O que é domínio em uma função?

Q: O que é o domínio da função?

O domínio de uma função é o conjunto de todas as entradas possíveis da função. Por exemplo, o domínio de f(x)=x² são todos os números reais, e o domínio de g(x)=1/x são todos os números reais, exceto x=0. Também podemos definir funções especiais cujos domínios são mais limitados.

Q: O que é domínio de uma função exemplos?

O domínio de uma função é o conjunto de todos os objetos possíveis para a função. Por exemplo, o domínio de f(x) = x² é dado por todos os números reais e o domínio de g(x) = 1 / x é dado por todos os números reais, exceto x = 0.

Q: Qual é o domínio?

O domínio é o conjunto dos valores possíveis das abscissas (x), ou seja, a região do universo em que a função pode ser definida.

Definição de domínio e imagem

Toda função f(x) pode ser representada num sistema cartesiano de eixos por um conjunto de pontos (definidos pelas coordenadas - abscissas x e ordenadas y), originados pela lei de associação específica daquela função. Esse conjunto de pontos pode ou não gerar uma curva característica possível de ser definida algebricamente, como uma reta, uma parábola, etc.

O domínio é o conjunto dos valores possíveis das abscissas (x), ou seja, a região do universo em que a função pode ser definida. A imagem é o conjunto dos valores das ordenadas (y) resultantes da aplicação da função f(x), ou seja, da lei de associação mencionada.

Por exemplo, vejamos o gráfico abaixo:

Supondo que essa figura seja a representação gráfica de uma função (f) definida dentro do universo dos números reais (R).

O conjunto domínio será constituído pelas abscissas:

E o conjunto imagem:

Df={x∈?|3?x?9}

Função inversa e função composta

Entendemos por função uma lei de associação entre dois números x e y de modo que para cada valor de x exista um e somente um valor de y.

A função inversaf-1(x) de uma dada função f(x) é aquela cuja lei de formação é inversa da lei de formação de f(x). A função inversa, para que exista, deve satisfazer a condição acima.

Por exemplo, dada a função f(x) = 2x - 1 para se encontrar a sua inversa, caso exista, procede-se da seguinte maneira:

Imf={y∈?|5≤x≤7}

Função composta de duas funções f(x) e g(x) é uma função que utiliza o conjunto imagem da primeira como conjunto domínio da segunda, formando uma terceira função do tipo f(g(x)).

Por exemplo:

y=2x-1→substitui-se a variável das ordenadas pory

2x=y+1

x=y+12→encontra-se a nova lei de associação invertendo-se a relaçãoy=x+12

f-1x=x+12→notação para a função inversa

Enquanto a primeira eleva a variável ao quadrado, a segunda multiplica a variável por 3 e soma 1.

Seguindo a lei de formação, para obtermos f(g(x)) tomamos a segunda função e a elevamos ao quadrado, como se ela fosse a variável. Logo:

fx= x2egx=3x+1

A partir de f(x) podemos definir também outra função composta: g(f(x)). Neste caso, a sequência será invertida: primeiro multiplicamos a função f(x) por 3, e em seguida somamos 1, obtendo:

fgx=3x+12

gfx=3x2+1

Função: Definição, Domínio, Imagem e os Tipos

Função é uma relação entre dois conjuntos A e B, não vazios, de forma que todo elemento de A tem um elemento correspondente em B e um elemento de A só possui um único correspondente no conjunto B.

Função é uma relação entre dois conjuntos A e B, não vazios, de forma que todo elemento de A tem um elemento correspondente em B e um elemento de A só possui um único correspondente no conjunto B.

Produto Cartesiano#

Chamamos de produto cartesiano, o produto A x B, sendo A e B conjuntos não vazios, tendo como resultado um conjunto de pares ordenados (x, y), onde x pertence a A e y pertence a B.

Sendo assim, o produto cartesiano pode ser definido assim:

A x B = {(x, y) | x ∈ A e y ∈ B}

Relação#

Uma relação de R de A em B entre dois conjuntos A e B, não vazios, é um subconjunto de A x B.

Exemplo:

Dados os conjuntos A e B:

A = {1, 2, 3}
B = {1, 3}

Então:

A x B = {(1, 1), (1, 3), (2, 1), (2, 3), (3, 1), (3, 3)}

Às duas relações de A em B poderiam ser:

R1 = {(x, y) ∈ A x B | y = x} = {(1, 1), (3, 3)}
R2 = {(x, y) ∈ A x B | y = x + 1} = {(2, 3)}

Definição#

Seja dois conjuntos A e B, não vazios, chamamos função a correspondência f ou relação binário entre os conjuntos A e B, nessa ordem, de forma que qualquer elemento x ∈ A possui um único correspondente y ∈ B, sendo a imagem de x.

Podemos ilustrar a definição anterior através do diagrama de flechas para um melhor entendimento. Então, temos:

Cada elemento do conjunto A está relacionado a um único elemento em B.

Analisando a figura, podemos definir o seguinte:

O conjunto A é o domínio;
O conjunto B é o contradomínio;
Os elementos de B, que estão relacionados a elementos em A é chamado imagem da função.

Funções definidas por fórmulas#

É frequentemente encontrado algumas funções definidas por fórmulas.

Exemplo:

Sejam os conjuntos A e B:

A = {1, 5}
B = {2, 3, 4, 6}

Seja f a função que associa cada elemento de A acrescido de 1. Dessa forma, sendo x um elemento de A e y um elemento de B, que corresponde a imagem no conjunto B, temos a seguinte expressão:

y = x + 1
- Para x = 1 ⇒ y = 1 + 1 ⇒ y = 2
- Para x = 5 ⇒ y = 5 + 1 ⇒ y = 6

Podemos ver melhor no diagrama de flechas abaixo:

A variável x é chamada variável independente, e y, a variável dependente. Portanto, a variável y é dita em função de x, e assim escrevemos y = f(x).

Domínio e Imagem#

Sabendo que toda função f de A em B é uma relação binária, isto é, para cada elemento em A existe somente um elemento em B relacionado a ele, então f tem um domínio e uma imagem.

O domínio é o conjunto D, formados pelos elementos x ∈ A, de forma que existe y ∈ B, tal que o par ordenado (x, y) ∈ f.

O conjunto A é o domínio, o conjunto de partida, assim temos que:

D = A

A imagem de uma função é o conjunto Im formado pelos elementos y ∈ B de forma que existe x ∈ A tal que o par ordenado (x, y) ∈ f.

O conjunto Im é subconjunto do contradomínio B, isto é:

Im ⊂ B

Veja na imagem abaixo:

D = A = {1, 5}
Im = {2, 6}

O domínio D é igual ao conjunto A e o conjunto imagem Im é subconjunto do contradomínio B.

Gráficos de Funções#

O gráfico de f: R → R é formado pelo conjunto de todos os pontos (x, y) do plano cartesiano de forma que y = f(x).

Exemplos de gráficos de funções:

Como construir o gráfico?#

Para construir o gráfico de uma função, devemos atribuir valores para a variável que representa um valor do domínio da função e com isso encontraremos o valor que representa a imagem para aquele elemento do domínio.

Exemplo:

Seja a função f: A → R, tal que f(x) = 2x – 2. Sendo A = [0, 5], represente esta função no plano cartesiano e desenhe o seu respectivo gráfico.

Resolução:

Para encontrar os pares ordenados (x, y) do plano cartesiano, devemos atribuir os valores do domínio A que estão no intervalo [0, 5]. Assim:

Para x = 0: 2(0) – 2 = -2
Para x = 1: 2(1) – 2 = 0
Para x = 2: 2(2) – 2 = 2
Para x = 3: 2(3) – 2 = 4
Para x = 4: 2(4) – 2 = 6
Para x = 5: 2(5) – 2 = 8

Esses valores formam a seguinte tabela:

x	y
0	-2
1	0
2	2
3	4
4	6
5	8

Onde:

x é um valor do domínio da função;
y é um valor da imagem.

Marcando os valores dos pares (x, y) no plano cartesiano e traçando uma reta que passa pelos pontos formados pelos pares ordenados (x, y), temos o seguinte gráfico:

Reconhecimento do Gráfico de uma Função#

Vamos observar os seguintes gráficos e fazer uma discussão a respeito deles:

O gráfico I não representa o gráfico de uma função, pois os elementos do domínio da função no eixo x estão relacionados com mais de um elemento do eixo y.

Como sabemos pela definição, cada elemento do domínio só pode está relacionado a um único elemento do conjunto imagem.

O gráfico II representa o gráfico de uma função, pois para cada elemento em x, existe somente um elemento em y. Isto é, cada elemento do domínio está relacionado a apenas um elemento da imagem.

Domínio e Imagem de uma Função a partir do seu Gráfico#

Considere o seguinte gráfico de uma função qualquer:

Pelo gráfico acima, podemos afirmar que a função possui um domínio limitado no intervalo [1, 3], para valores no eixo x (eixo das abcissas). Os valores do intervalo [1, 4], no eixo y (eixo das ordenadas), é a imagem da função.

Dessa forma, temos que:

Domínio: D = [1, 3]
Imagem: Im = [1, 4]

Estudo do Sinal#

Ao estudar o sinal de uma função conseguimos determinar quando a função assume valores correspondentes em y negativos, nulos ou positivos, para quais valores de x.

Exemplo:

Seja o gráfico de uma função f: R → R:

Pelo gráfico temos que:

Para x < -2 ou x > 3: os valores de y são positivos;
Para -2 < x < 3: os valores de y são negativos;
Para x = -2 ou x = 3: os valores de y são nulos. Também chamadas raízes ou zeros da função.

Função Crescente, Decrescente e Constante#

Podemos classificar as funções de acordo com seu gráfico em: crescente, decrescente e constante.

Crescente: uma função é crescente quando para quaisquer valores x1 e x2 do domínio, sendo x1 < x2, temos que f(x1) < f(x2).
Isto quer dizer que se os valores de x aumentam, os valores de y também aumentam.
- Exemplo:

Decrescente: uma função é decrescente quando para quaisquer valores x1 e x2 do domínio, sendo x1 < x2, temos que f(x2) < f(x1).
Isto quer dizer que se os valores de x aumentam, os valores de y diminuem.
- Exemplo:

Constante: uma função é constante quando para quaisquer valores x1 e x2 do domínio, temos que f(x1) = f(x2).
Isto que dizer que quando os valores de x aumentam, os valores de y permanecem iguais.
- Exemplo:

Tipos de Funções#

Podemos classificar as funções segundo as propriedades específicas que elas possuem. Essas propriedades retratam o comportamento que elas terão em certas condições.

Função Injetora ou Injetiva#

Uma função f: A → B é injetora ou injetiva se, e somente se, os elementos distintos em A possuem elementos distintos em B.

Como podemos ver pelo diagrama de flechas que todo elemento de B possui somente uma flecha apontada para ele.

Função Sobrejetora ou Sobrejetiva#

Temos que f : A → B é sobrejetora ou sobrejetiva se, e somente se, todo elemento de B é imagem de pelo menos um elemento de A.

Pelo diagrama de flechas vemos que todos os elementos de B é atingido por pelo menos uma flecha de pelo menos um elemento de A.

Função Bijetora ou Bijetiva#

Uma função f : A → B é bijetora ou bijetiva se, e somente se, ela for injetora e sobrejetora. Isto é, todos os elementos de B é imagem de apenas um elemento de A.

Como vemos no diagrama de flechas que todos os elementos de B é imagem de apenas um elemento de A, assim sendo injetora e sobrejetora e, portanto, é bijetora.

Função Composta#

Sejam os conjuntos A, B e C, e duas funções f : A → B e g : B → C, chamamos de composta uma função h = gof: A → C, definida por R = gof(x) = g(f(x)).

Exemplo:

Considere as seguintes funções:
- f(x) = x² + 2x – 1 e g(x) = 3x + 1. Encontre fog(x).
Resolução:
- fog(x) = f(g(x)) = g(x)² + 2g(x) – 1 = (3x + 1)² + 2(3x + 1) – 1 = 9x² + 6x + 1² + 6x + 2 – 1 = 9x² + 12x + 2

Função Inversa#

Seja f : A → B, definimos a inversa de f por f-1: B → A. Ou seja, é a função que leva os elementos da imagem de f aos elementos do domínio de f.

Dessa forma, f : A → B é inversível ⇔ f é bijetora.

Função Modular#

Temos uma função modular quando os seus números são sempre positivos. O módulo é representado por duas barras verticais.

Exemplo:

y = |x|
y = |-(x . y)|
y = |-x³|
y = |x²|

Função Par#

Uma função é chamada par quando f(x) = f(-x), ou seja, os elementos opostos do domínio tem imagens iguais.

Exemplo:

f(x) = x²

f(2) = f(-2)

Função Ímpar#

Uma função é chamada ímpar quando f(x) = -f(-x), ou seja, os elementos opostos do domínio tem imagens opostas.

Exemplo:

f(x) = x³

f(1) = -f(-1)

Função Afim ou Polinomial do Primeiro Grau#

A função afim é do tipo polinomial do primeiro grau se for definida como:

f : R → R tal que f(x) = ax + b, com a e b números reais e a ≠ 0.

Exemplos:

y = 2x + 2
f(x) = x + 1
y = -4x
f(x) = 7x – 3

Função Quadrática ou Polinomial do Segundo Grau#

A função quadrática é do tipo polinomial do segundo grau se for definida como:

f : R → R tal que f(x) = ax² + bx + c, com a ∈ R, b ∈ R e c ∈ R e a ≠ 0.

Exemplos:

y = 2x² + 2x + 1
f(x) = x² – 3x + 3
y = -4x² -3x + 4
f(x) = 7x² – 3x – 3

Função Exponencial#

Uma função exponencial é definida da seguinte forma:

f : R → R*+ tal que f(x) = ax, com 0 < a ≠ 1.

Exemplos:

y = 2x
f(x) = 4-x
f(x) = (1⁄2)x

Exercícios#

Veja os exercícios no link a seguir:

Exercícios de funções

Funções

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O que é o domínio da função?

O domínio de uma função é o conjunto de todas as entradas possíveis da função. Por exemplo, o domínio de f(x)=x² são todos os números reais, e o domínio de g(x)=1/x são todos os números reais, exceto x=0. Também podemos definir funções especiais cujos domínios são mais limitados.

O que é domínio de uma função exemplos?

O domínio de uma função é o conjunto de todos os objetos possíveis para a função. Por exemplo, o domínio de f(x) = x² é dado por todos os números reais e o domínio de g(x) = 1 / x é dado por todos os números reais, exceto x = 0.