Qual a variação da energia interna de um gás ideal?

Enunciado

Física - Física para Cientistas e Engenheiros - Mecânica, Oscilações e Ondas, Termodinâmica: Volume 1 - 6ª Edição - Mosca, Tripler- Ed: 6º - Capítulo 18.1 - Ex. 90

Temos na letra a uma perguntinha bastante teórica. Vamos relembrar primeiro o que é energia interna, tudo bem?

Para um gás ideal, a energia interna é a soma das energias cinéticas das moléculas de gás e é dada como:

E = g 2 k T

Onde g equivale aos graus de liberdade. Sendo assim, a energia cinética depende somente da variação da temperatura. Quaisquer dos dois processos que alterem a energia térmica do gás causarão Δ E i n t. Consequentemente, Δ E i n t é independente do processo.

Bom, o problema já nos disse que precisamos da primeira lei. Então:

  Δ E i n t = W s o b r e   o   g a s + Q a b s o r v i d o

Já sabemos qual é a variação da energia :

Δ E i n t   =   C v Δ T

E o trabalho a volume constante pode ser calculado simplesmente como:

W s o b r e   o   g a s = - W p e l o   o   g a s = - P . Δ V

W s o b r e   o   g a s = - P . ( V f - V i )

Aqui nós faremos uso de um artifício, então fiquem bem atentos. Nós queremos algo em função de nR, não em relação a pressão e volume.

Como faremos?

Bora lembrar da lei usada para os gases ideais:

P V = n R T

Optei por isolar o volume:

V = n R T P

Vamos substituir no lugar dos volumes iniciais e finais:

W s o b r e   o   g a s = - P . n R T f P - n R T i P

Assumindo que a pressão não está variando:

W s o b r e   o   g a s = - n R Δ T

Já está beem melhor!

Vamos substituir na primeira lei o que achamos:

C v Δ T = - n R Δ T + Q a b s o r v i d o

Isolando o calor:

Q a b s o r v i d o = ( C v + n R ) Δ T

Se lembrarmos da fórmula para o calor absorvido, lembrando aqui que estamos considerando a pressão constante:

Q a b s o r v i d o = C p Δ T

Agora conseguimos concluir que:

C p = C v + n R

Ei, a resposta está no passo a passo :)

As partículas de um sistema têm vários tipos de energia, e a soma de todas elas é o que chamamos Energia interna de um sistema.

Para que este somatório seja calculado, são consideradas as energias cinéticas de agitação , potencial de agregação, de ligação e nuclear entre as partículas.

Nem todas estas energias consideradas são térmicas. Ao ser fornecida a um corpo energia térmica, provoca-se uma variação na energia interna deste corpo. Esta variação é no que se baseiam os princípios da termodinâmica.

Se o sistema em que a energia interna está sofrendo variação for um gás perfeito, a energia interna será resumida na energia de translação de suas partículas, sendo calculada através da Lei de Joule:

Onde:

U: energia interna do gás;

n: número de mol do gás;

R: constante universal dos gases perfeitos;

T: temperatura absoluta (kelvin).

Como, para determinada massa de gás, n e R são constantes, a variação da energia interna dependerá da variação da temperatura absoluta do gás, ou seja,

Conhecendo a equação de Clepeyron, é possível compará-la a equação descrita na Lei de Joule, e assim obteremos:

Olá, pessoal, tudo bem?

Neste post, vamos falar mais sobre Termodinâmica, mais especificamente sobre a energia interna de um gás, que é a soma das energias cinéticas das partículas que constituem o gás.

Anote tudo direitinho aí e boa aula!

Para calcular a energia interna de um gás, temos que associar a energia interna ao movimento das partículas do gás. Isso porque essas partículas estão em constante agitação, isto é, possuem velocidade.

Portanto, elas possuem energia de movimento, que é a energia cinética: Ec = m . v² ÷ 2. A energia interna do gás vai ser, então, a soma de todas as energias cinéticas das partículas: ΣEc = U.

Note que, quanto maior for a agitação das partículas que constituem o gás, maior será sua temperatura e, consequentemente, sua energia interna. Em outras palavras, a energia interna do gás (U) depende diretamente da sua temperatura (T).

Fórmulas para cálculo de energia interna do gás

Quando estivermos lidando com um gás monoatômico (ex: gases nobres), utilizaremos a fórmula:

Repare que n é o número de mols, cuja fórmula é p . V = n . R . T. Dessa forma, podemos fazer uma pequena substituição na equação para deixá-la mais fácil:

Por essa fórmula, podemos concluir que, quando houver um gás com alto volume de pressão por volume, esse será um gás com grande energia interna.

Também temos uma fórmula para cálculo de gases diatômicos. No entanto, vale ressaltar que eles quase não são cobrados nos vestibulares, então fica a título de curiosidade:

Variação de energia interna do gás (ΔU)

Já sabemos que U = (3/2).n.R.T, certo? Geralmente, nessa fórmula, a única coisa que não permanecerá constante será a temperatura (T). Afinal, como comentamos, a energia interna depende apenas da temperatura.

Então acompanhe o raciocínio:

ΔU = Ufinal – Uinicial

ΔU = (3/2).n.R.Tfinal – (3/2).n.R.Tinicial

ΔU = (3/2).n.R.ΔT

Outra forma de calcular a variação de energia interna é quando temos uma questão de pressão constante (transformação isobárica). Geralmente, são enunciados que não trazem o número de mols e/ou a temperatura, por exemplo, sendo geralmente apresentados por um gráfico da pressão pelo volume. Assim, sendo a pressão constante, a variação de energia interna pode ser calculada da seguinte forma:

Agora, voltemos um pouco à relação entre energia interna e temperatura. Perceba que:

• ΔU > 0 significa que a temperatura e a energia interna aumentaram.
• ΔU < 0 signigfica que a temperatura e a energia interna diminui.
• Porém, quando ΔU = 0, isso nem sempre significa que a temperatura se manteve constante. Ela pode ter variado, porém a temperatura final e inicial podem ter sido as mesmas (Ufinal = Uinicial). Isso acontece muito nas chamadas transformações cíclicas.

Energia interna do gás: exercício resolvido

Um sistema termodinâmico constituído de n mols de um gás perfeito monoatômico desenvolve uma transformação cíclica ABCDA representada no diagrama a seguir. 

Determine, considerando os pontos A, B, C e D:

a) a maior energia interna do ciclo.

Sabemos que a maior energia interna corresponde ao ponto com maior produto p . V. Neste caso, temos que utilizar essa conta para calcular a energia interna em cada um dos pontos. Desconsiderando as unidades dos eixos, o produto P.V para cada ponto é:

A) 1.2 = 2

B) 1.6 = 6

C) 3.6 = 18

D) 3.2 = 6

Portanto: UC > UB = UD > UA 

Atenção:energia interna (U) se mede em joule (J). Veja que o gráfico está em N/m² e o volume está em litro (L). Sabemos que 1L = 10-3m³. Então:

UC = (3/2).3.105 .6.10-3

UC = 2700 J  é a maior energia interna do ciclo do gráfico anterior.

b) a variação de energia interna entre os pontos A e B.

Para este cálculo, temos que definir a energia interna de A e B. Vamos lá:

UA = 3/2 pA  . VA 

UA  = 3/2 . 1.105 . 2.10-3

UA  = 300J

UB = 3/2 pB . VB

UB = 3/2 . 1.105 . 6.10-3

UB = 900 J

Assim que:

ΔUAB = UB – UA

ΔUAB = 900 – 300

ΔUAB = 600 J

c) a variação de energia interna entre os pontos B e D.

Vimos que o produto p . V dos pontos B e D são iguais (6). Portanto, as energias internas de B e D são iguais.

ΔUBD = UD – UB = 0. 

Isso significa que os pontos B e D representam o gás na mesma temperatura : TD = TB .

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