Quantas raízes reais tem uma equação do segundo grau com delta positivo?

(UCS-RS)

Índice Show

O discriminante (Δ)
Particularidades de Δ
Quantas raízes reais tem uma equação do 2º grau quando o ∆ >( maior que 0?
Como saber quantas raízes reais tem uma equação do 2 grau?
Quantas raízes delta negativo?
Quando a equação possui duas raízes reais iguais é porque o valor do delta é?

Se uma das raízes da equação 2x² – 3px + 40 = 0 é 8, determine o valor de p.

Determine o valor de m na equação x² – (m + 5)x + 36 = 0, de modo que as raízes sejam reais e diferentes.

Dada a equação 9x² + 12x + 2m = 0, determine os possíveis valores de m para que a equação não possua raízes reais.

A equação do 2º grau x² – kx + 9 = 0, assume as seguintes condições de existência dependendo do valor da variável k:

Duas raízes reais e distintas: ∆ > 0.
Duas raízes reais e iguais: ∆ = 0.
Nenhuma raiz real: ∆ < 0.

Para que a equação tenha raízes reais e iguais, qual deve ser o valor da variável k?

Determine o valor de p na equação px² – 3x – 2 = 0, com p ≠ 0 de modo que a soma das raízes seja igual a 12.

Calcule o valor de k na equação x² – 10x – m + 8 = 0, com m ≠ 0, de modo que o produto das raízes seja igual a – 2.

Determine o valor de p na equação 6x² – 11x + (p – 1) = 0, para que o produto das raízes seja igual a 2/3.

Calcule o valor de k na equação x² – kx + 36 = 0, de modo que uma das raízes seja o quádruplo da outra.

2x² – 3px + 40 = 0

Se 8 é uma das raízes da equação, então temos que x = 8.

2 * 8² – 3 * p * 8 + 40 = 0

2 * 64 – 24 * p + 40 = 0
128 – 24p + 40 = 0
–24p = –128 –40
–24p = –168 * (–1)
24p = 168
p = 7

O valor de p para que a equação 2x² – 3px + 40 = 0 tenha uma das raízes igual a 8 é 7.

S = {p Є R / p = 7}

O valor de m para que a equação x² – (m + 5)x + 36 = 0 tenha raízes reais e diferentes é m = 7 ou m = –17.

S = {p Є R / m = 7 ou m = –17}

∆ < 0
b² – 4ac < 0
12² – 4 * 9 * 2m < 0
144 – 72m < 0
144 < 72m
m > 2

Para que a equação 9x² + 12x + 2m = 0, não possua raízes reais o valor de m será maior que 2.

S = {p Є R / m > 2}

∆ = 0
b² ¬– 4ac = 0
(¬–k)² – 4 * 1 * 9 = 0
k² – 36 = 0
k² = 36
k = 6 ou k = –6

O valor de k na equação x² – kx + 9 = 0 deve assumir os seguintes valores:
k = 6 ou k = –6.

S = {k Є R / k = 6 e k = –6}

S = {p Є R / p = 3/20}

S = {m Є R / m = 10}

S = {p Є R / p = 5}

S = {k Є R / k = 3 ou k = –3}

São vários os momentos em matemática, bem como em outras áreas do conhecimento, que a evolução do problema em resolução acaba desembocando em equações de 2º grau ou em funções polinomiais de 2º grau (funções quadráticas). Por este motivo, o conhecimento dos processos de resolução desse tipo de equação é importante e, além disso, necessário.

Muitos povos contribuíram para a descoberta e aperfeiçoamento da resolução de equações de grau 2, a exemplo dos árabes, hindus e babilônios. Para se ter uma ideia da idade histórica desses problemas, há aproximadamente 2000 a.C. os babilônios já conheciam e resolviam equações de 2º grau, em parte dos casos com a ajuda de figuras geométricas.

Este trabalho trata, prioritariamente, do discriminante encontrado na fórmula resolutiva, conhecida também por fórmula de Bhaskara, suas particularidades e operacionalidades.

O discriminante (Δ)

A fórmula resolutiva para equações completas e incompletas do 2º grau é

, onde

O discriminante, representado pela letra grega Δ (lê-se “delta”) corresponde ao radicando da fórmula resolutiva e tem o valor do coeficiente b elevado à segunda potência, menos o produto de quatro pelos coeficientes a e c.

Coeficientes são números reais que acompanham as incógnitas, no caso de a e b, ou é independe das incógnitas, no caso de c.

A representação geral de uma equação de 2º grau é:

ax2 + bx + c = 0, com a ≠ 0.

Particularidades de Δ

Algumas peculiaridades do discriminante merecem atenção. Veja cada uma delas:

1. Δ = 0. Quando o discriminante é igual à zero a equação de 2º grau apresenta duas raízes reais iguais.

Ex.: Resolva a equação x2 – 6x + 9 = 0.

Separando os coeficientes

a = 1, b = – 6 e c = 9.

Calculando o valor do discriminante

Δ = b2 – 4ac

Δ = (– 6)2 – 4.1.9

Δ = 36 – 36

Δ = 0

x2 – 6x + 9 = 0

2. Δ > 0. Quando o valor do discriminante é maior que zero, a equação apresenta duas raízes reais diferentes.

Ex.: Resolva a equação x2 + 3x – 4 = 0.

Separando os coeficientes

a = 1, b = 3 e c = – 4.

Calculando o valor do discriminante

Δ = b2 – 4ac

Δ = (3)2 – 4.1.(– 4)

Δ = 9 – 16

Δ = 25

x2 + 3x – 4 = 0

3. Δ < 0. Quando o discriminante é menor que zero, não existem raízes reais (em R).

Ex.: Determine o conjunto solução da equação quadrática x2 + 5x + 7 = 0.

Separando os coeficientes

a = 1, b = 5 e c = 7.

Calculando o valor do discriminante

Δ = b2 – 4ac

Δ = 52 – 4.1.(7)

Δ = 25 – 28

Δ = – 3

x2 + 5x + 7 = 0

Portanto, o conjunto solução desta equação é:

“Nem todos os caminhos que levam ao sucesso são fáceis.”

(Robison Sá)

Referência bibliográfica:
BIANCHINI, Edwaldo. Matemática, 9º ano. – 7. ed. – São Paulo: Moderna, 2011.

Texto originalmente publicado em https://www.infoescola.com/matematica/discriminante/

Quantas raízes reais tem uma equação do 2º grau quando o ∆ >( maior que 0?

Caso o valor do discriminante seja maior que zero, a equação terá duas raízes reais e diferentes.

Como saber quantas raízes reais tem uma equação do 2 grau?

É possível descobrir a quantidade de raízes reais de uma equação do segundo grau somente observando seu discriminante. Para isso, observe o seguinte: na fórmula de Bháskara, há um sinal “±” antes da raiz do discriminante. Isso significa que essa raiz terá um resultado positivo e um negativo.

Quantas raízes delta negativo?

Aplicação da fórmula: delta negativo. Como delta é menor que zero, a equação não terá raízes reais, pois não existe raiz quadrada de número negativo.

Quando a equação possui duas raízes reais iguais é porque o valor do delta é?

As equações do segundo grau possuem soluções que são denominadas raízes da equação. Quando a equação possui duas raízes reais iguais é porque o valor do Delta é: a) Maior que zero.