A quantidade de números divisíveis por 5 formados por 4 algarismos distintos

Matemática

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Para entender os critérios de divisibilidade, é essencial conhecer a operação divisão. Essa operação faz parte do nosso dia a dia, como quando saímos com os amigos e dividimos a conta do restaurante, quando fazemos uma receita de brigadeiro e dividimos nas forminhas, dividimos o salário pela quantidade de dias trabalhados, entre outras aplicações.

Na matemática, a conta de divisão é a base para a resolução de vários problemas. Usamos, por exemplo, para calcular as médias, a fatoração e porcentagem. A fim de facilitar, existem alguns critérios em que podemos “cortar caminhos” para uma divisão mais rápida, considerando que o resto da divisão seja sempre igual a zero.

Tópicos deste artigo

• 1 - Regras de divisibilidade
• 2 - Exercícios resolvidos

Regras de divisibilidade

Divisibilidade por 2:

A divisibilidade por 2 é feita em qualquer número par, ou seja, quaisquer números terminados em 0, 2, 4, 6 ou 8 são, com certeza, números divisíveis por 2. Vamos aos exemplos:

64:2 = 32

32:2 = 16

16:2 = 8

8:2 = 4

4:2 = 2

2:2 = 1

12.490:2 = 6.245

Veja também: Números pares e ímpares

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Divisibilidade por 3:

Segundo esse critério, para encontrarmos os números que são divisíveis por 3, basta somarmos os algarismos dos números e se o resultado for divisível por 3, certamente, o número é divisível por 3. Lembrando que, nesse caso, a tabuada do 3 deve estar na ponta da língua! Veja como é simples pelo exemplo:

O número 14.321, se separarmos os algarismos fazendo a sua soma: 1 + 4 + 3 + 2 + 1 = 11. Nesse caso 11 não é divisível por 3, portanto o número 14.321 não é divisível por 3.

Se analisarmos o número 1.233, a soma dos algarismos será 1 + 2 + 3 + 3 = 9. O número 9 é divisível por 3, então, 1.233 é sim divisível por 3 e resulta em 411.

Divisibilidade por 4:

Para saber se um número é divisível por 4, temos duas opções: a primeira delas é que todo número que termina em 00 com certeza é divisível por 4; e a segunda é quando o número formado pelos dois últimos algarismos for divisível por 4, esse número é também divisível por 4. Por exemplo:

1.200 é divisível por 4, pois termina em 00.

5.832 é divisível por 4, porque o final 32 é um número divisível por 4.

616 é divisível por 4, porque o final 16 é divisível por 4.

1.335 não é divisível por 4 pois não termina em 00 e o final 35 não é um número divisível por 4, o que faz a divisão não ter como resultado um número inteiro.

Divisibilidade por 5:

Qualquer número natural que tenha final 0 ou 5 é divisível por 5. É só pensar na tabuada do 5 e observar como cada número termina.

Por exemplo, os números 935, 140, 85 e 70 são todos divisíveis por 5, pois terminam em 0 ou 5. Já os números 357, 121, 92 e 551, por exemplo, não são divisíveis por 5, pois não terminam em 0 ou 5.

Divisibilidade por 6:

O critério para a divisibilidade por 6 são todos os números que são divisíveis por 2 e por 3 ao mesmo tempo. Lembrando que os números que são divisíveis por 2 são todos os números pares, isso já exclui os números ímpares da divisibilidade por 6, e a soma os algarismos desses números precisam ser divisíveis por 3. Vamos analisar os seguintes exemplos:

1.324 é um número par (divisível por 2) e a soma dos algarismos 1 + 3 + 2 + 4 = 10, ou seja, não é divisível por 3, portanto 1.324 não é divisível por 6.

510 é um número par (divisível por 2) e a soma dos algarismos 5 + 1 + 0 = 6, ou seja, é divisível por 3, portanto 510 é um número divisível por 6.

15.420 é um número par (divisível por 2) e a soma dos algarismos 1 + 5 + 4 + 2 + 0 = 12, ou seja, é divisível por 3, portanto 15.420 é divisível por 6.

2.331 é ímpar, ou seja, não é divisível por 2 e apesar da soma dos algarismos 2 + 3 + 3 + 1 = 9 e ser divisível por 3, o número 2.331 não é divisível por 6.

Divisibilidade por 7:

Esse critério é diferente dos demais, mas é bem simples. Para verificarmos se um número é divisível por 7, basta multiplicar o último algarismo por 2 e com o resultado subtrair dos números que sobraram (não incluir o último), se esse resultado for divisível por 7, o número é divisível por 7. Se o número foi grande, repetir o processo até conseguir verificar se o número é divisível por 7. Segue o exemplo:

574: separar o último número e multiplicar por 2 => 4 x 2 = 8. Desse resultado, subtrair do número que sobrou 57 – 8 = 49. Como 49 é divisível por 7, então, o número 574 é divisível por 7.

7.644: separar o último número de multiplicar por 2 => 4 x 2 = 8. Desse resultado, subtrair do número que sobrou 764 – 8 = 756. Como o número é grande, repetimos o processo. Separar o último número de multiplicar por 2 => 6x 2 = 12; desse resultado, subtrair do número que sobrou 75 – 12 = 63. Como 63 é divisível por 7, então o número 7.644 é divisível por 7.

Divisibilidade por 8:

Segundo esse critério, os números que são divisíveis por 8 são todos aquelas que possuem final 000 ou que os três últimos algarismos sejam divisíveis por 8 (bem parecido com o critério de divisibilidade por 4). Por exemplo:

Os números 12.000, 5.000 e 125.000 são todos divisíveis por 8, pois terminam em 000.

O número 1.345.880 também é divisível por 8, pois 880 dividido por 8 é 110.

O número 225.243.168 é divisível por 8, pois 168 dividido por 8 é 21.

O número 12.445 não é divisível por 8, pois 445 não tem um resultado exato quando é dividido por 8.

Divisibilidade por 9:

O critério de divisibilidade por 9 segue a mesma linha de raciocínio do critério de divisibilidade por 3, ou seja, vamos somar os algarismos e se o resultado por divisível por 9, o número será divisível por 9:

1.575 é divisível por 9, pois 1 + 5 + 7 + 5 = 18. Como 18 é divisível por 9 (9 x 2), então, o número 1.575 é divisível por 9.

525.951 é divisível por 9, pois 5 + 2 + 5 + 9 + 5 + 1 = 27. Como 18 é divisível por 9 (9 x 2), então, o número 1.575 é divisível por 9.

Divisibilidade por 10:

Um dos critérios mais simples de divisibilidade! Os números que são divisíveis por 10 terminam sempre com 0.

Exercícios resolvidos

1) Determine o valor de Y abaixo de forma que o número seja divisível por 3 e por 5:

16Y

Resolução:

A regra para que o número seja divisível por 3 é que a soma dos algarismos seja divisível por 3 e a regra da divisibilidade por 5 é que o número seja final 0 e 5.

Nesse caso, se pensarmos no número final 0, a soma dos algarismos seria: 1 + 6 + 0 = 7, como 7 não é divisível por 3, o número 160 não atende aos dois critérios.

A outra opção seria o final 5. Ao somar os algarismos teremos: 1 + 6 + 5 = 12. Como 12 é divisível por 3 e o final 5 é divisível por 5, o número 165 atende os dois critérios, sendo y = 5.

2) (PM SE – IBFC). Um número é composto por 3 algarismos. O algarismo da centena é o 7 e o da unidade é o 4. A soma dos possíveis algarismos da dezena desse número de modo que ele seja divisível por 3 é:

a) 15
b) 18
c) 12
d) 9

Resolução:

A regra para que o número seja divisível por 3 é que a soma dos algarismos seja divisível por 3. Nesse caso, chamaremos o número de x, então, temos a seguinte situação:

7X4

Nesse caso, as possibilidades para que essa soma seja divisível por 3 seriam:

7 + 1 + 4 = 12

7 + 4 + 4 = 15

7 + 7 + 4 = 18

Como o exercício pede a soma dos possíveis algarismos, temos: 1 + 4 + 7 = 12. Sendo a resposta a letra c.

3) Verifique se o número 123.411.571.200 é divisível por 6.

Resolução:

Para que o número seja divisível por 6, é necessário que ele simultaneamente divisível por 2 e por 3, ou seja, o número precisa ser par (divisível por 2) e a soma dos algarismos precisam ser divisíveis por 3.

O número 123.411.571.200 é par, o que já atende ao primeiro requisito. Vamos somar os algarismos 1 + 2 + 3 + 4 + 1 + 1 + 5 + 7 + 1 + 2 + 0 + 0 = 27. Como 27 é divisível por 3, então, o número é divisível por 3 e atende a todos os requisitos, sendo divisível também por 6.

Por Danielle Guilherme
Professora de Matemática

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