A lei dos cossenos, conhecida também como teorema dos cossenos, é aplicada em triângulos não retângulos para encontrar a medida de lados desconhecidos utilizando o cosseno. Show
Também conhecida como teorema dos cossenos, a lei dos cossenos demonstra uma relação entre a medidas dos lados de um triângulo e um ângulo. Para encontrar a medida de um dos lados de um triângulo, conhecendo a medida do ângulo oposto a esse e dos outros dois lados, recorremos à lei dos cossenos. A fórmula da lei dos cossenos para encontrar a medida do lado a é a² = b² + c² – 2 · b · c · cosA. Logo, a lei dos cossenos determina que o quadrado de um dos lados do triângulo é igual à soma dos quadrados dos outros dois lados, menos o dobro do produto de ambos pelo cosseno do ângulo formado entre eles. A principal aplicação da lei dos cossenos é encontrar medidas desconhecidas em um triângulo. Note que, nesse caso, o triângulo não precisa ser retângulo, como nas razões trigonométricas e no teorema de Pitágoras. Leia também: Seno, cosseno e tangente — razões trigonométricas usadas para relacionar as medidas de lados e ângulos de um triângulo Resumo sobre a lei dos cossenos
a² = b² + c² – 2b · c · cosA b² = a² + c² – 2a · c · cosB c² = a² + b² – 2a· b · cosC Videoaula sobre a lei dos cossenosNão pare agora... Tem mais depois da publicidade ;) Fórmula da lei dos cossenosConhecemos como lei dos cossenos, ou teorema dos cossenos, uma relação entre os lados e ângulos de um triângulo. A lei dos cossenos mostra que o quadrado de um dos lados do triângulo é igual à soma dos quadrados dos outros dois lados, menos o dobro do produto de ambos pelo cosseno do ângulo formado entre eles. As fórmulas da lei dos cossenos são: a² = b² + c² – 2b · c · cosA b² = a² + c² – 2a · c · cosB c² = a² + b² – 2a · b · cosC Demonstração da lei dos cossenosPara demonstrar a lei dos cossenos, primeiramente construiremos um triângulo de lados ABC.Opostos aos ângulos A, B e C, os lados terão medidas a, b e c, respectivamente. O segmento DC mede a – m, como na imagem a seguir. De início, analisando o triângulo ABD, constatamos que: cosB = m/c c · cosB = m Agora, aplicamos o teorema de Pitágoras, obtendo: c² = m² + h² Podemos reescrever isso como: h² = c² – m² Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo ACD: b² = h² + (a – m)² b² = h² + a² – 2am + m² Sabemos que h² = c² – m², então substituindo h² por c² – m², obtemos: b² = c² – m² + a² – 2am + m² b² = c² + a² – 2am Sabemos também que m = c · cosB, então: b² = c² + a² – 2a · c · cosB Fica demonstrada, assim, a lei dos cossenos. Para as demais relações, a forma de demonstração é a mesma. Veja também: Lei dos senos — estabelece identidades trigonométricas para um triângulo qualquer Aplicação da lei dos cossenosVejamos a seguir uma aplicação da lei dos cossenos para encontrar a medida do lado x no triângulo a seguir. Aplicando a lei dos cossenos, temos: x² = 5² + 8² – 2 · 5 · 8 · cos60° x² = 25 + 64 – 80 · cos60° Consultando o valor do cos60°, descobrimos ele equivale a 1/2. Dessa forma, calculamos o seguinte: Portanto, a medida de x é 7 cm. Saiba mais: Cosseno da soma e diferença de dois arcos — auxilia o cálculo de funções circulares Exercícios resolvidos sobre lei dos cossenosQuestão 1 (Funiversa) Investigações de um crime com arma de fogo indicam que um atirador atingiu diretamente dois pontos, B e C, a partir de um único ponto A. São conhecidas as distâncias: AC = 3 m, AB = 2 m e BC = 2,65 m. A medida do ângulo formado pelas duas direções nas quais o atirador disparou os tiros é mais próxima de: A) 30° B) 45° C) 60° D) 75° E) 90° Resolução: Alternativa C Sendo A o ângulo que queremos descobrir, temos: a² = b² + c² – 2 · b · c · cosA 2,65² = 3² + 2² – 2 · 3 · 2 · cosA 7,0225 = 9 + 4 – 12 · cosA Como queremos o valor aproximado, arredondamos 7,0225 para 7: 7 = 9 + 4 – 12 · cosA 7 = 13 – 12 · cosA 7 – 13 = – 12 · cosA – 6 = – 12 · cosA – 6 : ( – 12) = cosA 0,5 = cosA O ângulo que possui cosseno igual a 0,5 é o ângulo de 60°. Questão 2 (Enem 2017) Uma desenhista projetista deverá desenhar uma tampa de panela em forma circular. Para realizar esse desenho, ela dispõe, no momento, de apenas um compasso, cujo comprimento das hastes é de 10 cm, um transferidor e uma folha de papel com um plano cartesiano. Para esboçar o desenho dessa tampa, ela afastou as hastes do compasso de forma que o ângulo formado por elas fosse de 120°. A ponta seca está representada pelo ponto C, a ponta do grafite está representada pelo ponto B e a cabeça do compasso está representada pelo ponto A conforme a figura. Após concluir o desenho, ela o encaminha para o setor de produção. Ao receber o desenho com a indicação do raio da tampa, verificará em qual intervalo este se encontra e decidirá o tipo de material a ser utilizado na sua fabricação, de acordo com os dados. O tipo de material a ser utilizado pelo setor de produção será A) I. B) II. C) III. D) IV. E) V. Resolução: Alternativa D O compasso forma com o raio da circunferência um triângulo com um ângulo de 120°, um lado oposto a esse ângulo igual ao raio R da circunferência e os outros dois lados com 10 cm cada. Então, aplicando a lei dos cossenos: Como 17 está entre 15 e 21, será escolhido o material IV. Qual a relação entre os lados de um triângulo?Num triângulo, a lados iguais, opõe-se ângulos iguais. Assim, também é fácil de compreender que ao maior lado se opõe o maior ângulo, e que ao menos lado se opõe o menor ângulo.
Qual é a relação entre o número de lados é o número de triângulo?Em todo polígono, o número de lados é igual ao número de ângulos.
Quais são as medidas dos lados de um triângulo?Em particular, a medida de seus lados obedecem o Teorema de Pitágoras: a² + b² = c², onde c é o maior lado e lado oposto ao ângulo reto.
Qual é a relação entre as medidas dos lados é entre as medidas dos ângulos desse quadrilátero?Resposta verificada por especialistas. A relação entre as medidas dos lados e dos ângulos é: os lados são diretamente proporcionais e os ângulos são congruentes.
Como classificar o triângulo de acordo com as medidas dos lados?A outra classificação baseia-se na comparação entre os lados. Nesse caso, um triângulo pode ser escaleno, quando todos os lados possuem medidas diferentes; isósceles, quando existem dois lados que possuem mesma medida; ou equilátero, quando todos os lados são congruentes.
Qual a relação entre ângulos é triângulos?A soma dos ângulos internos de qualquer triângulo retângulo é igual a 180º, no caso do triângulo retângulo que um dos ângulos sempre terá medida igual a 90º os outros dois serão complementares, ou seja, a sua soma será 90º.
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