Qual a relação entre o valor do trabalho realizado e o sentido do deslocamento e da força?

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Introdução

Para a física, o trabalho é uma medida da energia transferida por uma força a um corpo durante um deslocamento. O valor do trabalho realizado por uma força é dado por:

$$ W = F \cdot d \cdot cos \theta $$

Em que \( F \) é o módulo da força (em newtons), \( d \) o módulo do deslocamento (em metros) e \( \theta \) o ângulo entre a força e o deslocamento. 

Força F realizando trabalho sobre um bloco que se desloca na horizontal

O trabalho é uma grandeza escalar, pois é um produto escalar entre o vetor força e o vetor deslocamento \( W = \vec{F} \cdot \vec{d} \).

A unidade do trabalho no Sistema Internacional é o joule (J), a mesma unidade da energia. Pela análise dimensional da fórmula do trabalho, percebe-se:

$$ 1 \ J = 1 \ N \cdot m = 1 \ \frac{kg \ m^{2}}{s^{2}} $$

A componente \( cos \theta \) na fórmula do trabalho significa, basicamente, que somente a componente da força que está na mesma direção do deslocamento realiza trabalho. Na figura apresentada, somente a componente horizontal da força F realiza trabalho sobre o bloco. Disso, pode-se obter alguns casos particulares:

Força no mesmo sentido do deslocamento

Nesse caso, estando na mesma direção, \( \theta = 0º \)  e \( cos \theta = 1 \), assim:

$$ W = F \cdot d $$

Força em sentido contrário do deslocamento

Em sentidos contrários, \( \theta = 180º \) e \( cos \theta = -1 \), portanto:

$$ W = - F \cdot d $$

Um exemplo desse tipo de força é a força de atrito, que se opõe à tendência de deslocamento.

Força perpendicular ao deslocamento

Estando perpendicular, tem-se \( theta = 90º \) e, assim, \( cos \theta = 0 \). Com isso:

$$ W = 0 $$

Isso quer dizer que forças perpendiculares ao deslocamento não realizam trabalho! Exemplos disso são a tração em um pêndulo simples, ou a força normal em um plano inclinado.

Além disso, o trabalho também é nulo caso não haja deslocamento, ou seja, se o corpo que sofre a ação das forças estiver parado. O exemplo básico é um bloco em repouso sobre uma superfície horizontal: tanto a força peso quanto a força normal não realizam trabalho, pois o bloco não se move.

Trabalho de uma força variável - Gráfico F x d

As maneiras mostradas para o cálculo do trabalho são adequadas para uma força de módulo constante durante todo o deslocamento. Contudo, caso a força tenha valor variável durante o deslocamento considerado, pode-se usar o valor da força média, de modo que \( W = F_{m} \cdot d \).

Entretanto, a maneira mais fácil de determinar o trabalho de uma força variável é a partir da área, sob o gráfico F x d.

A área que estiver abaixo do eixo x, ou seja, com uma força negativa, será considerada negativa (força oposta ao deslocamento, logo trabalho negativo).

Pelo exemplo do gráfico acima, o cálculo do trabalho da força F ao longo do deslocamento total de 9 metros se daria da seguinte maneira:

$$ W = área_{trapézio} + área_{triângulo} =  \frac{(B+b)h}{2} + \frac{b.h}{2} $$

$$ W = \frac{(7+2) \cdot 10 }{2} + \frac{2 \cdot -4}{2} = 9 \dcot 5 - 4 = 45 -4 $$

$$ W = 41 \ J $$

Esse procedimento gráfico para o cálculo do trabalho de força variável é semelhante ao cálculo gráfico do impulso de uma força e do deslocamento em um movimento uniformemente variado.

Trabalho da força peso

A força peso, dada por \( \vec{P}=m \ \vec{g} \) tem módulo e sentido constante perto da superfície terrestre. Então, basta multiplicá-la pelo deslocamento para descobrir o valor do trabalho realizado por ela. 

Porém, como foi visto, somente a força na direção do deslocamento realiza trabalho ( fator \( cos \theta \) na fórmula ). Assim, como a força peso é vertical, qualquer deslocamento lateral não é causado por ela, então não entra na conta do trabalho. 

Portanto, somente o deslocamento vertical, ou seja, a altura percorrida durante o deslocamento, é considerada:

$$W_{peso} = - m \ g \ \Delta h $$ ou $$ W_{peso} = \pm m \ g \ h $$

O sinal de \( - \) se deve ao sentido da força peso, que é sempre para baixo. Assim, se a altura aumenta, o trabalho do peso é negativo, e se a altura diminui, o trabalho do peso é positivo.

Perceba que somente a variação de altura é levada em conta no trabalho da força peso, independentemente da trajetória percorrida pelo corpo.

Trabalho da força elástica

De acordo com a Lei de Hooke, a força elástica é proporcional ao deslocamento da posição de equilíbrio da mola, de modo que \( F = \pm k . x \). Como a força é variável ao longo do deslocamento, utiliza-se o método gráfico para determinar o trabalho da força elástica:

Pela área do triângulo, o trabalho, partindo da origem, se dá por:

$$ W_{F \ el} = \frac{F \cdot x}{2} $$

Mas, pela Lei de Hooke, \( F = k . x \), então:

$$ W_{F \ el} = \frac{k . x \cdot x}{2}  \qquad \xrightarrow{} \qquad W_{F \ el} = \frac{k.x^{2}}{2} $$

Esse trabalho será positivo caso a mola esteja retornando à sua posição de equilíbrio, e negativo caso a mola esteja sendo comprimida ou distendida (se afastando do equilíbrio).