Brainly por quê duas retas paralelas determinam um plano

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Rafael AsthProfessor de Matemática e FísicaFaço os exercícios sobre retas paralelas cortadas por uma transversal com a lista de dez exercícios resolvidos passo a passo, que o Toda Matéria ...

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A reta é um elemento geométrico de comprimento infinito, com uma dimensão somente. O plano é um elemento geométrico infinito com duas dimensões.

1. Posições relativas de duas retas no espaço

Duas retas no espaço podem possuir 3 posições relativas:

Retas concorrentes: duas retas são concorrentes se, e somente se, possuírem um ponto em comum:

Retas paralelas: duas retas são paralelas se, e somente se, forem coplanares e não possuírem ponto em comum:

Obs.: um caso particular de paralelismo ocorre se as retas forem coincidentes (r ≡ s).

Retas reversas: duas retas são reversas se, e somente se, não forem coplanares e não possuírem ponto em comum:

Obs.: se houver um plano que contenha a reta r e que forme um ângulo de 90o com a reta s, as retas serão reversas e ortogonais.

2. Determinação de um plano

Postulado: 3 pontos não colineares formam um plano.

Teorema: Uma reta e um ponto, não pertencente a ela, formam um plano.

Teorema: duas retas concorrentes determinam um plano.

Teorema: duas retas paralelas não coincidentes formam um plano.

3. Posições relativas de dois planos

Planos paralelos: dois planos são paralelos se, e somente se, não possuírem pontos em comum:

Planos secantes: dois planos são secantes se, e somente se, possuírem pontos em comum. Estes pontos da intersecção dos dois planos formam uma reta.

Obs.: caso o ângulo formado pelos dois planos for de 90o os planos serão secantes e perpendiculares.

O teorema de Tales foi desenvolvido pelo matemático Tales de Mileto, que demonstrou a existência de uma proporcionalidade nos segmentos de reta formados por retas paralelas cortadas por retas transversais.

A partir desse teorema, é possível perceber relações de proporcionalidade em várias situações, o que tem vasta aplicação, como na astronomia e em triângulos. Tales de Mileto foi um filósofo pré-socrático que deu grandes contribuições não só para a filosofia, mas também para a matemática, na busca de compreender melhor o Universo.

Tópicos deste artigo

• 1 - Enunciado do teorema de Tales
• 2 - Como aplicar o teorema de Tales
• 3 - Teorema de Tales em triângulos
• 4 - Exercícios resolvidos

Enunciado do teorema de Tales

O teorema de Tales afirma que:

Um feixe de retas paralelas determina sobre duas retas transversais segmentos proporcionais.

Na imagem, há vários segmentos de reta: AB, BC, DE, EF, AC, DF. É possível compará-los de duas formas. Uma delas é comparar os segmentos de uma mesma reta transversal:

Outra maneira de realizar essa comparação, mas que ainda assim gera o mesmo resultado, é montar a razão entre o segmento de uma reta transversal sob o segmento equivalente.

Independentemente da forma escolhida para montar as proporções, é possível encontrar o valor desses segmentos a partir da propriedade fundamental da proporção.

Veja também: Medidas de comprimento – unidades de medida e conversão

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Como aplicar o teorema de Tales

Na prática, utiliza-se o teorema de Tales com o objetivo de encontrar valores desconhecidos de situações que envolvem retas paralelas e retas transversais.

Exemplo:

Montando a proporção, temos que 10 está para x, assim como 12 está para 7, ou seja:

Teorema de Tales em triângulos

Uma das aplicações mais importantes do teorema de Tales é no estudo de triângulos. Ao traçar uma reta paralela à base, é possível construir um triângulo menor semelhante ao triângulo maior. Além disso, os segmentos formados pela lateral do triângulo também são proporcionais, o que possibilita a aplicação do Teorema de Tales para encontrar valores desconhecidos nesse triângulo.

Exemplo:

Calcule o valor de BD sabendo que o segmento de reta DE é paralelo à base do triângulo AC.

Montando a proporção, sabemos que x está para 13, assim como 8 está para 16.

Leia também: Classificação de triângulos – critérios e nomenclatura

Exercícios resolvidos

Questão 1 - (Fuvest) Três terrenos têm frente para a rua A e para a rua B, como na figura. As divisas laterais são perpendiculares à rua A. Qual a medida de x, y e z em metros sabendo que a frente total para essa rua tem 180 m?

A) 90, 60 e 30

B) 40, 60 e 90

C) 80, 60 e 40

D) 20, 30 e 40

Resolução

Alternativa C.

Sabemos que a soma de x + y + z = 180 m.

Somando os lados da rua A, temos que: 40 + 30 + 20 = 90 m.

Montando as proporções para encontrar o valor de x, temos:

Assim sendo, x = 80 metros. Agora encontraremos o valor de y:

Como y = 60 metros, podemos então encontrar o valor de z:

Questão 2 - (IFG) Seja o triângulo ABC da figura a seguir com as seguintes medidas: AC = 50 cm, AE = 20 cm, e AD= 10 cm.

Sabendo que DE é paralelo à BC, a medida do lado AB é de?

A) 15 cm

B) 20 cm

C) 25 cm

D) 30 cm

E) 35 cm

Resolução

Alternativa C.

Como DE é paralelo a BC, podemos aplicar o teorema de Tales.

Dados: AC = 50 cm, AE = 20 cm e AD = 10 cm.

Sabemos que AC está AE, assim como AD está para AB.

Por Raul Rodrigues de Oliveira
Professor de Matemática
  

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