Qual é a probabilidade de em um lançamento de dois dados honestos de obter 6 como resultado da soma das faces voltadas para cima?

Física, 15.08.2019 00:10

Você é o engenheiro que fará o levantamento de ferragem e quantidade de concreto de um projeto estrutural. deste modo, calcule a quantidade de ferragem, em metros, de cada bitola de aço, separando a armadura longitudinal da armadura transversal. ao final, considerando o peso específico do aço do vergalhão como 7850 kg/m³, calcule a massa total da ferragem. calcule também o volume de concreto, sem considerar perda, para a viga abaixo.

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amostral? 
4.   Considerando o experimento: fazer dois lançamentos consecutivos de um dado comum e honesto e anotar a face que 
ficará voltada para cima em cada lançamento, determinar: 
  a. o espaço amostral S; 
                                                                  
3 O evento elementar não pode ser particionado nem dividido. 
TMA  ሾBASICÃO DE PROBABILIDADESሿ
 
4 Bertolo 
 
  b. o evento A ൌ a soma dos resultados é 5; 
  c. o evento B ൌ os resultados são iguais; 
  d. o evento C ൌ o produto dos resultados é ímpar. 
5.  Considerando o  experimento:  fazer  um  lançamento  de dois  dados  comuns,  honestos  e  indistinguíveis  e  anotar  as 
faces que ficarão voltadas para cima, determinar: 
  a. o espaço amostral S; 
  b. o evento A ൌ a soma dos resultados é 5; 
  c. o evento B ൌ os resultados são iguais; 
  d. o evento C ൌ o produto dos resultados é ímpar. 
 
5. PROBABILIDADE 
  Dado um experimento aleatório, sendo S o seu espaço amostral, vamos admitir que todos os elementos de S 
tenham a mesma chance de acontecer, ou seja, que S é um conjunto equiprovável. 
Chamamos de probabilidade de um evento A ሺA ⊂ Sሻ o número real PሺAሻ, tal que: 
ܲሺܣሻ ൌ  
݊ሺܣሻ
݊ሺܵሻ
 
Onde: 
   nሺAሻ é o número de elementos de A; 
nሺBሻ é o número de elementos de S. 
 
EXEMPLOS 
a. Considerando o lançamento de uma moeda e o evento A “obter cara”, temos: 
S ൌ ሼCa,Coሽ ⇒ nሺSሻ ൌ 2 
A ൌ ሼCaሽ ⇒ nሺAሻ ൌ 1 
Logo:        ܲሺܣሻ ൌ   ଵ
ଶ
 
O  resultado  acima  nos  permite  afirmar  que,  ao  lançarmos  uma  moeda  equilibrada,  temos  50%  de  chance  de  que 
apareça cara na face superior. 
b. Considerando o lançamento de um dado, vamos calcular: 
  ‐ a probabilidade do evento A “obter um número par na face superior”. 
    Temos: 
    S ൌ ሼ1, 2, 3, 4, 5, 6ሽ ⇒ nሺSሻ ൌ 6 
    A ൌ ሼ2, 4, 6ሽ⇒ nሺAሻ ൌ 3               Logo:   ܲሺܣሻ ൌ   ଷ
଺
ൌ ଵ
ଶ
 
‐ a probabilidade do evento B “obter um número menor ou igual a 6 na face superior”. 
    Temos: 
    S ൌ ሼ1, 2, 3, 4, 5, 6ሽ ⇒ nሺSሻ ൌ 6 
    B ൌ ሼ1, 2, 3, 4, 5, 6ሽ⇒ nሺBሻ ൌ 6    Logo:   ܲሺܣሻ ൌ   ଺
଺
ൌ 1 
‐ a probabilidade do evento C “obter o número 4 na face superior”. 
    Temos: 
    S ൌ ሼ1, 2, 3, 4, 5, 6ሽ ⇒ nሺSሻ ൌ 6 
    C ൌ ሼ 4 ሽ⇒ nሺCሻ ൌ 1    Logo:   ܲሺܣሻ ൌ   ଵ
଺
 
‐ a probabilidade do evento D “obter um número maior que 6 na face superior”. 
                                                      ሾBASICÃO DE PROBABILIDADESሿ TMA
 
Bertolo 5 
 
    Temos: 
    S ൌ ሼ1, 2, 3, 4, 5, 6ሽ ⇒ nሺSሻ ൌ 6 
    B ൌ ∅ ⇒ nሺDሻ ൌ 0    Logo:  ܲሺܣሻ ൌ   ଴
଺
ൌ 0 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 
1.   Dados os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7, construímos todos os números que podem ser representados usando dois 
deles  ሺsem repetirሻ. Escolhendo ao acaso ሺaleatoriamenteሻ um dos números  formados, qual a probabilidade de o 
número sorteado ser: 
  a.   par 
  Temos 7 possibilidades de escolha do primeiro algarismo dos números e seis 
escolhas do segundo algarismo (os números não podem ter algarismos repetidos). 
Assim, temos 7 . 6 = 42 caso possíveis. 
 Para o número ser par deverá terminar (unidade) em 2, 4 ou 6. Devemos ter 3 
possibilidades (2, 4, 6) associadas a 6 possibilidades (não podem ter algarismos 
repetidos). Assim, temos 3 . 6 = 18 casos favoráveis. Logo a probabilidade será: 
ܲሺ݌ܽݎሻ ൌ  
18
42
ൌ
3
7
 
b. múltiplo de 5? 
Casos possíveis = 42 
Casos favoráveis = 1 . 6 = 6 
ܲሺ݉ú݈ݐ݅݌݈݋ ݀݁ 5ሻ ൌ  
6
42
ൌ
1
7
 
 
Pelos exemplos que acabamos de ver, podemos concluir que, sendo nሺSሻ ൌ n: 
a. a probabilidade do evento certo é igual a 1: 
    PሺSሻ ൌ 1 
b. a probabilidade do evento impossível é igual a zero: 
    Pሺ∅ሻ ൌ 0 
c. a probabilidade de um evento E qualquer ሺE ⊂ Sሻ é um número real PሺEሻ, tal que: 
    0 ≤ PሺEሻ ≤ 1 
d. a probabilidade de um evento elementar E qualquer é, lembrando que nሺEሻ ൌ 1: 
    PሺEሻ ൌ ଵ
௡
 
 
6. EVENTOS COMPLEMENTARES 
  Sabemos  que  um  evento  pode  ocorrer  ou  não.  Sendo  p  a  probabilidade  de  que  ele  ocorra  ሺsucessoሻ  e  q  a 
probabilidade de que ele não ocorra ሺinsucessoሻ, para um mesmo evento existe sempre a relação: 
p ൅ q ൌ 1 ⇒ q ൌ 1 – p 
  Assim, se a probabilidade de se realizar um evento é p ൌ ଵ
ହ
, a probabilidade de que ele não ocorra é: 
q ൌ 1 – p ⇒ q ൌ 1 ‐ ଵ
ହ
 ൌ ସ
ହ
 
  Sabemos que a probabilidade de tirar o 4 no lançamento de um dado é p ൌ ଵ
଺
. Logo, a probabilidade de não tirar 
o 4 no lançamento de um dado é: 
q ൌ 1 ‐ ଵ
଺
 ൌ ହ
଺
 
TMA  ሾBASICÃO DE PROBABILIDADESሿ
 
6 Bertolo 
 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 
1.   Um baralho tem 12 cartas, das quais 4 são ases. Retiram‐se 3 cartas ao acaso. Qual a probabilidade de haver pelo 
menos um ás entre as cartas retiradas? 
Solução 
  12 cartas, das quais 4 são ases. 
 Espaço amostral = U 
 n(U) = 12 . 11 . 10 = 1.320 
 Evento A = sair pelo menos um ás Evento Acom = não sair ás. 
 n(Acom) = 8 . 7 . 6 = 336 ⇒ ܲሺܣҧሻ ൌ   ଷଷ଺ଵ.ଷଶ଴ ൌ
ଵସ
ହହ
 ⇒ ܲሺܣሻ ൌ 1 െ  ଵସ
ହହ
ൌ ସଵ
ହହ
 
 
 7. EVENTOS INDEPENDENTES 
Dizemos que dois eventos são independentes quando a realização ou a não‐realização de um dos eventos não afeta a 
probabilidade da realização do outro e vice‐versa. 
  Por exemplo, quando lançamos dois dados, o resultado obtido em um deles independe do resultado obtido no 
outro. 
  Se dois eventos são independentes, a probabilidade de que eles se realizem simultaneamente é igual ao produto 
das probabilidades de realização dos dois eventos. 
  Assim, sendo p1 a probabilidade de realização do primeiro evento e p2 a probabilidade de realização do 
segundo evento, a probabilidade de que tais eventos se realizem simultaneamente é dada por: 
p ൌ p1 x p2  
EXEMPLO 
Lançando dois dados honestos simultaneamente, qual a probabilidade de obtermos 1 no primeiro dado e 5 no segundo 
dado? 
Solução 
Lançamos dois dados. A probabilidade de obtermos 1 no primeiro dado é: p1 = ଵ଺ . 
A probabilidade de obtermos 5 no segundo dado é: p2 = ଵ଺. Logo, a probabilidade 
de obtermos, simultaneamente, 1 no primeiro e 5 no segundo é: 
 p = ଵ
଺
 x ଵ
଺
= ଵ
ଷ଺
 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 
1.  Joga‐se um dado honesto. O número que ocorreu ሺisto é, da face voltada para cimaሻ é o coeficiente b da equação x2 ൅ 
bx ൅ 1 ൌ 0. 
Determine: 
a. a probabilidade de essa equação ter raízes reais; 
b. a probabilidade de essa equação ter raízes reais, sabendo‐se que ocorreu um número ímpar. 
Solução 
a. Para que esta equação x2 + bx + 1, com b ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6}, tenha raízes reais, 
o discriminante (Δ) dessa equação deve ser não-negativo. 
Como Δ = b2 – 4, então os valores possíveis de b são 2, 3, 4, 5 e 6, ou seja, existem 
5 possibilidades para b. 
Portanto, a probabilidade de essa equação ter raízes reais é 5/6. 
b. Sabendo que ocorreu um número ímpar (ou seja, 1, 3 ou 5), temos do item (a) que a 
probabilidade pedida é 2/3. 
2.   Considere o experimento que consiste no lançamento de um dado perfeito ሺtodas as seis faces têm probabilidades 
iguaisሻ. Com relação a esse experimento, considere os seguintes eventos: 
  aሻ I e II são eventos independentes? 
  bሻ II e III são eventos independentes? 
não  
Ás 
não  
Ás 
não  
Ás 
Num baralho padrão 
temos 52 cartas, 
como mostrado: 
♥ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 J Q K A 
♦ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 J Q K A 
♣ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 J Q K A 
♠ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 J Q K A
                                                      ሾBASICÃO

Qual é a probabilidade em um lançamento de dois dados honestos de obter 6 como resultado da soma das faces voltadas para cima?

Qual a probabilidade de ao serem lançados dois dados honestos a soma das faces voltadas para cima ser igual a 7?

Qual a probabilidade de lançados simultaneamente dois dados honestos a soma dos resultados ser igual ou maior que 10?

Qual a probabilidade de um dado honesto?