Qual é a relação existente entre as medidas dos ângulos internos α e β dessas figuras? α=β.

Ângulo Central e Ângulo Inscrito

Dedução da relação

Vamos deduzir a importante relação entre as medidas de um ângulo inscrito e seu correspondente ângulo central. Mas antes, vamos disponibilizar uma planilha dinâmica para você explorar essa relação, nos três casos em que dividiremos a dedução.

1) Aguarde a planilha carregar completamente. Observe que nela foram fixados uma circunferência de centro C e um ponto V dessa circunferência.
2) Escolha um dos três casos que aparecem, clique no quadradinho correspondente e execute as instruções que irão aparecer.
3) Para movimentar um ponto, clique sobre ele e, mantendo o mouse pressionado, movimente-o.
4) É sempre importante lembrar que o GeoGebra fornece valores aproximados para as medidas apresentadas.
5) Antes de marcar um quadradinho, desmarque os demais.

OBMEP_ srdg, criado com o GeoGebra

Dedução da relação

A medida de um ângulo inscrito é a metade da medida do ângulo central correspondente.

ou

Se [tex]VA[/tex] e [tex]VB[/tex] são cordas de uma circunferência [tex]\lambda[/tex] de centro em [tex]C[/tex], então a medida do ângulo inscrito [tex]A\hat{V}B[/tex] é a metade da medida do ângulo central correspondente [tex]A\hat{C}B[/tex].

Sejam [tex]A[/tex], [tex]B[/tex] e [tex]V[/tex] pontos distintos de uma circunferência [tex]\lambda[/tex] de centro [tex]C[/tex]. Consideremos três casos separadamente:

• Caso 1: O centro [tex]C[/tex] está sobre um lado do ângulo inscrito [tex]A\hat{V}B[/tex].
• Caso 2: O centro [tex]C[/tex] está no interior do ângulo inscrito [tex]A\hat{V}B[/tex].
• Caso 3: O centro [tex]C[/tex] está no exterior do ângulo inscrito [tex]A\hat{V}B[/tex].

IMPORTANTE: Ao aplicar este teorema, tenha a certeza de que os dois ângulos, o central e o inscrito, “enxerguem o mesmo arco” para comparar as suas medidas: o arco que não contém o vértice do ângulo inscrito.
Assim, ao obter as medidas do ângulo inscrito [tex]A\hat{V}B[/tex] e do correspondente central [tex]A\hat{C}B[/tex], os dois ângulos devem enxergar o arco [tex]\stackrel{\frown}{AB}[/tex] que não contém o ponto [tex]V[/tex].
Isso significa que não necessariamente trabalharemos com o chamado "arco menor" e, portanto, podemos ter medidas angulares maiores do que [tex]180^\circ .[/tex]

Por definição, a medida angular do arco [tex]\stackrel{\frown}{AB}[/tex] de uma circunferência de centro em [tex]C[/tex] é a medida em graus do ângulo central dessa circunferência que “enxerga” [tex]\stackrel{\frown}{AB}[/tex]; ou de outra forma, a medida em graus de um ângulo central é a medida angular do seu arco correspondente.

Em função da identificação da medida de um ângulo central e da medida do seu arco correspondente, podemos reescrever a relação em questão da seguinte forma:

Em uma circunferência, a medida de um ângulo inscrito é a metade da medida angular do seu arco correspondente (Arco definido pelo ângulo na circunferência e que não contém o seu vértice.).

Se precisar, um vídeo para ajudar!

Assista ao vídeo e veja a demonstração que acabamos de fazer.
É só clicar no próximo botão.

Assistir ao vídeo

Avançando um pouco…

O Teorema do Ângulo Central tem duas consequências importantes; observe-as abaixo.

Você saberia justificá-las?

Precisam de exercícios? Se sim, cliquem AQUI.

Equipe COM – OBMEP

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Qual a relação entre o ângulo interno é externo de um mesmo vértice de um polígono?