Soma das medidas dos ângulos internos de um undecágono

Em um polígono, quanto maior é o número de lados, maior é a medida dos ângulos internos.

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Qual o valor da soma dos ângulos internos de um Eneágono?
Qual e a medida de um ângulo interno de um Eneágono?
Qual e a soma das medidas dos ângulos internos de um dodecágono?
Qual e a soma dos ângulos externos de um Eneágono?

Considerando as diagonais traçadas por apenas um dos vértices de um polígono, é possível perceber que elas formam triângulos. Conforme aumentamos os lados de um polígono, a quantidade de triângulos também aumenta. Veja:

Em um quadrilátero, conseguimos formar dois triângulos.

Considerando que, em cada triângulo, a soma dos ângulos internos iguais é 180°, a soma dos ângulos internos de qualquer quadrilátero é 2·180º = 360º.

Em um polígono de cinco lados (pentágono), formamos três triângulos.

Dessa forma, temos que a soma dos ângulos internos de um pentágono é 180º·3 = 540º

Em um polígono de seis lados (hexágono), formamos quatro triângulos.

Portanto, a soma dos ângulos internos é 4·180º = 720º.

Soma dos ângulos internos de um polígono convexo

Percebemos que a diferença do número de triângulos formados e o número de lados dos polígonos é sempre 2, então, concluímos que:

Si = (3 – 2)·180º = 1·180° = 180°

Si = (4 – 2)·180° = 2·180° = 360°

Si = (5 – 2)·180° = 3·180° = 540°

Si = (6 – 2)·180° = 4·180° = 720°

Si = (n – 2)·180°

Portanto, a soma dos ângulos internos de qualquer polígono é calculada pela expressão:

Si = (n – 2)·180°

Caso queira calcular o valor de cada ângulo interno, basta dividir a soma dos ângulos internos pelo número de lados do polígono. Vale lembrar que essa fórmula só deve ser utilizada em polígonos regulares, pois eles possuem os ângulos internos iguais.

ai = Si
n

Soma dos ângulos externos de um polígono regular

A soma dos ângulos externos de qualquer polígono convexo é igual a 360°.

Obs.: A soma de um ângulo interno com o seu respectivo externo é igual a 180º, isto é, eles são suplementares.

Por Marcos Noé

Graduado em Matemática

dos ângulos externos é 360º. 2 . 50 + x . 52 = 360 x . 52 = 360 - 100 = 260 x = 260/52 = 5 2 ângulos externos de 50º 5 ângulos externos de 52º total - 7 ângulos externos n = 7 lados (resp b) x x yy x + y = 180 - a A + B + C + D = 360º A + D = 360 - 2x - 2y A + D = 360 - 2(x + y) A + D = 360 - 2(180 - a) A + D = 360 - 360 + 2a A + D = 2a (resp d) x e e e - ângulo externo do polígono. x - vértice da estrela. e = 360/n e + e + x = 180º 2 . 360/n + x = 180 x = 180 - 720/n = (180n - 720)/n = 180(n - 4)/n (resp b) Polígono 01) Dado um polígono convexo de 17 lados, determinar: a) a soma das medidas dos ângulos internos. b) a soma das medidas dos ângulos externos. c) o número de diagonais desse polí- gono. 03) Determinar o número de lados e o número de diagonais de um polígono convexo cuja soma das medidas dos ângulos internos é 2160º. 04) Determinar a soma das medidas dos ângulos internos de um polígono convexo que tem 44 diagonais. 02) Dado um undecágono convexo, determinar: a) a soma das medidas dos ângulos internos. b) a soma das medidas dos ângulos externos. c) o número de diagonais desse polí- gono. Estudos sobre Geometria realizados pelo prof. Jeca (Lucas Octavio de Souza) (São João da Boa Vista - SP) Geometria plana Polígonos convexos. Exercícios complementares da aula 05. Jeca 52 01) Dado um polígono convexo de 17 lados, determinar: a) a soma das medidas dos ângulos internos. b) a soma das medidas dos ângulos externos. c) o número de diagonais desse polí- gono. 03) Determinar o número de lados e o número de diagonais de um polígono convexo cuja soma das medidas dos ângulos internos é 2160º. 04) Determinar a soma das medidas dos ângulos internos de um polígono convexo que tem 44 diagonais. 02) Dado um undecágono convexo, determinar: a) a soma das medidas dos ângulos internos. b) a soma das medidas dos ângulos externos. c) o número de diagonais desse polí- gono. Estudos sobre Geometria realizados pelo prof. Jeca (Lucas Octavio de Souza) (São João da Boa Vista - SP) Geometria plana Polígonos convexos. Exercícios complementares da aula 05. Jeca 52 S = 180(n - 2) = 180(17 - 2) = 2 700ºi S = 360ºe d = n(n - 3)/2 d = 17(17 - 3)/2 d = 119 diagonais S = 180(n - 2) = 180(11 - 2) = 1 620ºi S = 360ºe d = n(n - 3)/2 d = 1(11 - 3)/2 d = 44 diagonais S = 180(n - 2)i 2 160 = 180(n - 2) n - 2 = 2 160/180 n - 2 = 12 n = 14 lados (resp) d = n(n - 3)/2 d = 14(14 - 3)/2 d = 77 diagonais (resp) d = n(n - 3)/2 44 = n(n - 3)/2 2 n - 3n - 88 = 0 Raízes n = 11 lados (undecágono) n = -8 (não convém) S = 180(n - 2)i S = 180(11 - 2)i S = 1 620º (resp)i 05) No pentágono ao lado, AB // DE. Determinar a soma das medidas dos ângulos internos assinalados. A B C E D 06) Determinar os polígonos convexos A e B, sabendo-se que A tem 2 lados e 23 diagonais a mais que o polígono B. 07) Dado um eneágono regular, determinar : a) o número de lados do eneágono. b) a soma das medidas dos ângulos internos. c) a medida de cada ângulo interno. d) a soma das medidas dos ângulos externos. e) a medida de cada ângulo externo. f) o número de diagonais do eneágo- no. 08) Determinar qual é o polígono regular cuja medida de um ângulo externo é igual a 2/7 da medida de um ângulo interno. Jeca 53 05) No pentágono ao lado, AB // DE. Determinar a soma das medidas dos ângulos internos assinalados. A B C E D 06) Determinar os polígonos convexos A e B, sabendo-se que A tem 2 lados e 23 diagonais a mais que o polígono B. 07) Dado um eneágono regular, determinar : a) o número de lados do eneágono. b) a soma das medidas dos ângulos internos. c) a medida de cada ângulo interno. d) a soma das medidas dos ângulos externos. e) a medida de cada ângulo externo. f) o número de diagonais do eneágo- no. 08) Determinar qual é o polígono regular cuja medida de um ângulo externo é igual a 2/7 da medida de um ângulo interno. Jeca 53 A + E = 180º (ângulos colaterais internos) ABCDE é um pentágono, portanto S = 180(n - 2) = 180(5 - 2) = 540ºi E + A + B + C + D = 540 180 + B + C + D = 540 B + C + D = 540 - 180 = 360º (resp) A nA dA B nB dB n = n + 2A B d = d + 23A B d - d = 23A B (n + 2)(n + 2 - 3)/2 - n (n - 3)/2 = 23B B B B (n + 2)(n - 1) - n (n - 3) = 46B B B B 4.n = 48B n = 12 lados (dodecágono)B n = 12 + 2 = 14 lados (quadridecágono) (resp)A n = 9 lados S = 180(n - 2i S = 180(9 - 2)i S = 1 260ºi i = S /ni i = 1 260/9 i = 140º S = 360ºe e = 360/n e = 360/9 e = 40º d = n(n - 3)/2 d = 9(9 - 3)/2 d = 27 diagonais e = 2.i / 7 i + e = 180º e = 2.i / 7 i = 7.e / 2 e + 7.e / 2 = 180 2e + 7e = 360 9e = 360 e = 40º e = 360/n 40 = 360/n n = 360/40 = 9 n = 9 lados (eneágono) (resp) 09) Dado um pentadecágono regular, determinar : a) o número de lados do pentadecá- gono. b) a soma das medidas dos ângulos internos. c) a medida de cada ângulo interno. d) a soma das medidas dos ângulos externos. e) a medida de cada ângulo externo. f) o número de diagonais do penta- decágono. 10) Determinar dois polígonos regulares, A e B, sabendo-se que A tem 3 lados a mais que B e que a diferença entre as medidas dos seus ângulos externos é 6º. 11) Dado um decágono regular ABCDE … , determinar a medida do ângulo agudo compreendido entre o lado AB e a diagonal AC. 12) Dado um dodecágono regular ABCDE … , sendo O o centro do dodecágono, determinar a medida do ângulo AOE. A B C D E F G H I J K L O Jeca 54 09) Dado um pentadecágono regular, determinar : a) o número de lados do pentadecá- gono. b) a soma das medidas dos ângulos internos. c) a medida de cada ângulo interno. d) a soma das medidas dos ângulos externos. e) a medida de cada ângulo externo. f) o número de diagonais do penta- decágono. 10) Determinar dois polígonos regulares, A e B, sabendo-se que A tem 3 lados a mais que B e que a diferença entre as medidas dos seus ângulos externos é 6º. 11) Dado um decágono regular ABCDE … , determinar a medida do ângulo agudo compreendido entre o lado AB e a diagonal AC. 12) Dado um dodecágono regular ABCDE … , sendo O o centro do dodecágono, determinar a medida do ângulo AOE. A B C D E F G H I J K L O Jeca 54 n = 15 lados S = 180(n - 2i S = 180(15 - 2)i S = 2 340ºi i = S /ni i = 2 340/15 i = 156º S = 360ºe e = 360/n e = 360/15 e = 24º d = n(n - 3)/2 d = 15(15 - 3)/2 d = 90 diagonais A nA eA B nB eB n = n + 3A B e - e = 6 B A Importante - O polígono que tem menos lados tem o maior ângulo externo. (e - e > 0)B A e - e B A = nB n + 3B 360-360 = 6 n (n + 3)B B 360(n + 3) - 360.nB B = 6 360(n + 3) - 360.n = 6n (n + 3)B B B B 2 360n + 1 080 - 360n = 6n + 18nB B B B 2 n + 3n - 180 = 0B B Raízes n = 12 lados (dodecágono)B n = -15 lados (não convém)B Polígono A - (12 + 3 = 15 lados) - pentadecágono polígono B - dodecágono (resp) A B C D E e i x e - ângulo externo i - ângulo interno e = 360/n = 360/10 = 36º i + e = 180º i = 180 - 36 = 144º x + x + i = 2x + 144 = 180 2x = 36 x = 18º (resp) x i e e - ângulo externo i - ângulo interno e = 360/n = 360/12 = 30º i + e = 180 i + 30 = 180 i = 150º y y x ABCDEO é umhexágono irregular S = 180(n - 2) = 180(6 - 2) = 720ºi y = i/2 = 150/2 = 75º 720 = 2y + 3 . 150 + x 720 = 2 . 75 + 3 . 150 + x x = 720 - 600 = 120º (resp) 13) Dado um decágono regular ABCDE … , sendo O o centro do polígono, determinar : A B C D EG H I J O b) a medida de cada ângulo externo. d) a medida de cada ângulo interno. e) a medida do ângulo obtuso forma- do pelos prolongamentos dos lados BC e DE. f) a medida do ângulo agudo forma- do pelos prolongamentos dos lados BC e EF. g) a medida do ângulo agudo forma- do entre as diagonais BI e AG. h) a medida do ângulo EOG. a) a soma das medidas dos ângulos externos do decágono. c) a soma das medidas dos ângulos internos do decágono. F i) a medida do ângulo EBC.

Qual o valor da soma dos ângulos internos de um Eneágono?

4. Calcule a soma das medidas dos ângulos internos de um eneágono convexo. Soluç˜ao: Temos n =9e Si = (9 − 2)180◦ = 1260◦.

Qual e a medida de um ângulo interno de um Eneágono?

O Eneágono possui, desta forma, 9 lados iguais, 9 vértices (um vértice corresponde ao ponto de interseção de dois lados de uma figura geométrica) e 9 ângulos internos iguais a 140º.

Qual e a soma das medidas dos ângulos internos de um dodecágono?

Se levarmos em conta que um dodecágono possui doze ângulos, e que os ângulos internos de um dodecágono regular medem 150º cada, podemos afirmar que a soma de todos os ângulos internos de um dodecágono regular é igual a 1800º (150º x 12 = 1800º).