Quantas diagonais tem um polígono cuja soma dos ângulos internos é igual a 1800?

Em um polígono, quanto maior é o número de lados, maior é a medida dos ângulos internos.

Considerando as diagonais traçadas por apenas um dos vértices de um polígono, é possível perceber que elas formam triângulos. Conforme aumentamos os lados de um polígono, a quantidade de triângulos também aumenta. Veja:

Em um quadrilátero, conseguimos formar dois triângulos.

Considerando que, em cada triângulo, a soma dos ângulos internos iguais é 180°, a soma dos ângulos internos de qualquer quadrilátero é 2·180º = 360º.

Em um polígono de cinco lados (pentágono), formamos três triângulos.

Dessa forma, temos que a soma dos ângulos internos de um pentágono é 180º·3 = 540º

Em um polígono de seis lados (hexágono), formamos quatro triângulos.

Portanto, a soma dos ângulos internos é 4·180º = 720º.

Soma dos ângulos internos de um polígono convexo

Percebemos que a diferença do número de triângulos formados e o número de lados dos polígonos é sempre 2, então, concluímos que:

Não pare agora... Tem mais depois da publicidade ;)

• n = 3

Si = (3 – 2)·180º = 1·180° = 180°

• n = 4

Si = (4 – 2)·180° = 2·180° = 360°

• n = 5

Si = (5 – 2)·180° = 3·180° = 540°

• n = 6

Si = (6 – 2)·180° = 4·180° = 720°

• n = n

Si = (n – 2)·180°

Portanto, a soma dos ângulos internos de qualquer polígono é calculada pela expressão:

Si = (n – 2)·180°

Caso queira calcular o valor de cada ângulo interno, basta dividir a soma dos ângulos internos pelo número de lados do polígono. Vale lembrar que essa fórmula só deve ser utilizada em polígonos regulares, pois eles possuem os ângulos internos iguais.

ai = Si
     n

Soma dos ângulos externos de um polígono regular

A soma dos ângulos externos de qualquer polígono convexo é igual a 360°.

Obs.: A soma de um ângulo interno com o seu respectivo externo é igual a 180º, isto é, eles são suplementares.

Por Marcos Noé
Graduado em Matemática 

Polígonos são regiões limitadas por segmentos de reta. O encontro dos segmentos de reta formam os vértices e os ângulos da figura. O polígono mais simples é o triângulo, que possui três lados, três vértices e três ângulos.

Veja a tabela com os dados de alguns polígonos regulares.

A soma dos ângulos internos de um polígono é dada pela expressão:

S = (n – 2 )*180º, onde n = número de lados.

Para calcular o valor de cada ângulo é preciso dividir a soma dos ângulos internos pelo número de lados do polígono.

Exemplo 1
Qual é a soma dos ângulos internos de um heptágono regular?

O heptágono possui 7 lados.
S = (n – 2) * 180º
S = (7 – 2) * 180º
S = 5 * 180º
S = 900º
A soma dos ângulos internos de um heptágono é 900º.

Exemplo 2
Qual a soma dos ângulos internos de um icoságono (20 lados)?

Aplicando a fórmula:
S = (n – 2) * 180º
S = (20 – 2) * 180º
S = 18 * 180º
S = 3240º
A soma dos ângulos internos de um icoságono é 3240º.

Podemos utilizar a fórmula da soma dos ângulos internos para calcular o número de lados de qualquer polígono, desde que a soma dos ângulos internos seja dada.

Exemplo 3
Quantos lados possui um polígono cuja soma dos ângulos internos é igual a 2340º?

S = (n – 2) * 180º
2340º = (n – 2) * 180º
2340º = 180n – 360º
2340 + 360 = 180n
2700 = 180n
180n = 2700
n = 2700/180
n = 15

O polígono possui 15 lados.

A soma dos ângulos externos de qualquer polígono regular é 360º.
Para calcular a medida do ângulo externo de um polígono é preciso dividir 360º pelo número de lados da figura poligonal.

Exemplo 4
Quanto mede o ângulo externo do hexágono?

O hexágono possui seis lados, então:

ai = 360º / 6
ai = 60º

Cada ângulo externo de um hexágono mede 60º.

Grátis

3 pág.

• Denunciar

Pré-visualização | Página 1 de 1

Atividade Avaliativa
Nome: Ana Cláudia Alves Pereira
1) Calcular a soma dos ângulos internos de um decágono.
Decágono tem, 10 lados, portanto fazendo n = 10. Temos a fórmula da soma S = (n-2). 180 S = ( 10 - 2) . 180 = 8 . 180° = 1 440°. Portanto a soma dos ângulos é 1 440º.
2) Qual o polígono, cuja a soma dos ângulos internos vale 1800°.
N=12(Dodecágono)
3) Calcular o número de diagonais de um icoságono.
diagonais do icosagono(20 lados) = 20(20-3)/2 = 10.17 = 170. Portanto o icoságono tem 170 diagonais.
4) A razão entre o ângulo interno e o ângulo externo de um polígono é 9.Determine o número de lados do polígono e também o número de diagonais.
Ae+ Ai = 180º a soma de 1 externo + 1 interno é sempre 180º 
Ae + 9 Ae = 180 
10 Ae = 180 
Ae.= 18º Ae=360/n 
360/n = 18 
18n = 360 
n = 360/18= 20 lados 
d= n(n-3)/2 
d= 20(17)/2 
d =10(17) = 170 diagonais
5) Determine o polígono convexo cuja a soma dos ângulos internos é igual
ao número de diagonais multiplicado por 180.
Soma dos ângulos internos(q chamamos de "S") é igual ao número de diagonais(q chamamos de "d") multiplicado por 180°. Assim: S=d.180
Substituindo: (n-2)180= [n(n-3)/2].180 
Simplifiquemos o 180 e multipliquemos ambos os lados por 2: 
2n-4=n (n-3) 
n²-3n-2n+4=0 
n²-5n+4=0 
Por baskara: 
n= 4 ou n=1(não convem, pois não há poligonos de apenas 1 lado) 
O polígono será um quadrilátero (4 lados).
6) Um polígono regular com exatamente 35 diagonais tem:
a) 6 lados.
b) 9 lados.
c) 10 lados. X
d) 12 lados
delta=(-3)²-4.1.(-70)
delta=9+280 =>
delta=289 //
Aplicando na fórmula, temos:
x=-b±√delta /2.a
x=-(-3)±√289/2
x=3±17/2
x'=(3+17)/2 => x'=20/2 => x'=10
x''=(3-17)/2 => x''=(-14)/2 => x''=-7
Como o número de lados de um polígono não pode ser negativo, ficamos com x'=10.
Portanto, esse polígono tem 10 lados. Alternativa “c”
7) O polígono regular convexo em que o número de lados é igual ao número de
diagonais é o:
a) dodecágono.
b) pentágono. X
c) decágono.
d) hexágono.
L/L = (L - 3)/2
1 = (L - 3)/2
2 . 1 = L - 3
2 + 3 = L
5 = L <-------- O polígono com 5 diagonais e 5 lados é o pentágono. Alternativa “b”
8) Quanto mede o ângulo externo de um polígono regular cujo ângulo interno
mede 172°.
 
 
n = 45 lados
Ae = 360/n
Ae = 360/45  
Ae = 8º
Ângulo externo mede 8º 
9) Quanto mede o ângulo externo de um polígono regular de 30 lados.
n=30 lados
Ae = 360/n 
Ae = 360/30 
Ae = 12º
Ângulo externo mede 12°
10) Determine o número de diagonais de um polígono cuja a soma dos
ângulos internos é 3600°.
Si = (n - 2) . 180  (Formula da soma dos ângulos internos)
3600 = ( n - 2 ) . 180
(n - 2) = 3600 / 180
n - 2 = 20
n = 20 + 2 
n = 22
d = (n - 3) . n    (Fórmula do número de diagonais)
            2
d = (22 - 3).22
            2
d = 19 . 22
          2
d = 418 / 2
d = 209
209 diagonais

Quantas diagonais possui um polígono cuja soma dos ângulos internos é igual a 1800?

Qual o número de diagonais de um polígono cuja a soma dos ângulos internos é 1080?

Qual é o polígono cuja soma dos ângulos internos é igual a 1080?

Qual é o polígono convexo em que a soma das medidas dos ângulos internos é 1080?