Cone e Pirâmide Show
Um cone K, tendo como base uma figura plana F, e como vértice um ponto P situado fora do plano de F, é a reunião dos segmentos de reta que ligam o ponto P a todos os pontos de F. O plano que contém a base F do cone K será considerado horizontal. A distância do vértice P a este plano, ou seja, o comprimento perpendicular baixada de P sobre o plano, chama-se altura do cone.
Levantemos BE e CF, perpendiculares ao plano ABC, de comprimentos iguais ao de AD. Obtemos um prisma reto de bases ABC e DEF. Como o volume desse prisma é igual ao produto da área da base pela altura, basta mostrar que ele pode ser decomposto em 3 pirâmides, cada uma delas com volume igual ao da pirâmide ABCD. Ora, as 3 pirâmides são a própria ABCD, a pirâmide DEFC (com base DEF congruente à base ABC da pirâmide ABCD e com mesma altura FC = AD) e a pirâmide BCDE, que tem a mesma base BCD que a pirâmide ABCD e a mesma altura relativa a essa base. Obs.: Precisamos atentar para o fato de que cada pirâmide tem por base uma figura geométrica diferente da outra e por isso cada uma terá sua fórmula específica, por exemplo: Uma pirâmide que tem por base um quadrado terá sua fórmula igual a  No Módulo II desta disciplina, estudaremos mais sobre semelhança e isso nos permitirá entender melhor os passos que deixamos implícitos e que nos ajudam a compreender como se obtem o volume de cones e pirâmides. Voltar Os polígonos, você lembra, são figuras de duas dimensões, relacionadas aos lados e à altura, que permitem calcular sua área. Já as figuras tridimensionais, chamados sólidos geométricos, têm três dimensões: altura, comprimento e largura. Com essas
medidas encontramos o volume de um prisma – ou seja, o espaço que ele encerra. Os sólidos geométricos são divididos em duas grandes famílias: PoliedrosOs poliedros têm, pelo menos, quatro faces. Os polígonos que formam os lados das faces do poliedro compartilham lados entre si, formando as arestas. Os pontos onde três ou mais arestas se encontram são os vértices do poliedro. Os poliedros regulares são aqueles formados exclusivamente por polígonos regulares, ou seja, polígonos com lados iguais. Além disso, os poliedros regulares são formados por polígonos de mesmo formato e com o mesmo número de lados: só quadrados, só triângulos equiláteros ou só pentágonos regulares. RELAÇÃO DE EULERTodo poliedro convexo obedece à relação de Euler, que define o número de vértices (V) e faces (F) em função do número de arestas (A): PrismasSão poliedros em que duas das faces, de for- mato idêntico, se encontram em planos paralelos.
Se os polígonos das bases forem polígonos regulares, isto é, polígonos com todos os lados de mesma medida, então o prisma é chamado de prisma regular Um prisma pode ser reto ou oblíquo: ÁREA DE PRISMAQual é a área total de um prisma regular, reto, de bases quadradas, com altura de 10 cm e aresta das bases de 3 cm? Se o prisma é regular, então os lados da base são iguais: as base são quadrados. Se o prisma é reto, então as faces laterais são
perpendiculares às bases. Este é o prisma: A área de um prisma regular e reto é: Atotal = Abases + Afaces Cada base é um quadrado. Então, Abases = a2 Cada face é um retângulo. Então, face = a . h Preste atenção: você tem de levar em conta que o prisma tem duas bases e quatro faces: Os prismas também podem ser classificados
conforme o tipo de polígonos das bases: A área total de um prisma é a soma das áreas dos polígonos que formam as faces laterais e a área das bases. Atotal = Abase + Afaces As medidas das áreas laterais são sempre áreas de quadriláteros (polígonos de quatro lados). Se o prisma for reto, as faces laterais são retângulos. O cubo é o prisma regular e reto mais simples que existe. Um cubo tem seis lados, todos quadrados. Paralelepípedo reto-retânguloUma caixa de leite é um paralelepípedo reto-retângulo: um prisma reto de bases quadradas. É importante saber calcular a medida das diagonais desse
tipo de paralelepípedo. Veja: Essa é a fórmula para encontrar a diagonal de um paralelepípedo reto-retângulo de dimensões a, b e c. PirâmidesPirâmide é o sólido que tem uma única base, formada de um polígono qualquer, e faces laterais na forma de triângulos com um vértice em comum. Uma pirâmide também pode ser reta ou oblíqua. Pirâmides que têm como base um polígono regular (de lados de mesma medida) são chamadas pirâmides regulares. Se a pirâmide for regular e reta, então os triângulos das faces laterais serão isósceles, ou equiláteros (no caso de triângulos de lados de mesma medida). Como ocorre com qualquer sólido, o cálculo da área total de uma pirâmide é a soma das áreas da base e de cada face, no caso, cada triângulo: Atotal = Abases + Afaces ÁREA DE PIRAMIDECalcule a área total de uma pirâmide reta, de base quadrada, com 8 cm de aresta da base e 3 cm de altura. Desenhando a pirâmide: Atotal = Abase + Afaces A base é um quadrado de 8 cm de lado. Então, Abase = 8 . 8 = 64 cm2 As faces são quatro triângulos isósceles. Sabemos que a base mede 8 cm (a mesma medida de um lado da base). Mas atenção: a altura da pirâmide não é a altura dos triângulos (que estão inclinados). Calculamos essa altura com um truque: criamos um novo triângulo no qual um dos lados é o eixo central da pirâmide, do centro da base até o vértice (CV). E os dois lados são os pontos CM e MV. Veja: Para o triângulo CMV, sabemos que CV = hpirâmide = 3 cm Repare que o lado CM do triângulo vale metade de um lado da base: Repare, também, que o triângulo CMV é um triângulo retângulo. Então podemos aplicar o teorema de Pitágoras e descobrir a medida do lado VM, a hipotenusa desse triângulo: Esta, sim, é a altura de cada triângulo das faces da pirâmide. Agora podemos calcular a área dos triângulos isósceles, pela fórmula da área de qualquer triângulo: Como a pirâmide tem quatro triângulos nas faces, a área das faces soma 4 . 20 = 80 cm2. Voltando ao início da resolução, a área total da superfície da pirâmide é a soma da área da base e as áreas das faces: Atotal = Abase + Afaces • Atotal = 64 + 80 = 144 cm2 CILINDRONuma definição informal, cilindro é o sólido geométrico com duas bases paralelas e
circulares. Cilindros cujas paredes laterais são perpendiculares à base são chamados cilindros retos. Caso contrário, temos um cilindro oblíquo. Um plano pode cortar um cilindro de diferentes maneiras. Se o corte se der por um plano paralelo às bases, a chamada seção transversal será um círculo. Se o plano for perpendicular às bases e passar pelo eixo do cilindro (seção meridiana), a seção é sempre um paralelogramo. Se o cilindro for reto, a seção meridiana terá a forma de um retângulo. Como nos demais sólidos, a área total de um cilindro é a soma das áreas das bases e da lateral. Fica fácil entender como se calcula essa área com a planificação do cilindro. Planifcar signifca “abrir” o sólido em suas componentes planas. Veja o formato que um cilindro planificado tem: Repare que o cilindro é formado pela associação de dois círculos e um retângulo. Sabemos que: Atotal = Abases + Alateral
Um dos lados do retângulo corresponde à altura do cilindro: h. Então, a área lateral é dada por: Então a área total de um cilindro é: ConeExistem dois tipos de cones: o cone reto tem o eixo perpendicular à base. Quando o eixo é inclinado, temos um cone oblíquo. Quando um cone reto é cortado por um plano paralelo à sua base (seção transversal), a visão que se tem é a de um círculo. A figura abaixo mostra um cone planificado. A base do cone é um círculo cuja circunferência mede 2πr. Assim, a área da base é a área de um círculo: Abase = π . r2 Na lateral, a letra g representa um segmento de reta qualquer que liga um ponto da circunferência da base do cone a seu vértice. A superfície lateral do cone, planificada, é um setor circular – uma parte de um círculo, como um pedaço de pizza, de raio g. E a área total é a soma das duas áreas: Volume de sólidosO volume de prismas e cilindros é dado por: O volume de pirâmides e cones é uma fração do volume de prismas e cilindro. Têm volumes iguais, também, dois sólidos de diferentes formatos, desde que eles apresen- tem a mesma altura, a mesma área na base e, também, a mesma área numa seção transversal cortada à mesma altura. Este é o princípio de Cavalieri. Veja: Volume da pirâmide e do coneUma pirâmide tem um terço do volume de um prisma com a mesma base e mesma altura. Portanto, o volume da pirâmide é dado por A mesma relação é válida entre o cone e o cilindro: ÁREA E VOLUME DO PRISMAUma caixa de 1 litro é um prisma reto, de bases quadradas e faces laterais retangulares. Sabendo que as bases têm lado igual a 5 cm, quais as dimensões de cada retângulo das faces laterais? Este é o formato da caixa: Se as bases são quadradas, a área de cada uma delas é
a área de um quadrado: O volume, sabemos, é 1 litro. V = Abase . h Então, os retângulos que formam as laterais têm 40 cm de altura por 5 cm de largura. E qual a área superficial total do prisma? Para a área de cada uma das bases quadradas: São duas bases, então a área total das bases é 50 cm2. Para a área lateral: Se a base é quadrada, então só podem existir quatro retângulos. Por fim, somando a área das bases e das laterais,
temos: EQUIVALÊNCIA DE VOLUMESDois sólidos geométricos, um prisma de base hexagonal e um cilindro, têm o mesmo volume. Além disso, ambos têm a mesma altura. Se a aresta da base do prisma mede 10 cm, qual é a medida do raio
da base do cilindro? Sabemos que dois sólidos têm volume igual desde que suas alturas e bases sejam iguais. O hexágono (base do prisma) tem área equivalente a 6 triângulos equiláteros de lados 10 cm. Sua área, portanto, é: Se o círculo (base do cilindro) tem essa área, é fácil encontrar o tamanho do raio: VOLUME DA PIRÂMIDE Calcule o volume de uma pirâmide regular, de base hexagonal, com arestas da base medindo 5 cm e altura 10 cm. Primeiro, vamos calcular a área do hexágono da base. Um hexágono regular é formado por seis triângulos de lados iguais. Neste caso, o lado de cada triângulo vale 5 cm. Sabemos também que a área do triângulo equilátero em função do lado é dada por: Se o hexágono tem seis triângulos, então, O volume da pirâmide é um terço do volume de um prisma de mesma base e mesma altura: Portanto, Qual é a diferença entre pirâmide e cone?Um cone é uma figura comum semelhante a uma pirâmide na qual a base é um círculo ou outra forma curva fechada em vez de um polígono. Um cone tem uma superfície lateral curva em vez de várias faces triangulares, mas quando se trata de volume, um cone e uma pirâmide são semelhantes.
Qual a diferença entre prisma pirâmide e cone?Uma diferença é que os cones possuem base circular, já as pirâmides possuem como base os polígonos convexos.
O que a pirâmide tem de diferente?Existem diferentes tipos de pirâmide, como de base triangular, quadrangular, pentagonal, hexagonal, entre outras. A pirâmide pode ser classificada como reta se a altura for o segmento que sai do centro do polígono da base até o vértice ou oblíqua caso contrário.
O que é esfera pirâmide e cone?Sólidos geométricos são figuras geométricas que possuem três dimensões e, por isso, só podem ser definidas no espaço tridimensional. São exemplos de sólidos geométricos cone, esfera, pirâmide e prisma.
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Qual é a diferença entre um cone e uma pirâmide?
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