Utilizando o geogebra interprete geometricamente cada sistema a seguir

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Trabalho que relaciona os sistemas lineares com software educativos (Geogebra, Winplot, Máxima)

Trabalho que relaciona os sistemas lineares com software educativos (Geogebra, Winplot, Máxima)

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1. 1. Tópicos em Aritmética, Álgebra e Geometria para o Ensino Médio. Nome:- Carlos Alberto Spolaor e Almir Rogério Ferreira Pólo:- Votuporanga (SP) Grupo:- 08
2. 2. Introdução  Trata-se de uma atividade a ser desenvolvida na 2ª série do Ensino Médio, referente ao conteúdo Sistemas Lineares – Interpretação Gráfica.  As tarefas são organizadas para serem desenvolvidas em 6 aulas aproximadamente.  O foco principal da atividade é a utilização de softwares gráficos, em especial o Geogebra e o Winplot, onde o aluno poderá comparar a solução algébrica dos sistemas com a sua solução gráfica e verificar quais são as implicações de ambas na resolução de problemas.
3. 3. Tema Central: Sistemas Lineares Tópicos que deverão ser revisados anteriormente: •Plano Cartesiano; •Equações lineares; •Noções de sistemas.
4. 4. A História dos Sistemas Lineares • Carl Gustav Jacobi (1804 – 1851) • Pierre Simon Laplace (1749 – 1827) • Joseph Louis Lagrange (1736 – 1813) Sistema Linear • Definição e Resolução • Escalonamento • Classificação • Utilização
5. 5. Organização da turma A turma deverá ser organizada em duplas, de modo a facilitar o andamento do trabalho do professor, pois com os alunos trabalhando em equipe o ambiente fica mais interessante para o desenvolvimento das atividades, inclusive no laboratório As aulas serão ministradas em sala de aula e na sala de informática, dependendo da necessidade, conforme experiência profissional do professor.
6. 6. Recursos • Projeto Multimídia • Computador • Softwares Geogebra e Winplot devidamente instalados • Caneta, • Régua, • Caderno, • Borracha, • Outros materiais que fazem parte do Kit do aluno
7. 7. Tarefa - Aula 1 A história do desenvolvimento dos sistemas lineares através das descobertas matemáticas. Questões a serem discutidas com os alunos:- •Como era a vida dos matemáticos que descobriram a utilidade dos sistemas? Tinham computador? Como eles anotavam as suas descobertas? •Como eles faziam os seus cálculos? •Faça uma pesquisa sobre o modo de vida destes matemáticos e os apresente a classe.
8. 8. Tarefa - Aulas 2, 3 e 4 •Revisão do Plano Cartesiano •Apresentação do sistema Linear:- Denomina-se sistema linear m x n o conjunto S de m equações lineares em n incógnitas, que pode ser representado assim:
9. 9. Apresentação do Vídeo sobre escalonamento de sistemas lineares http://www.youtube.com/watch?v=LS4RYy4dp4o E o vídeo sobre classificação de um sistema linear http://www.youtube.com/watch?v=3ZGQAqBIxLY
10. 10. Sistemas Lineares: Introdução  Um terreno de 8000 m2 deve ser dividido em dois lotes. O lote maior deverá ter 1000 m2 a mais do que o lote menor. Vamos calcular a área que cada um deverá ter.  Sendo x e y, respectivamente, as áreas destinadas ao lote maior e ao lote menor; 1000 8000 yx yx
11. 11. Resolvendo este sistema, encontramos:-  Método da Substituição substituindo na 1ª equação, temos:-  Método Geométrico 4500 3500 70002 100080002 80001000 x y y y yy 1000 8000 yx yx
12. 12. Classificação de um Sistema Linear 2 x 2 Sistema Possível Determinado Indeterminado Impossível
13. 13. Interpretação Geométrica de um sistema 2 x 2 As retas concorrentes indicam que existe um única número para ordenado que é solução do sistema (sistema possível e determinado). As retas paralelas e distintas indicam que não existe par ordenado que seja solução do sistema (sistema impossível). 152 103 yx yx 52 242 yx yx
14. 14. As retas coincidentes indicam que existem infinitos pares ordenados que são soluções do sistema (sistema possível e indeterminado. 1293 862 yx yx
15. 15. Tarefas - Aulas 5 e 6 O professor deverá trabalhar no laboratório de informática, utilizando o software Geogebra. • Apresentação do Geogebra; • Solução de sistemas lineares • Classificação de um sistema linear • Estudo geométrico dos sistemas lineares • Atividades Tutorial Geogebra:- http://diadematematica.diadematematica.com.br/modu les/mastop_publish/?tac=10
16. 16. Atividade 1 Resolva o sistema através de escalonamento, classificando-o e interprete o mesmo geometricamente através do winpot. 1 - O supermercado Comprebem em Uberaba gasta o dobro da energia elétrica do que o de Araxá, e o depósito da rede em Uberaba gasta o triplo da energia elétrica do que o de Araxá. Em tempos de racionamento de energia elétrica, o proprietário negociou com a concessionária e conseguiu uma cota mensal de 13000 kWh para a soma do consumo dos seus dois estabelecimentos de Uberaba e 5000 kWh para a soma do consumo dos seus dois estabelecimentos de Araxá. Considerando que as cotas foram utilizadas em sua totalidade, responda:- a) Qual o consumo de cada loja? b) Observe o gráfico e responda quanto a classificação do sistema. c) Qual é o consumo das lojas da cidade de Uberaba?
17. 17. )(1300032 )(5000 Uberabayx Araxáyx Resolução:- a) x = gasto com energia do supermercado Araxá y = gasto com energia do depósito em Araxá Resolvendo o sistema, encontramos x=2000 e y = 3000, assim temos que a Loja Comprebem e o depósito de Uberaba gastam 4000 kWh e 9000 kWh, respectivamente e a loja e o depósito de Araxá gastam 2000 e 3000 kWh, respectivamente.
18. 18. b) Resolução geométrica através do Geogebra
19. 19. c) Supermercado Comprebem – 4000 kWh;Depósito 9000 kWh (Uberaba) Supermercado Comprebem – 2000 kWh – Depósito 3000 kWh (Araxá) 2) Uma empresa deve entalar uma mistura de amendoim, castanha de caju e castanha-do-pará. Sabendo-se que o quilo de amendoim custa R$ 5,00, o quilo de castanha de caju, R$ 20,00, e o quilo de castanha-do-pará, R$ 16,00. Cada lata deve conter meio quilo da mistura e o custo total dos ingredientes de cada lata deve ser R$ 5,75. Além disso, a quantidade de castanha de caju em cada lata dever igual a um terço da soma das outras duas. a) escreva o sistema linear que representa a situação descrita acima; b) resolva o referido sistema, determinando as quantidades, em gramas, de cada ingrediente por lata; c) Mostre geometricamente.
20. 20. Resolução Sendo:- a = amendoim, c= castanha de caju; p=castanha do pará, temos: 03 3 pca ap c Temos um sistema linear:- 03 5.0 75,516205 pca pca pca que transformada em matriz, temos: D= 5,0020 5,0111 75,516205 01431 5.0111 75,516205 13 LL Podemos encontrar o valor de c, )tanh(125,0 4 5,0 5,04 cajúdeacasgramasc Continuando o escalonamento, encontramos:- 5,0040 25,311150 75,516205 5 5,0040 5,0111 75,516205 12 LL fazendo as substituições necessárias em parádoacasdegramasp tanh225,0 .250 amendoimdegramasa
21. 21. Resolução através do Winplot 3D
22. 22. Atividades Propostas 1. Numa danceteria, o convite para homens custava R$ 15,00 e para mulheres, R$ 10,00. Sabendo que o número de mulheres que foram à danceteria excede 5 o número de homens e que, ao todo, foram arrecadados R$ 550,00, pergunta-se: qual é o número de homens que foram dançar lá? 2. Em um restaurante há 12 meses todas ocupadas. Algumas, por 4 pessoas; outras por apenas 2, num total de 38 fregueses. Qual é o número de mesas ocupadas por apenas 2 pessoas? 3. Rapazes e moças dançavam animadamente em uma festa. Com a saída de 8 rapazes, percebeu-se que as moças estavam para os rapazes numa proporção de 3 para 2. Mas tarde, porém, 10 moças deixaram a festa e a proporção passou a ser de 5 moças para cada 4 rapazes. Quantos rapazes e moças havia na festa?
23. 23. 4. Resolva cada sistema linear 2 x 2 usando o método da adição e geométrico através do Winplot ou Geogebra; classifique-os quanto ao número de soluções. 52 424 yx yx 865 1223 yx yx 642 15105 yx yx 5. Classifique e resolva os sistemas lineares através de escalonamento e faça sua representação geométrica. 014 032 042 yx zyx zyx 02 833 132 zy zyx zyx
24. 24. Avaliação •Habilidades para usar os softwares Geogebra e/ou Winplot; •Observar o envolvimento e a participação de cada integrante. •A socialização dos temas propostos; •Avaliação final do projeto através de um seminário com exposição dos estudados realizados; •Criação de um blog para que os alunos relatem suas experiências. •Verificar se os alunos conseguem resolver as situações propostas de maneira satisfatória;
25. 25. Conclusão • Recursos tecnológicos pode tornar a aprendizagem dos conteúdos mais atrativa e satisfatória; • A utilização dos softwares, como no caso de construção gráfica, não apresenta dificuldade, pois requer apenas razoável treinamento e pode inclusive ser um desafio e um estimulo tanto para professor como para o aluno. • No caso do conteúdo específico, Sistemas Lineares, a vantagem de desenvolvê-lo com auxílio do computador é que a análise gráfica se torna mais fácil, com melhor visual, o que possibilita abranger um maior número de situações, possibilitando assim uma aprendizagem mais plena.
26. 26. Bibliografia Dante, Luiz Roberto, Matemática, Volume Único, 2008, 1ª Edição, Editora Ática; IEZZE, Gelson, Fundamentos de Matemática Elementar, 2ª Edição 1977, Editora Atual; IEZZE, Gelson e outros, Matemática Ciência e Tecnologia, 2ª Edição, 2005, Editora Atual; SPIEGEL, Murray R., MOYER, Robert E., Coleção Schaum, Álgebra, 2ª Edição, 2004, Editora Bookman.

Como representar um sistema geometricamente?

Como resolver graficamente os sistemas?

Qual par de retas representaria a solução geométrica de um sistema impossível?