Qual é o valor da velocidade do objeto lançado verticalmente do solo para cima quando este atingir a altura máxima?

Índice

Introdução

A queda livre de um corpo é um movimento no qual o corpo é abandonado de um certa altura e cai acelerado, exclusivamente por efeito da gravidade. No lançamento vertical, o corpo é lançado com uma velocidade inicial e sofre somente a aceleração da gravidade.

No estudo de ambos movimentos, será desprezada a força de resistência do ar. Assim, serão movimentos retilíneos com a aceleração constante (gravidade). Ou seja, são casos particulares de um MRUV. Portanto, serão aplicadas as mesmas equações do MRUV.

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Queda Livre

Nesse caso, como o corpo é abandonado, a velocidade inicial é zero, e a aceleração é a gravidade (g). Então, a equação horária da velocidade pode ser escrita como:

\[ v=v_{0}+a\qquad t \qquad \xrightarrow{}\qquad v=g \qquad t \]

A velocidade instantânea é diretamente proporcional ao tempo de queda.

Além disso, S-S0 (\(\Delta S\)) será a altura que o corpo terá percorrido durante certo tempo. Assim, pode-se escrever a equação horária da posição como:

\[ S-S_{0}=v_{0}\qquad t + \dfrac{a\qquad t^{2}}{2}  \qquad \xrightarrow{}\qquad H=\dfrac{g\qquad t^{2}}{2} \]

Essa equação denota que a altura percorrida depende do quadrado do tempo de queda, ou seja, uma relação quadrática. Assim, o gráfico H x t será uma parábola, como é esperado em um MRUV.

Caso seja desejado o tempo de queda, basta isolar t na equação anterior, obtendo:

\[ t=\sqrt{\dfrac{2H}{g}} \]

É importante prestar atenção no referencial adotado. Nessa equação, H é a altura percorrida nos t segundos de queda, de cima para baixo.

O referencial muda a diireção das forças.

Ao aplicar essas equações, é muito comum aproximar a gravidade na superfície da Terra para g=10 m/s2. Se for considerada uma situação na Lua ou em outro planeta, a gravidade assumirá outro valor.

Exemplo: uma pedra é abandonada do topo de um edifício de 45 metros de altura. Determine:

• A altura em que a pedra se encontra após 1 segundo de queda;
• O tempo total de queda, até a pedra atingir o chão;
• A velocidade com a qual a pedra chega no chão.

Resolução:

• Depois de 1 segundo, a pedra terá percorrido:

  \[ H=\dfrac{g\qquad t^{2}}{2} \qquad \xrightarrow{}\qquad H=\dfrac{10\cdot 1^{2}}{2}=5 \qquad m \]

   Contudo, como a altura inicial era de 45 metros, e a pedra caiu 5 metros, sua altura após 1 segundo será de 40 metros em relação ao chão.

• Para o tempo, pode-se utilizar a mesma equação, mas dessa vez com a altura total, a fim de descobrir o tempo total:

  \[ H=\dfrac{g\qquad t^{2}}{2} \qquad \xrightarrow{}\qquad 45=\dfrac{10\cdot t^{2}}{2} \]

  \[ \dfrac{90}{10}=t^{2}\qquad \xrightarrow{}\qquad 9=t^{2} \qquad \xrightarrow{}\qquad t=3 \qquad s \]

  Também poderia ser utilizada diretamente a fórmula para o tempo, que fornece o mesmo resultado:

   \[ t=\sqrt{\dfrac{2 \qquad H}{g}} \qquad \xrightarrow{}\qquad t=\sqrt{\dfrac{2\cdot 45}{10}}\qquad \xrightarrow{}\qquad t=3 \qquad s  \]

• Sabendo o tempo de queda, pode-se utilizar a função horária da velocidade:

  \[ v=g \qquad t \qquad \xrightarrow{}\qquad v=10\cdot 3 \qquad \xrightarrow{}\qquad v=30 \qquad m/s \]

  Também poderia-se determinar a velocidade através da equação de Torricelli:

  \[ v^{2}={v_{0}}^{2} + 2\cdot a\cdot \Delta S \qquad \xrightarrow{}\qquad v^{2}=0^{2}+2\cdot10\cdot45 \]

   \[ v^{2}=900 \qquad \xrightarrow{}\qquad v=30 \qquad m/s \]

Desse exemplo, percebe-se que em 3 segundos de queda, um corpo percorre 45 metros. A tabela abaixo correlaciona os tempos de queda mais comuns em problemas, com suas respectivas alturas (através da fórmula H=\frac{g t^{2}}{2}):

Ainda no exemplo anterior, foi visto que no primeiro segundo de queda a pedra percorreu 5 metros. É possível calcular o quanto ela percorreu no 2º e no 3º segundos de queda:

Com t=2 segundos, têm-se H=20 metros. Ou seja, em dois segundos, o corpo percorreu 20 metros. Mas desses 20 metros, 5 já haviam sido percorridos no primeiro segundo. Assim, entre t=1 e t=2, a pedra percorreu 15 metros.

Usando o mesmo raciocínio, entre t=2 e t=3 a pedra percorreu 45-20 = 25 metros.

As distâncias percorridas a cada segundo extra de queda formam uma progressão aritmética, de razão igual à aceleração, que tem relação com a P.A. de Galileu.

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Lançamento Vertical para Cima

Ao analisar o lançamento vertical para cima, novamente serão aplicadas as equações do MRUV. Nesse caso, é mais conveniente estabelecer um referencial orientado de baixo para cima.

Assim, a velocidade inicial é positiva (para cima) e a aceleração é negativa.

\[ v=v_{0}-g \qquad t \]

Como o corpo lançado vai subir e, posteriormente, descer, haverá um tempo de subida e uma altura máxima atingida, além, é claro, do tempo de descida.

O tempo de subida é mais facilmente determinado utilizando a função horária da velocidade. No ponto mais alto da trajetória, o móvel está invertendo o sentido do movimento (estava subindo e passa a descer). Portanto, nesse instante, sua velocidade é nula. Assim:

\[ v=v_{0}-g \qquad t \qquad \xrightarrow{}\qquad 0=v_{0}-g \qquad t_{s} \]

\[ t_{s}=\dfrac{v_{0}}{g} \]

O tempo de descida será igual ao tempo de subida. Isso ocorre pois a parábola que descreve um MRUV é simétricaem relação ao seu vértice, que é justamente o ponto de inversão do sentido do movimento.

A partir desse ponto, onde a velocidade é nula, o movimento é idêntico a uma queda livre (caindo acelerado com velocidade inicial zero). Desse modo, pode-se utilizar a expressão \(H=\frac{gt^2}{2}\):

• \[ t_{d}=t_{s}=\dfrac{v_{0}}{g} \]
•  \[  H_{max}=\dfrac{g\qquad {t_{d}}^{2}}{2} \]

Substituindo:   

\[ H_{max}=\dfrac{{v_{0}}^{2}}{2\qquad g} \]

Para uma posição e instante genéricos do lançamento, basta aplicar a equação horária da posição, tendo cuidado com o referencial adotado.

\[ \Delta S = H = v_{0}\qquad t - \dfrac{g\qquad t^{2}}{2} \]

Observação: o tempo de subida e descida são iguais quando considerada a altura final igual à inicial. Por exemplo, o corpo sendo lançado do chão e retornando ao chão, ou lançado de um telhado e retornando ao telhado.

Se o corpo for lançado a partir de um telhado, para cima, e finalizar seu movimento no chão, seu tempo de descida será maior que o de subida, pois percorrerá maior distância na descida que na subida.

Nesse caso de tempo de descida igual ao tempo de subida, ainda pode-se determinar o tempo total de vôo:

\[ t_{voo}=t_{s}+t_{d}=\dfrac{2\qquad v_{0}}{g} \]

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Lançamento Vertical para Baixo

Em um lançamento vertical para baixo, são aplicadas as equações do MRUV, sem grande simplificação. É importante ter atenção para o referencial adotado, especialmente se o problema envolver mais de um movimento (entre lançamento para cima, para baixo e queda livre).

Se isso ocorrer, deve ser utilizado o mesmo referencial para analisar os diferentes movimentos.

Se for considerado somente o lançamento para baixo, pode ser mais conveniente usar o primeiro referencial exemplificado.

Relembrando as equações do MRUV que são aplicadas:

\[ S=S_{0} + v_{0}\qquad t + \frac{a \qquad t^{2}}{2} \]  e  \[ v=v_{0} + a\qquad t \]

Nelas, a aceleração será +g ou -g.

Além disso, tanto nos lançamentos verticais quanto na queda livre pode ser aplicada a equação de Torricelli:

\[ v^{2}=v_{0}^{2}+2\qquad a\qquad \Delta S \]

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