Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre. Show As duas diagonais de um retângulo. Uma diagonal de um polígono é um segmento de reta entre dois vértices não consecutivos do polígono. Cálculo do número de diagonais de um polígono[editar | editar código-fonte]A fórmula para se calcular a quantidade de diagonais "D" que tem em um polígono de "n" lados é a seguinte: É necessário realçar que o triângulo não possui diagonais, e o pentágono é o único polígono, cujo número de diagonais é o mesmo que o número de lados.
Desenvolvendo a fórmula do cálculo do número de diagonais de um polígono[editar | editar código-fonte]Tendo o retângulo acima como base para o estudo da fórmula, isolamos (limitamos nossa atenção) a um dos vértices, tomemos, por exemplo, o vértice A. Para esse vértice, somente é possível fazer diagonal com outro vértice não adjacente a ele, nesse caso, o vértice C. Os vértices B e D devem ser desconsiderados pois formam com o A dois dos lados do polígono. Criamos uma fórmula que descreva a afirmação anterior: Seja P o número de diagonais possíveis ao vértice A, desconsiderando os 3 (três) vértices com os quais não é possível ligar uma diagonal, a saber: B, D e o próprio A. Onde 'n' é o número de vértices do polígono. Aplicando essa fórmula ao retângulo acima, temos: portanto, para o vértice A uma só diagonal. Se temos uma fórmula que calcula o número de diagonais para um vértice do polígono, bastaria então multiplicar essa fórmula pelo número de vértices desse polígono para aplicá-la aos outros vértices, porém, o que se observa é que o resultado será sempre o dobro do número de diagonais do polígono, veja: Isso se deve ao fato que uma diagonal é sempre "compartilhada" por dois vértices, daí a necessidade de se dividir por 2. Então: ou ainda: Fica fácil agora entender matematicamente o porquê do triângulo não ter diagonais, uma vez que serão desconsiderados sempre 3 vértices: o próprio e os dois adjacentes. Combinatoriamente, também é possível calcular o número de diagonais mediante o seguinte raciocínio: Para cada par de pontos, existe um segmento de reta que os contém. Assim, a combinação de n vértices dois a dois fornece o número de segmentos possíveis entre dois vértices do polígono - há de se retirar, obviamente, o número de lados do polígono, pois estes também são segmentos possíveis entre dois vértices. Assim, temos:
Qual é o polígono convexo cujo número de diagonais é igual?O octógono possui 20 diagonais. O dodecágono possui 54 diagonais. O número de diagonais de um icoságono é igual a 170. O triângulo é o único polígono que não possui diagonais.
Quais são as diagonais de um polígono convexo?Dado um polígono convexo qualquer, diagonal é o segmento que une dois vértices não consecutivos (ou adjacentes). Exemplos: Um triângulo não possui diagonais, pois, como só possui três vértices, não é possível unir dois vértices não consecutivos.
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