Qual o valor do trabalho realizado por forças que estão perpendiculares ao deslocamento de um corpo?

Considere uma força

atuando sobre um corpo. A força é dita conservativa se o trabalho realizado por ela não depende do caminho percorrido, mas somente das posições inicial

e final do corpo

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Trabalho de forças conservativas – exemplos
Trabalho de força não conservativa – a força de atrito
Quanto será o trabalho de uma força perpendicular ao deslocamento?
Como calcular trabalho força é deslocamento?
Qual a relação entre o valor do trabalho realizado é o sentido do deslocamento é da força?
Qual o valor do ângulo formado entre a força é o deslocamento?

Para os caminhos 1 e 2 acima, temos

Se invertermos o sentido do caminho 2 percorrido, mantendo a mesma força, temos que o sinal do trabalho muda:

ou seja,

Mas a soma à direita representa o trabalho do percurso total, ida e volta. É um caminho fechado, onde o corpo parte de um ponto

e chega num ponto

através do caminho 1 e volta para

pelo caminho 2:

O resultado mostra que para uma força ser classificada como conservativa, o trabalho realizado por ela, sobre um corpo, é nulo para um caminho fechado (o corpo volta para o mesmo ponto de partida). A condição acima é necessária, mas não é o suficiente.

Vamos mostrar a seguir que o trabalho da força magnética, por exemplo,é nulo. No entanto, esta força é não-conservativa.

A força magnética surge quando um corpo carregado com carga se move em uma região com campo magnético. Se o corpo de carga elétrica

e velocidade

adentrar uma região do espaço com campo magnético

, ele sentirá uma força magnética cuja intensidade é dada por

onde

é o ângulo formado pelos vetores velocidade e campo magnético. A direção da força é perpendicular tanto à velocidade como ao campo magnético e o sentido é dado pela regra da mão direita, ilustrada na figura abaixo à direita; quatro dedos da mão direita fazem o movimento de

para

e o polegar dá a direção de

Em notação vetorial mais avançada, a fórmula se resume a

onde

denota o produto vetorial entre os vetores velocidade e campo magnético.

Como a velocidade instantânea é paralela ao vetor deslocamento, temos que a força magnética atuando num corpo é sempre perpendicular ao seu deslocamento. Logo, como não haverá componente de

na direção do movimento, temos a seguinte conclusão:

O trabalho realizado pela força magnética é sempre nulo.

Existe uma condição mais forte (necessária e suficiente) que uma força conservativa deve obedecer, mas a discussão envolve um conhecimento de Cálculo Vetorial, uma ferramenta imprescindível no estudo da Física e engenharia, mas bastante avançada para o nível deste site. Deixamos um link para curiosos ou quem quiser se aprofundar no assunto.

Apostila

Vídeo

Trabalho de forças conservativas – exemplos

Como por definição o trabalho de forças conservativas não dependem de caminho, por simplicidade, vamos considerar uma trajetória unidimensional para os exemplos a seguir – o corpo se move em linha reta, a qual chamaremos de eixo

. Neste caso, evidentemente o caminho de ida é igual ao caminho de volta.

Trabalho da força gravitacional (próximo à superfície da Terra)

Próximo à superfície da Terra, a força gravitacional (ou força peso) sobre um corpo de massa

é dada por

, onde

é o campo gravitacional produzido pela Terra. Próximo à sua superfície,

possui valor constante aproximado de 9,8 m/s

. Se soltarmos qualquer objeto e desprezar a resistência do ar, ela cairá com aceleração de módulo igual a

Vamos calcular o trabalho da força gravitacional sobre o corpo descendo uma rampa e mostrar explicitamente que ele não depende do comprimento da rampa, mas somente da altura

da posição inicial

em relação à posição final

, conforme mostra a figura abaixo:

Conforme mostra a figura acima, a força gravitacional

e o vetor deslocamento

formam um ângulo

. A componente de

na direção do deslocamento é

Como

é constante ao longo da rampa, podemos usar a fórmula do trabalho para uma força constante:

Por outro lado, a rampa forma a hipotenusa de um triângulo retângulo que tem a altura

como sendo um dos seus catetos. Como

é cateto adjacente em relação ao ângulo

, temos que

Substituindo

na equação do trabalho, obtemos

Se ao invés de descer pela rampa, se o corpo fizer uma trajetória vertical de

até

e depois uma trajetória horizontal de

para

, teremos

onde o segundo termo é zero porque a força gravitacional é perpendicular ao deslocamento horizontal. Logo,

conforme esperado para uma força conservativa.

Podemos generalizar o resultado para qualquer caminho de

para

, como o caminho ondulado acima da rampa. Para isto, basta dividirmos a trajetória em pequenos trechos verticais e horizontais. Os trechos horizontais dão trabalho nulo e a soma dos trechos verticais dá

Não é difícil mostrar que o trabalho de subida, de

até

, de forma que o trabalho do trajeto fechado (descida + subida) é zero, como deveria ser.

Trabalho da força gravitacional – caso geral

Próximo à superfície da Terra, um corpo de massa

é atraído à Terra pela força gravitacional

. Esta força é um caso particular da força responsável pela atração entre corpos, postulada por Newton através da Lei da Gravitação Universal, a qual diz que

Um corpo atrai outro corpo com uma força que é proporcional ao produto das suas massas e inversamente proporcional à distância que separa os seus centros de massa.

Como os corpos se atraem mutualmente, a força está na direção que conecta os seus centros de massa e o seu módulo é

onde

são as massas dos corpos,

é a distância que separa os seus centros de massa e

a constante gravitacional universal, cujo valor aceito atualmente é

Como o próprio nome diz, essa constante é universal; não importa se trata da queda de uma maçã, um satélite que é mantido na órbita da Terra, a atração gravitacional que o Sol exerce sobre a Terra, etc.

A força de gravitação universal de Newton é uma das forças fundamentais da Natureza e obedece a terceira lei de Newton, ou seja,

Para calcular o trabalho realizado pela força gravitacional, vamos manter o corpo 1 fixo e deslocar somente o corpo 2. Inicialmente, estão separados por uma distância

e após o deslocamento, passam a estar separados por uma distância

, conforme mostra a figura abaixo.

Como o trabalho da força gravitacional não depende do caminho, vamos escolher o caminho 2, constituido dos trechos

. No segundo trecho, a força é perpendicular ao deslocamento, portanto o trabalho não é nulo. Temos portanto que

O sinal negativo na força é porque quando o corpo 2 vai se afastando (

aumenta), a força sobre ele aponta no sentido contrário ao do deslocamento.

Um curso introdutório de Cálculo é o suficiente para entender que

. Substituindo os limites da integral,

Trabalho da força elástica

O trabalho da força elástica já foi calculada na página “Trabalho e Energia Cinética“. Iremos agora só mostrar que o trabalho dessa força respeita a condição necessária para o trabalho de uma força conservativa.

Recordando que a força elástica é dada por

, o trabalho realizado por essa força atuando num corpo, de

até

, é dado por

onde

como

podem ser tanto deformação quanto elongação da mola. Se fizermos a troca

, temos que

e portanto o trabalho total ida e volta dá zero.

A simulação a seguir permite verificar que para um percurso de ida e volta, as deformações são iguais e as contribuições de trabalho positivo e negativo se cancelam, pois tem a mesma intensidade mas sinais opostos devido ao sentido da deformação e da força.

Trabalho de força não conservativa – a força de atrito

Trabalho da força de atrito

A força de atrito cinético atuando sobre um corpo de massa

deslizando sobre uma superfície rugosa é dada por

onde

é a força normal. Por simplicidade, vamos analisar o movimento do corpo andando em linha reta, horizontal à superfície da Terra. Neste caso,

, e observamos que a força de atrito sempre tem o sentido contrário do movimento. A força

puxando o bloco não influencia em nada o cálculo do trabalho da força de atrito.

Novamente, como o módulo da força de atrito é constante, o cálculo do trabalho é simples. Observa-se, no entanto, que o sentido da força de atrito é sempre contrário ao do deslocamento. Com isto,

Se o corpo percorrer uma distância

entre as posições

, temos que

. Logo,

Temos portanto que

A força de atrito realiza trabalho negativo em qualquer parte do percurso de ida e volta. O trabalho para todo percurso não é zero.

Ir para a próxima página: Energia Potencial

Quanto será o trabalho de uma força perpendicular ao deslocamento?

Quando a força é perpendicular ao deslocamento AB, sua posição será nula: daí, seu trabalho é nulo. Assim num deslocamento horizontal, o peso e a reação normal do apoio têm trabalhos nulos. Analogamente, a força centrípeta tem trabalho nulo, pois é sempre perpendicular à trajetória.

Como calcular trabalho força é deslocamento?

Para o calcular o trabalho de uma força devemos utilizar a fórmula T = F x d, em que: T – trabalho dado em joules; F – força dada em newtons; d – deslocamento do corpo dado em metros.

Qual a relação entre o valor do trabalho realizado é o sentido do deslocamento é da força?

T = F . Quando o deslocamento acontece no mesmo sentido da componente da força que atua no deslocamento, o trabalho é motor. Ao contrário, quando ocorre em sentido contrário, o trabalho é resistente.