
v = 75*sin(2000*t)
i = C * diff(v,t)

print("Corrente:",i,"A")

Problema Prático 6.2
Corrente: 1.5*cos(2000*t) A

In [23]:
print("Exemplo 6.3")

C = 2*10**-6

i = 6*exp(-3000*t)*10**-3
v = integrate(i,(t,0,t))
v = v/C

print("Tensão no capacitor:",v,"V")

Exemplo 6.3
Tensão no capacitor: 1.0 - 1.0*exp(-3000*t) V

In [26]:
print("Problema Prático 6.3")

C = 100*10**-6
i = 50*sin(120*np.pi*t)*10**-3

v = integrate(i,(t,0,0.001))
v = v/C

print("Tensão no capacitor para t = 1ms:",v,"V")

v = integrate(i,(t,0,0.005))
v = v/C

print("Tensão no capacitor para t = 5ms:",v,"V")

Problema Prático 6.3
Tensão no capacitor para t = 1ms: 0.0931368282680687 V
Tensão no capacitor para t = 5ms: 1.73613771038391 V

In [27]:
print("Exemplo 6.4")

#v(t) = 50t, 0<t<1
#v(t) = 100 - 50t, 1<t<3
#v(t) = -200 + 50t, 3<t<4
#v(t) = 0, caso contrario

C = 200*10**-6

v1 = 50*t
v2 = 100 - 50*t
v3 = -200 + 50*t

i1 = C*diff(v1,t)
i2 = C*diff(v2,t)
i3 = C*diff(v3,t)

print("Corrente para 0<t<1:",i1,"A")
print("Corrente para 1<t<3:",i2,"A")
print("Corrente para 3<t<4:",i3,"A")

Exemplo 6.4
Corrente para 0<t<1: 0.0100000000000000 A
Corrente para 1<t<3: -0.0100000000000000 A
Corrente para 3<t<4: 0.0100000000000000 A

In [42]:
print("Problema Prático 6.4")

C = 1*10**-3

i = 50*t*10**-3
v = integrate(i,(t,0,0.002))
v = v/C

print("Tensão para t=2ms:",v,"V")

i = 100*10**-3
v = integrate(i,(t,0,0.005))
v = v/C

print("Tensão para t=5ms:",v,"V")

Problema Prático 6.4
Tensão para t=2ms: 0.000100000000000000 V
Tensão para t=5ms: 0.500000000000000 V

In [46]:
print("Exemplo 6.5")

C1 = 2*10**-3
C2 = 4*10**-3

I1 = (6*10**-3)*(3000)/(3000 + 2000 + 4000) #corrente que passa no resistor de 2k
Vc1 = I1*2000 # tensao sobre o cap1 = tensao sobre o resistor 2k
wc1 = (C1*Vc1**2)/2

print("Energia do Capacitor 1:",wc1,"J")

Vc2 = I1*4000
wc2 = (C2*Vc2**2)/2

print("Energia do Capacitor 2:",wc2,"J")

Exemplo 6.5
Energia do Capacitor 1: 0.016 J
Energia do Capacitor 2: 0.128 J

In [47]:
print("Problema Prático 6.5")

C1 = 20*10**-6
C2 = 30*10**-6
Vf = 50 #tensao da fonte
Req = 1000 + 3000 + 6000

Vc1 = Vf*(3000+6000)/Req
Vc2 = Vf*3000/Req

wc1 = (C1*Vc1**2)/2
wc2 = (C2*Vc2**2)/2

print("Energia no Capacitor 1:",wc1,"J")
print("Energia no Capacitor 2:",wc2,"J")

Problema Prático 6.5
Energia no Capacitor 1: 0.020249999999999997 J
Energia no Capacitor 2: 0.0033749999999999995 J

In [48]:
print("Exemplo 6.6")

u = 10**-6 #definicao de micro
Ceq1 = (20*u*5*u)/((20 + 5)*u)
Ceq2 = Ceq1 + 6*u + 20*u
Ceq3 = (Ceq2*60*u)/(Ceq2 + 60*u)

print("Capacitância Equivalente:",Ceq3,"F")

Exemplo 6.6
Capacitância Equivalente: 1.9999999999999998e-05 F

In [49]:
print("Problema Prático 6.6")

Ceq1 = (60*u*120*u)/((60 + 120)*u)
Ceq2 = 20*u + Ceq1
Ceq3 = 50*u + 70*u
Ceq4 = (Ceq2 * Ceq3)/(Ceq2 + Ceq3)

print("Capacitância Equivalente:",Ceq4,"F")

Problema Prático 6.6
Capacitância Equivalente: 3.9999999999999996e-05 F

In [53]:
print("Exemplo 6.7")

m = 10**-3
Vf = 30

Ceq1 = 40*m + 20*m
Ceq2 = 1/(1/(20*m) + 1/(30*m) + 1/(Ceq1))

print("Capacitância Equivalente:",Ceq2,"F")

q = Ceq2*Vf

v1 = q/(20*m)
v2 = q/(30*m)
v3 = Vf - v1 - v2

print("Tensão v1:",v1,"V")
print("Tensão v2:",v2,"V")
print("Tensão v3:",v3,"V")

Exemplo 6.7
Capacitância Equivalente: 0.009999999999999998 F
Tensão v1: 14.999999999999996 V
Tensão v2: 9.999999999999998 V
Tensão v3: 5.000000000000005 V

In [61]:
print("Problema Prático 6.7")

Vf = 90

Ceq1 = (30*u * 60*u)/(30*u + 60*u)
Ceq2 = Ceq1 + 20*u
Ceq3 = (40*u * Ceq2)/(40*u + Ceq2)

print("Capacitância Equivalente:",Ceq3,"F")

q1 = Ceq3*Vf

v1 = q1/(40*u)
v2 = Vf - v1

q3 = Ceq1*v2

v3 = q3/(60*u)
v4 = q3/(30*u)

print("Tensão v1:",v1,"V")
print("Tensão v2:",v2,"V")
print("Tensão v3:",v3,"V")
print("Tensão v4:",v4,"V")

Problema Prático 6.7
Capacitância Equivalente: 1.9999999999999998e-05 F
Tensão v1: 45.0 V
Tensão v2: 45.0 V
Tensão v3: 15.000000000000002 V
Tensão v4: 30.000000000000004 V

Qual a relação entre a carga armazenada no capacitor é a voltagem aplicada a ele?

Como ocorre o armazenamento de energia em um capacitor?

Como calcular a carga armazenada em cada capacitor?

Como um capacitor armazena carga?