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Como se calcula a velocidade de uma onda que se propaga em uma corda esticada?A velocidade de propagação de uma onda em uma corda depende da intensidade da força de tração F a que ela está submetida e da relação da sua massa m e seu comprimento L. A relação usada para calcular a velocidade de propagação da onda na corda é: V = raiz quadrada de F/m/L (m/L = densidade linear). O que determina a velocidade de uma onda em uma corda?Numa corda, a velocidade de propagação de uma onda é proporcional à raiz quadrada da tensão e inversamente proporcional à raiz quadrada da densidade.
Qual é a frequência de uma onda que se propaga?A frequência da onda é dada pelo número de oscilações que ela realiza a cada segundo. No Sistema Internacional, essa grandeza é medida em s-1 (inverso de segundo), que é equivalente a hertz (Hz). Por exemplo: uma onda de 20 Hz realiza vinte oscilações completas a cada segundo. O que determina a velocidade de propagação de uma onda mecânica?Características. Quando uma onda mecânica se propaga há um transporte de energia cinética e potencial. A velocidade de propagação da onda mecânica depende da densidade e elasticidade do meio. O que é amplitude de uma onda transversal?Amplitude: corresponde à altura da onda, marcada pela distância entre o ponto de equilíbrio (repouso) da onda até a crista. Note que a “crista” indica o ponto máximo da onda, enquanto o “vale”, representa a ponto mínimo.
O que são ondas transversais Cite exemplos?Ondas transversais: Bem diferente das ondas longitudinais, sua direção de propagação é perpendicular a de vibração. As ondas transversais compreendem as ondas mecânicas e as ondas eletromagnéticas, por isso seus exemplos são o movimento de uma corda e o “vaivém” de uma mola como especificado na figura. Qual a velocidade de propagação de uma onda numa corda?
Como é possível determinar o comprimento de onda de uma corda?
Como calcular velocidade e comprimento de onda?
Como podemos deduzir a velocidade de uma onda?
TeoriaAnteriormente, vimos que a velocidade de uma onda está relacionada ao comprimento de onda e à frequência através de: v = λ f Entretanto, podemos dizer que ela é determinada também pelas propriedades do meio! No caso da corda... Quando se trata da velocidade de uma onda na corda, podemos calculá-la a partir da tensão no fio e da densidade linear da corda. Uma figura clássica que ilustra isso é essa aqui: Se a massa do bloco é 5kg e a densidade linear da corda é μ = 0,5 k g / m, qual será essa velocidade na corda? A equação que relaciona a força T, tração exercida no fio, a densidade linear da corda μ e a velocidade da onda na corda v é a seguinte: v = T μ Onde μ é a densidade linear de massa, que se for constante é μ = m L . <defs aria-hidden="true"> <g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)" aria-hidden="true"> </g></defs> Onde a tração na corda é o próprio peso do bloco que está em repouso: T = P = m g Substituindo temos: v = 5 × 10 0,5 = 10 m / s É isso que você tem que saber! Uma fórmula mágica que resolve todos os exercícios. Esse fenômeno que a gente viu acontece no violão, quando afinamos as cordas a tração se modifica mudando por consequência a velocidade e alterando o som emitido. Quando produzimos uma onda em uma corda esticada, fornecemos energia para que a corda se mova (lembre-se: todo mundo precisa de energia para se mover).
Conforme a onda vai se movendo na corda e se afastando de nós, vimos que ela vai transportando energia tanto na forma de energia cinética quanto na de potencial elástica. Agora vamos ver como calcular a taxa média com a qual essa energia é transmitida. A taxa média de energia transmitida não é nada mais do que a potência média da onda. Como quantificamos isso? Vamos calcular a potência média pro nosso exemplo da corda se aquele movimento tem uma frequência de 20 H z e uma amplitude 0,1 m. A potência média é dada por: P m e d = 2 μ v π A f 2 Onde: v é a velocidade da onda. μ é a densidade linear da corda. Lembra disso? A densidade linear de massa é μ = m L A é a amplitude. f é a frequência. Essa fórmula assusta né? Mas tem um jeito bom de gravar! “Me vê dois ‘piaf’ quadrados” – seja lá o que isso quer dizer. =) Se você se lembrar dessa frase, vai lembrar que: P m e d = μ v × 2 × π A f 2 Também podemos chamar a potência média de intensidade, ou seja: I = P m e d = μ v × 2 × π A f 2 Observação 1: colocando as unidades de μ, v, A e f no SI, a unidade de potência é W (watt). Não sei se você se ligou mas temos todos os nossos valores no S I então é só a gente substituir os nossos valores na equação e calcular a intensidade, se liga: μ = 0,5 k g / m v = 10 m / s A = 0,1 m f = 20 H z I = P m é d = 0,5 × 10 × 2 × π × 0,1 × 20 2 = 394,8 W Observação 2: Você também pode encontrar a expressão acima nessa forma aqui: P m e d = 1 2 μ v ω 2 A 2 Pra chegar nela é só lembrar que ω = 2 π f Observação 3: Outra equação que pode aparecer é a potência instantânea mais roots que é a origem da nossa potência aqui em cima! P = - F ∂ y ( x , t ) ∂ x ∂ y ( x , t ) ∂ t Onde F é a força sobre a corda (geralmente a tensão) e y ( x , t ) é a função da onda! Essa fórmula não é muito cobrada, mas a gente não pode dar bobeira não, hein! ;) E o que seria a densidade de energia por comprimento? Bom, a gente pode chegar nessa expressão bem facilmente. Só você pensar que a densidade de energia por comprimento é algo do tipo: δ = d E d x E que a potência por definição é: P m e d = d E d t P m e d d t = d E E aí é só jogar na outra equação: δ = P m é d d t d x E o termo d t / d x nada mais é que o inverso da velocidade v = d x / d t então reescrevendo a equação temos: δ = P m é d v Beleza? Essa é a chamada densidade média de energia total da corda. Substituindo a potência que calculamos e a velocidade que já tínhamos, a equação vai ficar: δ = 394,8 10 = 39,48 J m Também podemos encontrar a expressão da densidade média diretamente, substituindo a potência média: δ = P m é d v δ = 2 μ v π A f 2 v δ = 2 μ π A f 2 Ok, estamos prontos pra enfrentar os exercícios agora! =) Exercícios ResolvidosExercício Resolvido #1Halliday e Resnick, Fundamentos de Física, Volume 2, 8ª edição, Cap 16, pp 142-15 Qual é a velocidade de uma onda transversal em uma corda de 2,00 m de comprimento e 60,0 g de massa sujeita a uma tensão de 500 N ? Passo 1Vamos usar aqui a equação da velocidade transversal em um corda em função da densidade linear e da tensão: v = T μ Passo 2Mas antes, precisamos do valor da densidade linear μ . μ = m L = 0,06 2 = 0,03 k g / m Então, v = T μ v = 500 0,03 = 129 m / s RespostaExercício Resolvido #2USP, Física 2, Prova 1, 2014.1 – Questão 2 A tensão num fio preso em ambos os extremos é duplicada sem que haja qualquer mudança considerável em seu comprimento. Qual é a razão entre as velocidades das ondas transversais nesse fio, antes e depois do aumento de tensão?
Passo 1Galera, aqui vamos usar a equação da velocidade transversal em uma corda em função da densidade linear e da tensão: v = T μ A velocidade antes da duplicação da tensão era: v 1 = T μ E a nova velocidade será em função da nova tensão, T 2 = 2 T : v 2 = 2 T μ = 2 T μ = 2 v 1 . Logo a razão entre a velocidade antes e depois fica: v 1 v 2 = v 1 v 1 2 = 1 2 = 1 2 1 2 RespostaExercício Resolvido #3UERJ, Lista P1, Lista de Ondas, Questão 2 A densidade linear de uma corda é 1,6 × 10 - 4 kg/m. Uma onda transversal na corda é descrita pela equação: y = 0,021 sen 2,0 x + 30,0 t Na qual x e y são expressos em metros e t em segundos. Determine: a ) A velocidade de propagação da onda. <defs aria-hidden="true"> <g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)" aria-hidden="true"> </g></defs> b ) A tensão na corda. Passo 1Bom, galera, nesse tipo de questão o bizu é comparar a equação da onda dada com uma equação genérica das ondas. Lembrando que essa equação genérica pode ser escrita por: y x , t = A cos k x ± ω t + ϕ 0 Ou, usando seno: y x , t = A sen k x ± ω t + ϕ 0 A conversão de uma para outra se dá ajustando a fase. Não se assuste com esse fato, lembre-se que a função cosseno é uma translação da função seno! Passo 2a ) Bom, a equação da velocidade de uma onda em função do comprimento de onda e da frequência é: v = λ f Assim, se conseguirmos essas duas informações, conseguiremos calcular a velocidade! Vamos fazer aquela comparação de equações agora: y = 0,021 sen 2,0 x + 30,0 t Com: y x , t = A sen k x ± ω t + ϕ 0 Comparando, percebemos que: k = 2 π λ = 2,0 m -1 ↔ λ = 2 π 2 = π m ω = 30,0 s -1 ↔ 2 π f = ω = 30,0 ↔ f = 15 π s -1 Pronto! Substituindo na equação da velocidade: v = λ f → v = π ⋅ 15 π = 15 m / s Passo 3b ) Sabendo o valor da velocidade que a gente achou em a , fica fácil resolver essa! A gente só precisa lembrar dessa equação: v = T μ Nós queremos saber a tensão da corda, logo: v = T μ → T = v 2 μ O enunciado nos diz que μ = 1,6 ⋅ 10 - 4 kg / m , e sabemos que v = 15 m / s , então: T = 15 2 1,6 ⋅ 10 - 4 = 0,036 N Pronto! (: RespostaRespostas: a ) 15 m / s b ) 0,036 N Exercício Resolvido #4Halliday e Resnick, Fundamentos de Física, Volume 2, 8ª edição, Cap 16, pp 143-25 Uma corda uniforme de massa m e comprimento L está pendurada em um teto. Mostre que a velocidade de uma onda transversal na corda é função de y, a distância da extremidade inferior, e é dada por g y Passo 1Na primeira situação temos a seguinte figura: Pela condição de equilíbrio, a tensão na corda vale m g. E a densidade linear vale m y . Aplicando a fórmula: v = T μ v = m g m y = m g × y m v = g y Como queríamos demonstrar! :) RespostaEi, a resposta está no passo a passo :) Exercício Resolvido #5Halliday e Resnick, Fundamentos de Física, Volume 2, 8ª edição, Cap 16, pp 143-26 Uma corda na qual ondas podem se propagar tem 2,70 m de comprimento e 260 g de massa. A tensão da corda é 36,0 N. Qual deve ser a frequência de ondas progressivas com uma amplitude de 7,70 mm para que a potência média seja 85,0 W? Passo 1Como o problema fala de potência média, podemos aplicar a fórmula: P - = 2 μ v π A f 2 onde: v é a velocidade da onda μ é a densidade linear da corda A é a amplitude f é a frequência Não se esqueça! Me vê dois ‘piaf’ quadrados P - = μ v × 2 × π A f 2 Pelo dados do problema, temos: P - = 85,0 W μ = 0,26 2,7 = 0,096 k g / m A = 0,0077 m Falta v! Passo 2Para descobrirmos v, aplicamos a fórmula: v = T μ v = 36 0,096 = 19,36 m / s Passo 3Agora a única incógnita é a frequência f. P - = 2 μ v π A f 2 f 2 = P 2 μ v ( π 2 A 2 ) f = 1 π A P 2 μ v Substituindo os valores, chegamos a: f = 197,68 H z RespostaExercício Resolvido #6PUC, Física 2, Prova 2, 2012.1 – Questão 1 - Modificada Uma onda transversal senoidal se propaga em uma corda no sentido negativo do eixo x. A Figura abaixo mostra o deslocamento em função da posição no instante t = 0. A tensão na corda é 3,6 N e a massa específica linear 25 g / m. Assuma que a onda é da forma y x , t = y m . sen ( k . x ± ω . t + ϕ ) . a ) Determine a amplitude. b ) Encontre a velocidade da onda e a frequência da onda. c ) Calcule a taxa média de transporte de energia. Passo 1a ) Analisando o gráfico, podemos ver que a distância do eixo até um ponto de máximo, ou seja, a amplitude é: y m = 5,0 c m = 0,05 m Passo 2b ) Para determinar a velocidade, podemos usar a seguinte relação: v = T μ Substituindo os valores, temos: v = 3,6 0,025 v = 144 = 12 m / s Perceba que tivemos que passar a densidade linear para o S.I! Para calcular a frequência, podemos usar a seguinte relação: v = λ f Do gráfico, λ = 400 c m = 4 m. Então: 12 = 4 f f = 3 H z Novamente tivemos que passar para o S.I! Fique esperto! Passo 3c ) A potencia média, taxa média de transporte de energia, é dada por: P - = μ . v . 2 . π . A . f 2 Onde A é a amplitude, substituindo os valores, temos: P - = 0,025 . 12 . 2 . π . 0,05.3 2 P - = 0,133 W Respostaa ) y m = 0,05 m. b ) v = 12 m / s; f = 3 H z c ) P - = 0,133 W Exercício Resolvido #7Halliday e Resnick, Fundamentos de Física, Volume 2, 8ª edição, Cap 16, pp 143-26 Energia é transmitida a uma taxa P 1 por uma onda de frequência f 1 em uma corda sob tensão T 1 . Qual é a nova taxa de transmissão de energia P 2 em termos de P 1
Passo 1A taxa de energia transmitida é justamente a potência média. Então vamos aplicar a fórmula: P m é d = 2 μ v π A f 2 Como: <defs aria-hidden="true"> <g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)" aria-hidden="true"> </g></defs> v = T μ Chegamos a: P m é d 1 = 2 μ T 1 μ π A f 1 2 Passo 2Então se quadriplicamos a tensão: P m é d 2 = 2 μ 4 T 1 μ π A f 1 2 P m é d 2 = 4 μ T 1 μ π A f 1 2 Ou seja, P m é d 2 = 2 P m é d 1 . Passo 3Com a frequência, vamos fazer a mesma coisa: P m é d 1 = 2 μ T 1 μ π A f 1 2 Como f 2 = f 1 2 : P m é d 2 = 2 μ T 1 μ π A f 1 2 2 P m é d 2 = 2 μ T 1 μ π A f 1 2 4 Vemos então que: P m é d 2 = P m é d 1 4 Resposta
Exercícios de Livros RelacionadosA figura mostra o deslocamento y do ponto de uma corda situa Ver Mais Em um experimento com ondas estacionárias, uma corda de 90c Ver Mais Na figura a , a corda 1 tem uma massa específica linear de 3 Ver Mais Uma onda senoidal transversal se propaga em corda no sentido Ver Mais Ver Também Ver tudo sobre OndasEquação Diferencial da OndaPulso Não-HarmônicoLista de exercícios de Velocidade e Potência de uma Onda na CordaQual a velocidade da propagação da onda na corda?Numa corda, a velocidade de propagação de uma onda é proporcional à raiz quadrada da tensão e inversamente proporcional à raiz quadrada da densidade. Ou seja, aumentenado-se a tensão, aumenta-se a velocidade da propagação e aumentando-se a densidade da corda, a velocidade diminui.
Como se calcula a velocidade de propagação da onda?A velocidade de uma onda é calculada pelas equações: V = λ . f ou V = λ/T, e a unidade de medida é m/s. Essa velocidade depende do meio: em meios gasosos, a velocidade é menor que em meios sólidos.
Como se calcular a velocidade de uma onda que se propaga em uma corda esticada?Para a propagação de uma onda, podemos usar o mesmo conceito para o cálculo da velocidade média:. Não pare agora... Tem mais depois da publicidade ;) ... . Ou podemos escrever da seguinte forma, como T = 1/f, temos: v=λ .f. ... . Na equação acima temos que: - F é a tensão na corda.. O que e a velocidade de propagação de uma onda?Velocidade de propagação é definida como a distância percorrida pela onda sonora por unidade de tempo. É importante lembrar que a velocidade de propagação é uma característica do meio, sendo uma constante, independente da frequência.
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