Quantas placas de automóveis na antiga configuração formada por 2 letras e 4 números podiam ser obtidas?

a) Na palavra UFPEL, que possui 5 letras, temos duas vogais (U,E). Segundo o exercício, deveremos ter estas vogais sempre juntas, restando 3 letras para combinarmos com estas vogais.

Com isso, se permutarmos estas 3 consoantes (F,P,L), teremos;

P3 = 3! = 3.2.1  =6

Como são duas vogais, teremos duas maneiras de permutá-las entre si (UE ou EU), entretanto devemos verificar as possíveis posições destas vogais na palavra.

_____   _____   _____   _____   _____  

Como as vogais têm que estar juntas, consideraremos uma só letra. Sendo assim, ao invés de termos 5 letras, as vogais se tornarão uma só, com isso, teremos 4 letras.

_____   _____   _____   _____, sendo que as vogais poderão ocupar qualquer um desses 4 espaços, ou seja, existem 4 possibilidades para as vogais aparecerem nas combinações.

Uma outra forma de analisar essa possibilidade para as vogais, seria descrever os possíveis casos.

   U   _  __E _   _____   _____   _____;
_____      U   _       E   _    _____   _____;
   _____   _____      U   _       E   _    _____;
  _____   _____   _____      U   _       E   _;

Ou seja, 4 possibilidades.

Finalizando as contas teremos a seguinte expressão para as possibilidades.

Possibilidades = 4.P2 .P3

P3 = Permutação das letras (FPL) ; P2 = Permutação das vogais (U,E)

Possibilidades = 4.P2 .P3 = 4.2.3 = 48

b) As letras PEL tornam-se uma única palavra, sem permutação entre as letras, pois elas devem estar juntas e na mesma ordem, restando apenas UF para permutarmos.
Devemos, então, calcular quantas maneiras diferentes teremos para combinar as letras PEL em toda a palavra.

PEL ____ ____
____ PEL ____
____ ____ PEL

Ou seja, há três combinações para as letras PEL nesta palavra.

Possibilidades = 3.P2  

P2 = Permutação das letras (UF)

Possibilidades = 3 .P2 = 3.2 = 6
Temos então 6 possibilidades.
 

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Todas as pessoas devem possuir uma certidão de nascimento ou carteira de identidade. O CPF e o título de eleitor também são documentos imprescindíveis para qualquer cidadão. Todos esses documentos possuem o nome da pessoa e um número de identificação que facilita o acesso às informações cadastrais de cada civil.

Os veículos também possuem um cadastro com diversas informações sobre cor, modelo, ano, número de chassi, numeração do motor, potência, proprietário, endereço de localização, entre outras. O acesso a esses dados cadastrais é realizado através da placa de identificação do veículo.

Anteriormente, as placas eram formadas por uma combinação de duas letras e quatro números. Considerando que o alfabeto é composto de 26 letras e nosso sistema de numeração por 10 dígitos, as permutações possíveis eram dadas por:

26 * 26 * 10 * 10 * 10 * 10= 6.760.000

Em cada coluna das letras temos a opção de 26 letras e, no caso dos números, a opção de 10 dígitos.

Conforme o aumento do número de carros no decorrer dos anos, os departamentos responsáveis pelo registro dos carros em circulação resolveram adotar a presença de mais uma letra nas placas dos automóveis. Essa medida aumentou o número de possibilidades de combinação. Observe:

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26 * 26 * 26 * 10 * 10 * 10 * 10 = 175.760.000

Os cálculos apresentados fornecem todas as possíveis permutações, inclusive envolvendo identificações de mesmas letras e números. Por exemplo:

AAA – 0000
PPP – 1111
TTT – 8888
XXX – 4444

Caso seja necessário calcular o número de permutações somente de placas com elementos distintos, devemos adotar o seguinte cálculo matemático:

26 * 25 * 24 * 10 * 9 * 8 * 7 = 78.624.000

Exemplos:

ABC – 1234
JDT – 8547
PTA – 1238
TDX – 5621

Algumas outras restrições podem ser utilizadas na elaboração das placas. Veja:

Somente as letras distintas

26 * 25 * 24 * 10 * 10 * 10 * 10 = 156.000.000

Exemplos:

ABC – 2255
PDR – 8888
XTA – 8787
NKS – 9025

Somente os números distintos

26 * 26 * 26 * 10 * 9 * 8 * 7 = 88.583.040

Exemplos

AAP – 1258
BBV – 8742
LKL – 5468
HIJ – 7236

Por Marcos Noé
Graduado em Matemática
Equipe Brasil Escola

Análise Combinatória - Matemática - Brasil Escola

Quantas placas de automóveis compostas de 2 letras?

Quantas placas de automóveis na configuração formada por 3 letras e 4 números podiam ser obtidas?

Quantas placas podem ser formadas com 4 letras e 4 algarismos?

Quantas placas de carros podem ser criadas aqui no Brasil com essa nova configuração de 4 letras e 3 algarismos?