Pares ordenados no plano cartesiano exercicios resolvidos doc

Plano cartesiano é um método criado pelo filósofo e matemático francês, René Descartes. Trata-se de dois eixos perpendiculares que pertencem a um plano em comum.

Descartes criou esse sistema de coordenadas para demostrar a localização de alguns pontos no espaço.

Esse método gráfico é utilizado em diversas áreas, sobretudo na matemática e na cartografia.

Como Fazer?

Para localizar pontos num plano cartesiano, devemos ter em conta algumas indicações importantes.

A linha vertical é chamada de eixo das ordenadas (y). Já a linha horizontal é chamada de eixo das abscissas (x). Com a intersecção dessas linhas temos a formação de 4 quadrantes:

É importante notar que no plano cartesiano os números podem ser positivos ou negativos.

Ou seja, os números positivos vão para cima ou para a direita, dependendo do eixo (x ou y). Já os números negativos, vão para a esquerda ou para baixo.

• 1.º quadrante: os números sempre serão positivos: x > 0 e y > 0
• 2.º quadrante: os números são negativos ou positivos: x 0
• 3.º quadrante: os números são sempre negativos: x
• 4.º quadrante: os números podem ser positivos ou negativos: x > 0 e y

Exemplos

As coordenadas cartesianas são representadas por dois números racionais entre parênteses, os quais são chamados de elementos:

A: (4, 7)
B: (8, -9)
C: (-2, 2)
D: (-5, -4)
E: (5, 3)

Esses elementos formam um “par ordenado”. O primeiro elemento corresponde ao eixo das abscissas (x). Já o segundo elemento corresponde ao eixo das ordenadas (y).

Note que o ponto em que os eixos se encontram é chamado de “origem” e corresponde ao par ordenado (0, 0).

Produto Cartesiano

O produto cartesiano é usado na teoria dos conjuntos. É aplicado em conjuntos distintos e corresponde à multiplicação entre os pares ordenados. Esse método também foi criado por René Descartes.

Exercícios Resolvidos

1. Localize os pares ordenados no plano cartesiano:

a) (-9, 4)
b) (8, 3)
c) (0, -3)
d) (-4, -9)
e) (8, 0)

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2. Em quais quadrantes estão localizados os pontos:

a) (-2, -4)
b) (3, 1)
c) (0, 6)
d) (8, -7)
e) (9, -3)

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a) 3.° quadrante
b) 1.° quadrante
c) 1.° quadrante
d) 4.° quadrante
e) 4.° quadrante

3. Qual par ordenado não está representado no plano cartesiano?

a) (3, -4)
b) (4, -3)
c) (-8, -9)
d) (8, 9)
e) (9, -8)

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Resposta: letra E.

Veja também:

• Descartes
• Cônicas
• Equação da Reta
• Distância entre dois pontos
• Exercícios sobre distância entre dois pontos
• Geometria analítica

Bacharel em Meteorologia pela Universidade Federal do Rio de Janeiro (UFRJ) em 1992, Licenciada em Matemática pela Universidade Federal Fluminense (UFF) em 2006 e Pós-Graduada em Ensino de Física pela Universidade Cruzeiro do Sul em 2011.

Estes exercícios vão te auxiliar na compreensão do plano cartesiano, desenvolvido por René Descartes com o objetivo de facilitar o estudo dos elementos da geometria plana.

Publicado por: Raul Rodrigues de Oliveira em Exercícios de Matemática

Questão 1

Sobre o plano cartesiano, julgue as afirmativas a seguir:

I - O eixo horizontal é conhecido também como eixo das abscissas.

II - O ponto A (-5, 3) é um ponto do terceiro quadrante.

III - O eixo vertical é conhecido também como eixo das coordenadas.

Podemos afirmar que:

A) Somente a afirmativa I é verdadeira.

B) Somente a afirmativa II é verdadeira.

C) Somente a afirmativa III é verdadeira.

D) Somente as afirmativas II e III são verdadeiras.

E) Somente as afirmativas I e III são verdadeiras.

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Questão 2

Em um plano cartesiano, foram marcados os pontos A (2, 3), B(-1, 2), C (2, -3) e D (1, 0). O único quadrante em que não há nenhum ponto marcado é:

A) I

B) II

C) III

D) IV

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Questão 3

O plano cartesiano é um sistema de coordenadas desenvolvido por René Descartes. Esse sistema de coordenadas é formado por duas retas perpendiculares, chamadas de eixos cartesianos. O plano cartesiano é dividido em quadrantes. Sobre os quadrantes do plano cartesiano, considerando um ponto A (x, y), em que x > 0 e y < 0, temos um ponto que pertence ao:

A) primeiro quadrante

B) segundo quadrante

C) terceiro quadrante

D) quarto quadrante

E) eixo das abscissas

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Questão 4

(USP) Uma das diagonais de um quadrado tem extremidades A (1; 1) e C (3; 3). As coordenadas dos outros dois vértices são:

A) (2; 3) e (3; 2)

B) (3; 1) e (1; 3)

C) (3; 0) e (1; 4)

D) (5; 2) e  (4; 1)

E) nenhuma das anteriores

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Questão 5

(Enem Digital 2020) O gráfico mostra o início da trajetória de um robô que parte do ponto A (2; 0), movimentando-se para cima ou para a direita, com velocidade de uma unidade de comprimento por segundo, no plano cartesiano.

O gráfico exemplifica uma trajetória desse robô, durante 6 segundos.

Supondo que esse robô continue essa mesma trajetória, qual será sua coordenada, após 18 segundos de caminhada, contando o tempo a partir do ponto A?

A) (0; 18)

B) (18; 2)

C) (18; 0)

D) (14; 6)

E) (6; 14)

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Questão 6

(FGV) Em um paralelogramo, as coordenadas de três vértices consecutivos são, respectivamente, (1, 4), (-2, 6) e (0, 8). A soma das coordenadas do quarto vértice é:

A) 8
B) 9
C) 10
D) 11
E) 12

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Questão 7

Analisando a imagem, as coordenadas do ponto A são:

A) (3, 2)

B) (-3, 2)

C) (-3, -2)

D) (-2, 3)

E) (-2, 3)

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Questão 8

No plano cartesiano a seguir, estão marcados alguns pontos. Podemos afirmar que pertencem ao quarto quadrante os pontos:

A) G e E

B) D e A

C) D, A e J

D) F e J

E) G, E, O e B

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Questão 9

Nas aulas de geografia, a professora Kárita registrou num sistema ortogonal as coordenadas de alguns pontos estratégicos da cidade, em que os valores da abscissa e da ordenada são dados em quilômetros. Além disso, a origem é o centro da cidade.

Analisando o plano, as coordenadas do banco são:

A) (2, -3)

B) (-3, 2)

C) (3, 2)

D) (2, 3)

E) (2, -3)

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Questão 10

Região metropolitana

Região metropolitana é um recorte político-espacial complexo que envolve uma cidade central (metrópole) e polariza e dinamiza as demais cidades ao redor, influenciando-as econômica, social e politicamente.

A polarização de uma cidade refere-se à capacidade de assumir a concentração dos principais equipamentos urbanos de uma determinada região, como serviços públicos, centros comerciais, de lazer, educação etc. Já a dinâmica é estabelecida pelo movimento que se observa nas cidades, como o fluxo de pessoas, carros e empresas, bem como o sentido desses movimentos.

MOTA, Hugo. O que é região metropolitana? Brasil Escola. Disponível em: https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/geografia/o-que-e-regiao-metropolitana.htm.

A região metropolitana em Goiás tem como metrópole a cidade de Goiânia, que é a capital do estado, e é composta por mais 20 municípios. Uma fábrica de vidro decidiu mapear quais são as cidades em que ela possui clientes nessa região. Para isso, ela usou um polígono, em que os vértices são as cidades-limites que eles atendem para aquela região, conforme o plano cartesiano a seguir.

Analisando a construção do plano cartesiano, as coordenadas da cidade de Hidrolândia e Terezópolis de Goiás são, respectivamente:

A) (4, 0) e (3, 1)

B) (0, -4) e (1, 3)

C) (1, 3) e (0, 4)

D) (0, -4) e (3, 1)

E) (3, 1) e (-4, 0)

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Questão 11

Sobre o plano cartesiano, julgue as afirmativas a seguir:

I - Os pontos no plano cartesiano são conhecidos como par ordenado.

II - No primeiro quadrante, o par ordenado (x, y) é composto por dois números positivos.

III - No quarto quadrante, o par ordenado (x, y) é composto por dois números negativos.

As afirmativas I, II e III são, respectivamente:

A) Verdadeira, falsa e verdadeira.

B) Falsa, verdadeira e verdadeira.

C) Verdadeira, verdadeira e falsa.

D) Falsa, verdadeira e falsa.

E) Verdadeira, verdadeira e verdadeira.

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Questão 12

A figura mostra o mapa de um bairro, no qual estão localizados alguns edifícios.

Para localizar um dos edifícios, deve-se utilizar uma letra para indicar a coluna, seguido de um número para indicar a linha na qual o edifício está posicionado.

Segundo as informações apresentadas, a localização Q5 se refere a que edifício?

A) Cinema

B) Posto

C) Restaurante

D) Supermercado

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Respostas

Resposta Questão 1

Alternativa A

I → Verdadeira

II → Falsa, pois os pontos que possuem x negativo e y positivo estão no segundo quadrante.

III → Falsa, o eixo vertical é conhecido também como eixo das ordenadas e não das coordenadas.

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Resposta Questão 2

Alternativa C

Realizando a representação dos pontos no plano cartesiano:

É possível perceber que o único quadrante que não possui nenhum ponto é o III.

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Resposta Questão 3

Alternativa D

Analisando esse ponto, sabemos que x é positivo e y é negativo. O quadrante em que pontos como esse estão é o quarto.

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Resposta Questão 4

Alternativa B

Primeiro faremos a representação dos pontos no plano cartesiano:

Sabendo que AC é a diagonal de um quadrado, é possível encontrar os outros vértices, B e D, de modo que ABCD seja um quadrado. Os vértices B e D são os pontos B (3, 1) e D (1, 3), conforme o plano cartesiano a seguir:

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Resposta Questão 5

Alternativa D

Analisando o gráfico, veremos que, em 6 segundos, o robô andou 4 unidades no eixo das abcissas e 2 unidades no eixo das ordenadas. Então, partindo do ponto A, e mantendo a mesma trajetória, sabemos que 18 é o triplo de 6, então, em 18 segundos, o robô vai andar 4 · 3 = 12 unidades no eixo x e 2 · 3 = 6 unidades no eixo y. Sabendo que ele parte do ponto (2, 0), temos que:

P (2 + 12; 0 + 6)

P (14; 6)

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Resposta Questão 6

Alternativa B

Seja A (1, 4), B (-2, 6) e C (0, 8), queremos encontrar o vértice do ponto D (x, y). Primeiro representaremos graficamente esses pontos:

Analisando o comportamento dos três pontos, é possível perceber que o ponto D estará à direita do ponto A. Note que, na distância horizontal, o segmento AD terá que ser paralelo ao segmento BC. Para isso, o ponto D precisará estar para o ponto A assim como o ponto C está para o ponto B. Note que a distância horizontal de B até C é de 2 unidades e que a distância vertical também é de 2 unidades.

Dessa forma, para encontrar as coordenadas do ponto D, basta somar 2 unidades para x e para y nas coordenadas do ponto A.

D (1 + 2, 4 + 2)

D (3, 6)

Queremos a soma das coordenadas desse vértice: 3 + 6 = 9.

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Resposta Questão 7

Alternativa C

Analisando a malha quadriculada, é possível perceber que o ponto A possui coordenadas (-3, -2).

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Resposta Questão 8

Alternativa A

O quarto quadrante é o que possui valores de x positivo e de y negativo. Os pontos que pertencem ao quarto quadrante são G e E.

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Resposta Questão 9

Alternativa B

Analisando o plano cartesiano, é possível perceber que as coordenadas do banco são o ponto (-3, 2).

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Resposta Questão 10

Alternativa D

Analisando o plano cartesiano, as coordenadas são:

Hidrolândia (0, -4)

Terezópolis de Goiás (3, 1)

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Resposta Questão 11

Alternativa C

I → Verdadeira, pois os pontos no plano cartesiano são formados por um valor para x e outro para y, respeitando a ordem (x, y).

II → Verdadeira, pois o primeiro quadrante possui x e y > 0.

III → Falsa, pois o quarto quadrante possui x > 0 e y < 0, ou seja, somente a ordenada é negativa.

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Resposta Questão 12

Alternativa A

Analisando a descrição para cada linha e para cada coluna, é possível observar que o elemento que está na coluna Q e na linha 5 é o cinema.

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